ワイエルシュトラスの因数分解定理

数学、特に複素解析の分野において、ワイエルシュトラスの因数分解定理は、すべての整関数は、その零点を含む（場合によっては無限個の）積として表すことができると主張している。この定理は、すべての多項式は、各根に対応する線形因子に因数分解できると主張する代数学の基本定理の拡張と見なすことができる。

カール・ワイエルシュトラスにちなんで名付けられたこの定理は、無限大に発散するすべての数列には、その数列のまさにその点に零点を持つ整関数が対応するという、もう一つの結果と密接に関連している。

この定理の一般化では、それを有理型関数に拡張し、与えられた有理型関数を、関数の零点と極に依存する項と、関連する非零の正則関数の3つの要素の積として考えることができる。

有限集合は${\displaystyle \{c_{n}\}}$複素平面上の点には、関連する多項式がある。${\textstyle p(z)=\prod _{n}(z-c_{n})}$その零点は、まさにその集合の点に位置する。逆は代数学の基本定理の結果である。任意の多項式関数${\displaystyle p(z)}$複素平面では因数分解が${\textstyle p(z)=a\prod _{n}(z-c_{n}),}$ ここでaはゼロでない定数であり、${\displaystyle \{c_{n}\}}$はゼロの集合である${\displaystyle p(z)}$[ ^{1 ]​}

ワイエルシュトラスの因数分解定理の2つの形式は、上記の定理を関数全体に拡張したものと考えることができる。積に項を追加する必要があることは、次の式を考えることで明らかになる。${\textstyle \prod _{n}(z-c_{n})}$シーケンス${\displaystyle \{c_{n}\}}$は有限ではありません。無限積は収束しないため、完全関数を定義することは決してできません。したがって、一般に、所定の零点の列から完全関数を定義したり、代数学の基本定理によって得られる式を用いて零点によって完全関数を表したりすることはできません。その代わりに、この定理はこれらの零点を他の因子に置き換えます。

問題となっている無限積が収束するための必要条件は、各${\displaystyle z}$代替要因${\displaystyle (z-c_{n})}$1に近づく必要がある${\displaystyle n\to \infty }$したがって、所定の点で0になる可能性があり、その点以外では1に近い値を保ち、さらに所定のゼロ点以外にはゼロ点を導入しないような因子関数を求めるのが妥当である。ワイエルシュトラスの基本因子はこれらの性質を持ち、因子と同じ目的を果たす。${\displaystyle (z-c_{n})}$その上。

次の形式の関数を考えてみましょう${\textstyle \exp \left(-{\tfrac {z^{n+1}}{n+1}}\right)}$のために${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$。 で${\displaystyle z=0}$彼らは評価する${\displaystyle 1}$そして、最大で平坦な傾斜を持つ${\displaystyle n}$直後${\displaystyle z=1}$すると、それらは急激に小さな正の値に落ち込む。対照的に、関数を考えてみよう。${\displaystyle 1-z}$平坦な傾斜はないが、${\displaystyle z=1}$、は正確にゼロに評価されます。また、| z | < 1の場合、

${\displaystyle (1-z)=\exp(\ln(1-z))=\exp \left(-{\tfrac {z^{1}}{1}}-{\tfrac {z^{2}}{2}}-{\tfrac {z^{3}}{3}}+\cdots \right)。}$

基本因子[ ^{2 ] （}一次因子^{[ 3 ]} とも呼ばれる）は、 傾きがゼロで値がゼロという性質を組み合わせた関数である（図を参照）。

${\displaystyle E_{n}(z)={\begin{cases}(1-z)&{\text{if }}n=0,\\(1-z)\exp \left({\frac {z^{1}}{1}}+{\frac {z^{2}}{2}}+\cdots +{\frac {z^{n}}{n}}\right)&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

| z | < 1の場合、${\displaystyle n>0}$次のように表現することもできます。 ${\textstyle \displaystyle E_{n}(z)=\exp \left(-{\tfrac {z^{n+1}}{n+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {z^{k}}{1+k/(n+1)}}\right)}$そして、それらの特性がどのように執行されているかを読み取ることができる。

基本要素の有用性${\textstyle E_{n}(z)}$次の補題に含まれています: ^{[ 2 ]}

補題（15.8、Rudin）| z | ≤1の場合、${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \vert 1-E_{n}(z)\vert \leq \vert z\vert ^{n+1}.}$

ƒを整関数とし、${\displaystyle \{a_{n}\}}$ƒの非ゼロ零点を重複度に従って繰り返したものとし、またƒ がz = 0にm ≥ 0の零点を持つと仮定する。^{[ a ]} すると整関数gと整数列が存在する。${\displaystyle \{p_{n}\}}$そのため

${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{g(z)}\prod _{n=1}^{\infty }E_{p_{n}}\!\!\left({\frac {z}{a_{n}}}\right).}$^{[ 4 ]}

代数学の基本定理によって与えられるケースがここに組み込まれています。数列が${\displaystyle \{a_{n}\}}$有限であれば、${\displaystyle p_{n}=0}$、${\displaystyle m=0}$そして${\displaystyle e^{g(z)}=c}$取得する${\displaystyle \,f(z)=c\,{\displaystyle \prod }_{n}(z-a_{n})}$。

ワイエルシュトラスの因数分解定理の特殊なケースは、有限位数の整関数に対して発生します。この場合、${\displaystyle p_{n}}$独立して取得できる${\displaystyle n}$そしてその機能${\displaystyle g(z)}$は多項式です。したがって $${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{P(z)}\prod _{k=1}^{\infty }E_{p}(z/a_{k})}$$どこ${\displaystyle a_{k}}$それらの根は${\displaystyle f}$ゼロではないもの（${\displaystyle a_{k}\neq 0}$)${\displaystyle m}$はゼロの位数です${\displaystyle f}$で${\displaystyle z=0}$（ケース）${\displaystyle m=0}$と解釈される${\displaystyle f(0)\neq 0}$)${\displaystyle P}$多項式（その次数を${\displaystyle q}$）、 そして${\displaystyle p}$は、次の数列を満たす最小の非負整数である。$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{|a_{n}|^{p+1}}}}$$収束する。これはアダマールの正準表現と呼ばれる。^{[ 4 ]}非負整数${\displaystyle g=\max\{p,q\}}$全体関数の種数と呼ばれる${\displaystyle f}$注文${\displaystyle \rho }$の${\displaystyle f}$満たす$${\displaystyle g\leq \rho \leq g+1}$$ 言い換えれば：${\displaystyle \rho }$整数でない場合、${\displaystyle g=[\rho ]}$は整数部分です${\displaystyle \rho }$順序が正の整数である場合、2つの可能性があります。${\displaystyle g=\rho -1}$または${\displaystyle g=\rho }$。

例えば、${\displaystyle \sin }$、${\displaystyle \cos }$そして${\displaystyle \exp }$属の完全な機能${\displaystyle g=\rho =1}$。

• ミッタッグ＝レフラーの定理
• ウォリス積は、この定理を正弦関数に適用することで導出できる。
• ブラシュケ製品

• 「ワイエルシュトラスの定理」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]

• オイラーによる正弦関数のワイエルシュトラス分解の可視化（ Wayback Machineにてアーカイブ済み、2018年11月30日）