シュタイン多様体

数学において、複素変数および複素多様体の理論において、スタイン多様体は、 n複素次元のベクトル空間の複素部分多様体です。これらは、カール スタイン (1951)によって導入され、彼にちなんで名付けられました。スタイン空間はスタイン多様体に似ていますが、特異点を持つことができます。スタイン空間は、代数幾何学における アフィン多様体またはアフィン スキームの類似物です。

が複素次元の複素多様体であり、が上の正則関数の環を表すとします。次の条件が満たされる場合、 その多様体をシュタイン多様体と呼びます。${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle X}$は正則凸包、すなわち任意のコンパクト部分集合に対して、いわゆる正則凸包である。${\displaystyle K\subset X}$

${\displaystyle {\bar {K}}=\left\{z\in X\,\left|\,|f(z)|\leq \sup _{w\in K}|f(w)|\ \forall f\in {\mathcal {O}}(X)\right.\right\},}$

は のコンパクトなサブセットでもあります。${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle X}$は正則分離可能である、すなわち、 が内の2点である場合、 が存在し、${\displaystyle x\neq y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(X)}$${\displaystyle f(x)\neq f(y).}$

X を連結で非コンパクトなリーマン面とします。ハインリッヒ・ベンケとスタイン (1948)の深い定理は、Xがスタイン多様体であることを主張しています。

ハンス・グラウエルトとヘルムート・ロール(1956)による別の結果は、 X上のすべての正則ベクトル束が自明であることを示しています。特に、すべての直線束は自明であるため、 です。指数層シーケンスは、次の正確なシーケンスにつながります。 ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})=0}$

${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})\longrightarrow H^{2}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$

ここで、カルタンの定理 B はであることを示しているので、 となります。 ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})=H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})=0}$${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )=0}$

これは、第 2 いとこ問題の解決に関係します。

• 標準的な複素空間はスタイン多様体です。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

• の正則領域はすべてスタイン多様体です。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

• スタイン多様体のあらゆる閉じた複素部分多様体もスタイン多様体です。

• スタイン多様体の埋め込み定理は、複素次元のすべてのスタイン多様体は、双正則固有写像によってに埋め込むことができることを述べています。${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2n+1}}$

これらの事実は、スタイン多様体が複素空間の閉じた複素部分多様体であり、その複素構造は周囲空間の複素構造である（埋め込みが双正則であるため）ことを意味します。

• n次元（複素）のすべてのスタイン多様体は、 n次元 CW 複体のホモトピー型を持ちます。

• 1 つの複素次元では、スタイン条件は簡略化できます。連結されたリーマン面は、コンパクトでない場合に限りスタイン多様体になります。これは、ベンケとスタインによるリーマン面のルンゲの定理のバージョンを使用して証明できます。

• すべてのスタイン多様体は正則に展開可能である、つまり、すべての点 に対して、の開近傍に制限されたときに局所座標系を形成するすべての上で定義された正則関数が存在する。${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$

• スタイン多様体 であることは、（複素）強擬凸多様体であることと同値である。後者は、 が強擬凸（または多重劣調和）網羅的関数、すなわち（モース関数と仮定できる）上の滑らかな実関数を持ち、任意の実数 に対して における部分集合がコンパクトであることを意味する。これは、エウジェニオ・レヴィ（1911）にちなんで名付けられた、いわゆるレヴィ問題^[1]の解である。関数 は、スタイン多様体を、スタイン領域と呼ばれる境界を持つコンパクト複素多様体の対応するクラスというアイデアに一般化することを招いている。スタイン領域は逆像 である。一部の著者は、そのような多様体を厳密な擬凸多様体と呼ぶ。${\displaystyle \psi }$${\displaystyle X}$${\displaystyle i\partial {\bar {\partial }}\psi >0}$${\displaystyle \{z\in X\mid \psi (z)\leq c\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \{z\mid -\infty \leq \psi (z)\leq c\}}$

• 前の項目に関連して、複素次元 2 での同等でより位相的な定義は次のとおりです。 スタイン面は、X上の実数値モース関数fを持つ複素面Xであり、 fの臨界点から離れて、原像への複素接線フィールドは、の境界としての通常の向きと一致するX _c上の向きを誘導する接触構造です。つまり、はX _cのスタイン充填です。${\displaystyle X_{c}=f^{-1}(c)}$${\displaystyle f^{-1}(-\infty ,c).}$${\displaystyle f^{-1}(-\infty ,c)}$

このような多様体には、特に複素数の値を取る「多くの」正則関数を持つという性質を捉えた、さらに多くの特徴付けが存在します。たとえば、層コホモロジーに関するカルタンの定理 A と B を参照してください。最初の動機は、解析関数の(最大)解析接続の定義域の特性を記述することでした。

GAGA類推集合では、スタイン多様体はアフィン多様体に対応します。

スタイン多様体は、複素数からそれ自身への「多くの」正則関数を許容する複素解析における楕円多様体とある意味では双対です。スタイン多様体が楕円であるのは、いわゆる「正則ホモトピー理論」の意味で フィブラントである場合のみであることが知られています。

インデックス ≤ nのハンドルのみを持つ 2 n次元のすべてのコンパクトで滑らかな多様体は、 n  > 2であればスタイン構造を持ち、 n = 2 のときは、 2 ハンドルが特定のフレーミング（サーストン–ベネキン フレーミング よりも小さいフレーミング）で接続されていれば同じことが成り立ちます。^{[2] [3]}すべての閉じた滑らかな 4 次元多様体は、共通の境界に沿って接着された 2 つのスタイン 4 次元多様体の和集合です。^[4]

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