双正則写像

1 つ以上の複素変数の関数の数学的理論、および複素代数幾何学において、双正則同型性または双正則関数は、その逆関数も正則である全単射の正則関数です。

正式には、双正則関数とは、次元複素空間C ⁿの開部分集合U上で定義され、 C ⁿに値を持つ関数で 、正則かつ一対一であり、その像はC ⁿの開集合であり、逆も正則であるような関数です。より一般的には、UとV は複素多様体になることができます。単一の複素変数の関数の場合と同様に、正則写像がその像に双正則であるための十分条件は、写像が単射であることであり、その場合、逆も正則です (例、Gunning 1990、定理 I.11 または系 E.10、57 ページを参照)。 ${\displaystyle \phi}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \phi ^{-1}:V\to U}$

双正則同型性が存在する場合、 UとV は双正則同値である、または双正則であると言います。 ${\displaystyle \phi \colon U\to V}$

複素平面全体以外の単連結な開集合はすべて単位円板と双正則である（これがリーマン写像定理である）。高次元では状況は大きく異なる。例えば、開単位球と開単位多円板は、 に対して双正則同値ではない。実際、一方から他方への 適切な正則関数さえ存在しない。${\displaystyle n=1,}$${\displaystyle n>1.}$

複素平面Cの開部分集合U上で定義された写像f  : U → Cの場合、一部の著者 (例: Freitag 2009、定義 IV.4.1) は、非零の導関数を持つ入射写像、すなわちUのすべてのzに対してf '( z )≠ 0であると定義しています。この定義によると、写像f  : U → Cが共形であるためには、f : U → f ( U ) が双正則である必要があります。双正則の定義によれば、その導関数については何も仮定されていないため、この同値性には、複素微分可能な同相写像は実際にはどこでも非零の導関数を持つ必要があるという主張が含まれていることに注意してください。他の著者 (例: Conway 1978) は、共形写像を非零の導関数を持つ写像と定義していますが、写像が入射的である必要はありません。この弱い定義によれば、例えば逆関数定理により局所的に双正則であっても、共形写像は必ずしも双正則である必要はありません。例えば、f : U → Uがf ( z ) = z ²でU = C –{0} と定義される場合、その導関数f '( z ) = 2 z ≠ 0 であるため、 f はU上で共形ですが、2-1 であるため双正則ではありません。

• コンウェイ、ジョン B. (1978)。『1つの複素変数の関数』。シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 3-540-90328-3。
• ダンジェロ、ジョン P. (1993)。『複素変数と実超曲面の幾何学』 CRC プレス。ISBN 0-8493-8272-6。
• フライタグ、エバーハルト。ブサム、ロルフ (2009)。複雑な分析。スプリンガー・フェルラーク。ISBN 978-3-540-93982-5。
• ガンニング、ロバート C. (1990)。多変数正則関数入門、第 2 巻。ワズワース。ISBN 0-534-13309-6。
• クランツ、スティーブン G. (2002)。複素変数関数理論。アメリカ数学会。ISBN 0-8218-2724-3。

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