半連続性

数学的解析において、半連続性（または半連続性）は、連続性よりも弱い拡張実数値関数の特性である。拡張実数値関数は、大まかに言えば、ある点における上半連続（または下半連続）であるとは、関数値が、${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f\left(x_{0}\right).}$

関数が連続的であるためには、上半連続かつ下半連続である必要があります。連続関数の特定の点における値をある に対してまで増加させると、結果は上半連続になります。値を まで減少させると、結果は下半連続になります。 ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f\left(x_{0}\right)+c}$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle f\left(x_{0}\right)-c}$

上半連続関数と下半連続関数の概念は、 1899年にルネ・ベールの論文で初めて導入され研究されました。 ^[1]

全体を通して が位相空間であり、 が拡張された実数の値を持つ関数であると仮定します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}=[-\infty ,\infty ]}$

関数が点において上半連続であるとは、任意の実数に対しての近傍が存在し、任意の に対してとなることをいう。^[2] 同様に、がにおいて上半連続であることは、 lim sup が点における関数の上極限である場合に限る。 ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle x_{0}\in X}$${\displaystyle y>f\left(x_{0}\right)}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f(x)<y}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$$${\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)\leq f(x_{0})}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}.}$

が距離関数を持つ計量空間である場合、これは連続関数の定義と同様に、-定式化を使用して言い換えることもできます。つまり、各に対して、次の式を満たすものが存在するということです。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$${\displaystyle f(x_{0})\in \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \delta}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle f(x)<f(x_{0})+\epsilon }$${\displaystyle d(x,x_{0})<\delta .}$

関数が上半連続であるとは、以下の同値な条件のいずれかを満たす場合を言う: ^[2]${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$

（１）関数はその定義域のどの点でも上半連続である。

(2) 各 に対して、集合はにおいて開集合であり、 となる。${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$${\displaystyle f^{-1}([-\infty ,y))=\{x\in X:f(x)<y\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [-\infty ,y)=\{t\in {\overline {\mathbb {R} }}:t<y\}}$

(3) 各 に対して、-超準位集合はにおいて閉じている。${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f^{-1}([y,\infty ))=\{x\in X:f(x)\geq y\}}$${\displaystyle X}$

（４）ハイポグラフ は閉じている。${\displaystyle \{(x,t)\in X\times \mathbb {R} :t\leq f(x)\}}$${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$

(5) 関数は、共役領域に左位位相が与えられたときに連続である。これは、左位位相がすべての区間によって生成されるため、条件(2)を単に言い換えたものである。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle [-\infty ,y)}$

関数が点において下半連続であるとは、任意の実数 に対しての近傍が存在し、すべての に対してとなることをいう。同様に、が において下半連続であるとは、 が における関数の下側の極限である場合に限る。 ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle x_{0}\in X}$${\displaystyle y<f\left(x_{0}\right)}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f(x)>y}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$$${\displaystyle \liminf _{x\to x_{0}}f(x)\geq f(x_{0})}$$${\displaystyle \liminf }$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}.}$

が距離関数を持つ距離空間である場合、これは次のように言い換えることもできる。それぞれに対して、${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$${\displaystyle f(x_{0})\in \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle f(x)>f(x_{0})-\varepsilon }$${\displaystyle d(x,x_{0})<\delta .}$

関数が以下の同等の条件のいずれかを満たす場合、 その関数は下半連続と呼ばれます。${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$

（１）関数はその定義域のどの点でも下半連続である。

(2) 各 に対して、集合はにおいて開集合であり、 となる。${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$${\displaystyle f^{-1}((y,\infty ])=\{x\in X:f(x)>y\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (y,\infty ]=\{t\in {\overline {\mathbb {R} }}:t>y\}}$

(3) 各 に対して、-サブレベル集合は で閉じている。${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f^{-1}((-\infty ,y])=\{x\in X:f(x)\leq y\}}$${\displaystyle X}$

（４）碑文 はで閉じられている。^{[3] ：207}${\displaystyle \{(x,t)\in X\times \mathbb {R} :t\geq f(x)\}}$${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$

(5) 関数は、共役領域に右次位相が与えられたときに連続である。これは、右次位相がすべての区間によって生成されるため、条件(2)を単に言い換えたものである。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle (y,\infty ]}$

次のように区分的に定義される関数を考えます。 この関数は、 では上半連続ですが、下半連続ではありません。 ${\displaystyle f,}$ $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}x<0,\\1&{\mbox{if }}x\geq 0\end{cases}}}$$${\displaystyle x_{0}=0,}$

与えられた実数以下の最大の整数を返すfloor関数は 、どこでも上半連続です。同様に、ceiling 関数は下半連続です。 ${\displaystyle f(x)=\lfloor x\rfloor ,}$${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f(x)=\lceil x\rceil }$

実変数の関数の場合、上半連続性と下半連続性は左または右からの連続性とは関係がありません。半連続性は、関数の領域内の順序付けによって定義されるのであって、定義域内の順序付けによって定義されるのではありません。^[4] たとえば、関数は では上半連続ですが、左または右からの 0 での関数の極限は存在しません。 $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin(1/x)&{\mbox{if }}x\neq 0,\\1&{\mbox{if }}x=0,\end{cases}}}$$${\displaystyle x=0}$

がユークリッド空間（またはより一般的には計量空間）であり、が（最大距離を持つ）内の曲線の空間である場合、各曲線にその長さを割り当てる長さ関数は下半連続です。^[5]例として、単位正方形の対角線を下から階段で近似することを考えます。階段の長さは常に 2 ですが、対角線の長さは のみです。 ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \Gamma =C([0,1],X)}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d_{\Gamma }(\alpha ,\beta )=\sup\{d_{X}(\alpha (t),\beta (t)):t\in [0,1]\}}$${\displaystyle L:\Gamma \to [0,+\infty ],}$${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L(\alpha ),}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

を測度空間とし、をに対する測度で収束する位相を備えた正の可測関数の集合とすると、ファトゥの補題により、からへの演算子として見られる積分は下半連続になります。 ${\displaystyle (X,\mu )}$${\displaystyle L^{+}(X,\mu )}$${\displaystyle \mu .}$${\displaystyle L^{+}(X,\mu )}$${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$

関数解析におけるトネリの定理は、L ^p空間上の非線形関数の弱い下半連続性を、別の関数の凸性の観点から 特徴づけます。

特に指定がない限り、以下のすべての関数は位相空間から 拡張された実数へのものです。結果のいくつかは特定の点における半連続性に対して成り立ちますが、簡潔にするために、それらはドメイン全体にわたる半連続性に対してのみ述べられます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=[-\infty ,\infty ].}$

• 関数が連続的であるためには、関数が上半連続かつ下半連続である必要があります。${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$
• 集合 の特性関数または指示関数(およびの場合には で定義) が上半連続となるのは、が閉集合である場合に限ります。 が下半連続となるのは、 が開集合である場合に限ります。${\displaystyle A\subset X}$${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=1}$${\displaystyle x\in A}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle x\notin A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$
• 凸解析の分野では、集合の特性関数は、 の場合、の場合のように、異なって定義されます。その定義では、任意の閉集合の特性関数は下半連続であり、任意の開集合の特性関数は上半連続です。${\displaystyle A\subset X}$${\displaystyle \chi _{A}(x)=0}$${\displaystyle x\in A}$${\displaystyle \chi _{A}(x)=\infty }$${\displaystyle x\notin A}$

させて。 ${\displaystyle f,g:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$

• と が下半連続であれば、その和は下半連続である^[6]（和が明確に定義されている、つまり不定形 ではないことが条件）。上半連続関数についても同様である。${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f+g}$${\displaystyle f(x)+g(x)}$ ${\displaystyle -\infty +\infty }$
• およびが下半連続かつ非負の場合、積関数は下半連続です。対応する結果は上半連続関数にも当てはまります。${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle fg}$
• 関数が下半連続となるのは、関数が上半連続となる場合のみです。${\displaystyle f}$${\displaystyle -f}$
• と が上半連続で が非減少で ある場合、合成は上半連続です。一方、が非減少でない場合、 は上半連続ではない可能性があります。^[7]${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\circ g}$
• および が下半連続である場合、それらの（点ごとの）最大値と最小値（およびによって定義される）も下半連続です。したがって、から（または から）のすべての下半連続関数の集合は、格子を形成します。対応するステートメントは、上半連続関数についても当てはまります。${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle x\mapsto \max\{f(x),g(x)\}}$${\displaystyle x\mapsto \min\{f(x),g(x)\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

• 任意の下半連続関数族（によって定義される）の（点ごとの）上限は下半連続である。^[8]${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle f_{i}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle f(x)=\sup\{f_{i}(x):i\in I\}}$

特に、連続関数の単調増加列の極限は下半連続である。（以下のベールの定理は部分的な逆を与える。）極限関数は一般に下半連続であるだけで、連続ではない。例として、に対して定義された関数が示される。${\displaystyle f_{1}\leq f_{2}\leq f_{3}\leq \cdots }$${\displaystyle f_{n}(x)=1-(1-x)^{n}}$${\displaystyle x\in [0,1]}$${\displaystyle n=1,2,\ldots .}$

同様に、任意の上半連続関数族の最小値は上半連続です。また、連続関数の単調減少列の極限は上半連続です。

• がコンパクト空間（例えば閉有界区間）で上半連続であれば、 は最大となり、が下半連続であれば、は最小となる。${\displaystyle C}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f:C\to {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C,}$${\displaystyle C.}$

(上側半連続の場合の証明: 定義の条件 (5) により、 は左順序位相が与えられたときに連続します。したがって、その像はその位相でコンパクトです。そして、その位相のコンパクト集合は、最大値を持つ集合とまったく同じです。別の証明については、極値定理に関する記事を参照してください。)${\displaystyle f}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle f(C)}$

• （ベールの定理）^{[注 1]を}距離空間とする。任意の下半連続関数は、上の拡張された実数値連続関数の点ごとの 増加列の極限である。特に、連続関数の列が存在し、${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \{f_{i}\}}$${\displaystyle f_{i}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$

$${\displaystyle f_{i}(x)\leq f_{i+1}(x)\quad \forall x\in X,\ \forall i=0,1,2,\dots }$$そして

$${\displaystyle \lim _{i\to \infty }f_{i}(x)=f(x)\quad \forall x\in X.}$$

が値を取らない場合、連続関数は実数値であるとみなすことができます。^{[9] [10]}${\displaystyle f}$${\displaystyle -\infty }$

さらに、すべての上半連続関数は、上の拡張された実数値連続関数の単調減少列の極限です。が値を取らない場合、連続関数は実数値であると見なすことができます。${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle X;}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \infty ,}$

• 任意の位相空間上の上半連続関数は、ある稠密な開集合上で局所的に一定である。${\displaystyle f:X\to \mathbb {N} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

• 位相空間が順次である場合、 が上半連続であるための必要十分条件は、 が順次上半連続である場合、つまり、と に向かって収束する任意のシーケンスに対してが成立する場合です。同様に、順次空間では、 が上半連続であるための必要十分条件は、そのスーパーレベル セットがすべての に対して順次閉じている場合です。一般に、上半連続関数は順次上半連続ですが、その逆は偽である可能性があります。${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle (x_{n})_{n}\subset X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }f(x_{n})\leqslant f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \{\,x\in X\,|\,f(x)\geqslant y\,\}}$${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$

集合値関数については、上半連続性、下半連続性、外側半連続性、内側半連続性、および上半連続性および下半連続性という、いくつかの半連続性の概念が定義されている。集合から集合への集合値関数は次のように書き表される。各集合に対して、関数は集合を定義する。集合の 逆像は次のように定義される 。 すなわち、は、と交わらないすべての点を含む集合である。[ ^11]${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle F:A\rightrightarrows B.}$${\displaystyle x\in A,}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F(x)\subset B.}$${\displaystyle S\subset B}$${\displaystyle F}$$${\displaystyle F^{-1}(S):=\{x\in A:F(x)\cap S\neq \varnothing \}.}$$${\displaystyle F^{-1}(S)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle S}$

集合値写像がにおいて上半連続であるとは、となる任意の開集合に対してとなる近傍が存在することを言う^{[11] : 定義 2.1}${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle F(x)\subset U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F(V)\subset U.}$

集合値写像がで下半連続であるとは、任意の開集合に対しての近傍が存在し、その近傍が存在する場合を言う^{[11] : 定義 2.2}${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x\in F^{-1}(U),}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V\subset F^{-1}(U).}$

上側および下側の集合値半連続性は、上記の定義のとを任意の位相空間に置き換えることによって、位相空間間の集合値写像に対してより一般的に定義される。 ^[11]${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

単値の下半連続性と上半連続性と、集合値の下半連続性と上半連続性の間には直接的な対応関係がないことに注意する。上半連続な単値関数は、集合値写像として考えた場合、必ずしも上半連続であるわけではない。 ^{[11] : 18} たとえば、で定義される 関数は 単値の意味で上半連続であるが、集合値写像は集合値の意味で上半連続ではない。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}x<0,\\1&{\mbox{if }}x\geq 0\end{cases}}}$$${\displaystyle x\mapsto F(x):=\{f(x)\}}$

集合値関数は、における任意の収束列に対して、における列が存在し、 が十分に大きい場合、において内部半連続と呼ばれる^{[12] [注2]}${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y\in F(x)}$${\displaystyle (x_{i})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle x_{i}\to x}$${\displaystyle (y_{i})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle y_{i}\to y}$${\displaystyle y_{i}\in F\left(x_{i}\right)}$${\displaystyle i\in \mathbb {N} .}$

集合値関数は、における任意の収束列に対して となり、 における任意の収束列に対して となる場合、において外部半連続と呼ばれる。各 に対して列はにおける点に収束する（つまり、）。^[12]${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (x_{i})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle x_{i}\to x}$${\displaystyle (y_{i})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle y_{i}\in F(x_{i})}$${\displaystyle i\in \mathbb {N} ,}$${\displaystyle (y_{i})}$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle \lim _{i\to \infty }y_{i}\in F(x)}$

• 方向の連続性 – 突然の変化のない数学的関数Pages displaying short descriptions of redirect targets
• カチェトフ・トン挿入定理 – 半連続な上限と下限の間の連続関数の存在について
• 半連続性 – 集合値関数の半連続性
• Càdlàg  – 左限界を持つ右連続関数

• Benesova, B.; Kruzik, M. (2017). 「積分関数の弱い下側半連続性とその応用」SIAM Review . 59 (4): 703–766. arXiv : 1601.00390 . doi :10.1137/16M1060947. S2CID  119668631.
• ブルバキ、ニコラス（1998）。数学の要素：一般位相幾何学、1-4。シュプリンガー。ISBN 0-201-00636-7。
• ブルバキ、ニコラス（1998）。数学の要素：一般位相幾何学、5-10。シュプリンガー。ISBN 3-540-64563-2。
• エンゲルキング、リザード(1989)。一般的なトポロジ。ヘルダーマン・フェルラーク、ベルリン。ISBN 3-88538-006-4。
• ゲルバウム、バーナード R.; オルムステッド、ジョン MH (2003)。分析における反例。ドーバー出版。ISBN 0-486-42875-3。
• Hyers, Donald H.; Isac, George; Rassias, Themistocles M. (1997)。非線形解析とアプリケーションのトピック。World Scientific。ISBN 981-02-2534-2。
• ストロンバーグ、カール (1981)。『古典的実解析入門』ワズワース。ISBN 978-0-534-98012-2。
• ウィラード、スティーブン（2004）[1970]。一般位相幾何学。ミネオラ、ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.
• Zălinescu, Constantin (2002 年 7 月 30 日)。一般ベクトル空間における凸解析。リバーエッジ、ニュージャージー、ロンドン: World Scientific Publishing。ISBN 978-981-4488-15-0. MR  1921556. OCLC  285163112 –インターネットアーカイブ経由。