反復積分

多変数微積分学において、反復積分とは、複数の変数（たとえば、または）の関数に積分を適用した結果であり、各積分では、変数の一部を所定の定数と見なします。たとえば、関数 は、が所定のパラメータと見なすと、 、について積分できます。結果は の関数であるため、その積分を考慮できます。これを行うと、結果は反復積分になります。 ${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle f(x,y,z)}$${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\textstyle \int f(x,y)\,dx}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle \int \left(\int f(x,y)\,dx\right)\,dy.}$

反復積分の概念にとって重要なのは、これが多重積分とは原理的に異なるということである。

${\displaystyle \iint f(x,y)\,dx\,dy.}$

一般に、これら 2 つは異なる場合がありますが、フビニの定理によれば、特定の条件下では同等になります。

反復積分の代替表記

${\displaystyle \int dy\int dx\,f(x,y)}$

も使用されます。

括弧を使用する表記法では、括弧で示された演算順序に従って、外側の最も内側の積分から始めて反復積分が計算されます。 と書く別の表記法では、最も内側の積分関数が最初に計算されます。 ${\textstyle \int dy\,\int dx\,f(x,y)}$

反復積分の場合

${\displaystyle \int \left(\int (x+y)\,dx\right)\,dy}$

積分

${\displaystyle \int (x+y)\,dx={\frac {x^{2}}{2}}+yx}$

が最初に計算され、その結果はyに関する積分を計算するために使用されます 。

${\displaystyle \int \left({\frac {x^{2}}{2}}+yx\right)\,dy={\frac {yx^{2}}{2}}+{\frac {xy^{2}}{2}}}$

この例では、積分の定数を省略しています。 xに関する最初の積分の後 、 yの「定数」関数を厳密に導入する必要があります 。つまり、この関数をxに関して微分すると、 yのみを含む項は 消え、元の積分関数が残ります。同様に、2 番目の積分では、 yに関して積分したので、  xの「定数」関数を導入します 。このように、不定積分は複数の変数の関数にはあまり意味がありません。

積分を計算する順序は、反復積分では重要です。特に、積分対象が積分領域で連続していない場合は重要です。異なる順序によって異なる結果になる例は、通常、次に示すような複雑な関数の場合です。

となるような数列を定義します。を区間内ではゼロにならず、それ以外の場所ではゼロとなる連続関数の数列とし、任意の に対してとなるものとします。定義します。 ${\displaystyle a_{0}=0<a_{1}<a_{2}<\cdots }$${\displaystyle a_{n}\to 1}$${\displaystyle g_{n}}$${\displaystyle (a_{n},a_{n+1})}$${\textstyle \int _{0}^{1}g_{n}=1}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle f(x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(g_{n}(x)-g_{n+1}(x)\right)g_{n}(y).}$

前述の合計では、各特定の において、最大で1つの項がゼロと異なります。この関数では、^[1]${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{0}^{a_{1}}\left(\int _{0}^{a_{1}}g_{0}(x)g_{0}(y)\,dy\right)\,dx=1\neq 0=\int _{0}^{1}0\,dy=\int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{1}f(x,y)\,dx\right)\,dy}$

• フビニの定理 – 微積分における積分の順序を切り替えるための条件