ワイル制限

数学において、スカラーの制限（「ヴェイユ制限」とも呼ばれる）は、体の任意の有限拡大L/kとL上の任意の代数多様体Xに対して、 k上で定義される別の多様体 Res _{L / k} Xを生成する関数です。これは、大きな体上の多様体に関する質問を、より小さな体上のより複雑な多様体に関する質問に簡約するのに役立ちます。

L/k を体の有限拡大とし、X をL 上で定義された多様体とする。k-スキームopから集合^への関手は次のように定義される 。${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}X}$

${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}X(S)=X(S\times _{k}L)}$

(特に、のk有理点はXのL有理点です。) この関数を表現する多様体はスカラーの制限と呼ばれ、一意の同型が存在する場合を除いて一意です。 ${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}X}$

集合の層の観点からは、スカラーの制限は単に射に沿ったプッシュフォワードであり、スキームのファイバー積に右随伴するため、上記の定義はより一般的な言い換えが可能です。特に、体の拡張を環付きトポイの任意の射に置き換えることができ、Xに関する仮説をスタックなどに弱めることができます。これには、スカラーの制限の振る舞いに対する制御が少なくなるという代償があります。 ${\displaystyle \operatorname {Spec} (L)\to \operatorname {Spec} (k)}$

をスキームの射とする。-スキームに対して、反変関数 ${\displaystyle h:S'\to S}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {Res} _{S'/S}(X):\mathbf {Sch/S} ^{op}\to \mathbf {Set} ,\quad T\mapsto \operatorname {Hom} _{S'}(T\times _{S}S',X)}$

がで表現できる場合、対応する-スキーム（ とも表記）をに関する のヴェイユ制限と呼びます。^[1]${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {Res} _{S'/S}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle h}$

ここで、 は固定されたスキーム 上のスキームのカテゴリの双対を表します。 ${\displaystyle \mathbf {Sch/S} ^{op}}$${\displaystyle S}$

体の任意の有限拡大に対して、スカラーの制限により、準射影多様体は準射影多様体になります。結果として得られる多様体の次元は、拡大の次数で乗算されます。

適切な仮定（平坦、適切、有限提示など）の下では、代数空間の任意の射は、アルティン、ドリーニュ・マンフォード、表現可能性などの特性を保持しながら、代数スタックを代数スタックに変換するスカラー関数の制限を生成します。 ${\displaystyle T\to S}$

簡単な例を以下に示します。

1. L をkのs次有限拡大とします。このとき、 および はSpec k上のs次元アフィン空間です。${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}(\operatorname {Spec} (L))=\operatorname {Spec} (k)}$${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}\mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{s}}$
2. Xが によって定義されるアフィンL多様体である場合、 Spec と書くことができます。ここで、( ) は新しい変数であり、( ) はLのk基底を取り、 および を設定することによって与えられる の多項式です。$${\displaystyle X=\operatorname {Spec} L[x_{1},\dots,x_{n}]/(f_{1},\dotsc,f_{m});}$$${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}X}$${\displaystyle k[y_{i,j}]/(g_{l,r})}$${\displaystyle y_{i,j}}$${\displaystyle 1\leq i\leq n,1\leq j\leq s}$${\displaystyle g_{l,r}}$${\displaystyle 1\leq l\leq m,1\leq r\leq s}$${\displaystyle y_{i,j}}$${\displaystyle e_{1},\dotsc ,e_{s}}$${\displaystyle x_{i}=y_{i,1}e_{1}+\dotsb +y_{i,s}e_{s}}$${\displaystyle f_{t}=g_{t,1}e_{1}+\dotsb +g_{t,s}e_{s}}$

スキームがグループ スキームである場合、その Weil 制限も同様になります。これは数論でよく使用されます。たとえば、次のようになります。

1. トーラス(は乗法群を表す) は、実ホッジ構造のTannakian カテゴリが の表現のカテゴリと同値であるため、ホッジ理論で重要な役割を果たします。実数点はと同型のリー群構造を持ちます。Mumford–Tate 群を参照してください。$${\displaystyle \mathbb {S} :=\operatorname {Res} _{\mathbb {C} /\mathbb {R} }\mathbb {G} _{m}}$$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle \mathbb {S} .}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$
2. Lがk上で可分であれば、(可換)群多様体のWeil 制限は再び次元の(可換)群多様体になります。${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}\mathbb {G} }$${\displaystyle \mathbb {G} }$${\displaystyle [L:k]\dim \mathbb {G} ,}$
3. アーベル多様体（例えば、楕円曲線）上のスカラーの制限は、 L がk上で可分である場合、アーベル多様体を生成します。ジェームズ・ミルンはこれを使用して、すべての数体上のアーベル多様体に対するバーチとスウィナートン・ダイアーの予想を、有理数上の同じ予想に還元しました。
4. 楕円曲線暗号では、Weil 降下攻撃は Weil 制限を使用して、有限拡大体 L/K 上の楕円曲線上の離散対数問題を、K のサイズが小さいため潜在的に解決が容易な、基​​本体 K 上の超楕円曲線のヤコビ多様体上の離散対数問題に変換します。

スカラーの制限はグリーンバーグ変換に似ていますが、可換代数A上のウィットベクトルの環は一般にA代数ではないため、一般化されません。

元の参考文献は、次のように出版された Weil の 1959-1960 年講義の第 1.3 節です。

• アンドレ・ヴェイユ。「アデルと代数群」、Progress in Math. 23、Birkhäuser 1982。1959年から1960年にかけて行われた講義のノート。

その他の参考資料:

• ジークフリート・ボッシュ、ヴェルナー・リュトケボーメルト、ミシェル・レイノー。 「ネロンモデル」、シュプリンガーフェアラーク、ベルリン、1990年。
• ジェームズ・S・ミルン「アーベル多様体の算術について」、Invent. Math. 17 (1972) 177-190。
• Martin Olsson. 「Hom スタックとスカラーの制限」、Duke Math J.、134 (2006)、139–164。http://math.berkeley.edu/~molsson/homstackfinal.pdf
• Bjorn Poonen. 「多様体上の有理点」、http://math.mit.edu/~poonen/papers/Qpoints.pdf
• Nigel Smart、Weil descent のページと参考文献、https://homes.esat.kuleuven.be/~nsmart/weil_descent.html