解析空間

解析空間は、特異点を許容する解析多様体の一般化です。解析空間は、解析多様体と局所的に同じである空間です。解析空間は、複数の複素変数の研究で顕著ですが、他のコンテキストでも登場します。

体k を値で固定します。体はこの値に関して完全であり、離散的ではないと仮定します。たとえば、これには通常の絶対値に関するRとC だけでなく、自然な値に関する ピュイズー級数の体も含まれます。

U をk ⁿの開集合とし、f_{​​ 1}、...、f _{k を}U上の解析関数の集合とする。f ₁、...、f _kの共通消失点をZで表し、Z = { x | f ₁ ( x ) = ... = f _k ( x ) = 0 } とします。 Z は解析多様体です。

Uの構造層が であると仮定します。すると、Zには構造層 があり、 はf ₁、...、f _kによって生成されるイデアルです。言い換えると、Zの構造層は、 Zの外部で異なる可能性のある方法を法としてU上のすべての関数で構成されます。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Z}={\mathcal {O}}_{U}/{\mathcal {I}}_{Z}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{Z}}$

解析空間は局所環空間 であり、 Xのあらゆる点xの周りには、構造層を持つ解析多様体に同型（局所環空間として）である開近傍Uが存在する。このような同型は、 xにおけるXの局所モデルと呼ばれる。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle (U,{\mathcal {O}}_{U})}$

解析的写像または解析空間の射は、局所環空間の射です。

この定義は、スキームの定義に似ています。唯一の違いは、スキームの場合、ローカルモデルは環のスペクトルであるのに対し、解析空間の場合、ローカルモデルは解析多様体であることです。このため、解析空間とスキームの基本理論は非常に似ています。さらに、解析多様体は任意の可換環よりもはるかに単純な動作をするため (たとえば、解析多様体は体上で定義され、常に有限次元です)、解析空間は体上の有限型スキームと非常によく似た動作をします。

解析空間内のすべての点には局所次元があります。 xにおける次元は、xにおける局所モデルを選択し、 xに対応する点における解析多様体の局所次元を決定することによって求められます。

解析空間内の各点には接空間がある。x がXの点であり、m _xがxで消失するすべての関数の理想層である場合、 xにおける余接空間はm _x / m _x ²である。接空間は( m _x / m _x ² ) ^*であり、余接空間への双対ベクトル空間である。解析写像は、接空間上のプッシュフォワード写像と余接空間上のプルバック写像を誘導する。

xにおける接空間の次元は、 xにおける埋め込み次元と呼ばれます。ローカル モデルを見ると、次元が常に埋め込み次元以下であることが簡単にわかります。

解析空間がxで滑らかであるとは、 xに局所モデルがあり、それが何らかのnに対してk ⁿの開部分集合である場合を指します。解析空間が滑らかであるとは、あらゆる点で滑らかである場合を指します。この場合、解析空間は解析多様体です。解析空間が滑らかでない点の部分集合は、閉じた解析部分集合です。

解析空間は、その空間のすべての局所モデルがイデアルの根基層によって定義される場合、縮約されます。縮約されていない解析空間Xには、同じ基礎位相空間を持つ縮約された解析空間である縮約 X _redがあります。標準射r  : X _red → Xが存在します。 Xから縮約された解析空間へのすべての射は、r を介して因数分解されます。

解析空間が正規であるとは、構造層のあらゆる茎が正規環（つまり整閉整域）であることを意味します。正規解析空間では、特異点の余次元は少なくとも 2 です。X が x における局所完全交差である場合、Xはxにおいて正規です。

非正規解析空間は、標準的な方法で正規空間に平滑化できます。この構成は正規化と呼ばれます。解析空間Xの正規化N ( X ) には、標準的な写像ν : N ( X ) → Xが伴います。通常の解析空間からXへのすべての支配的な射は、ν を介して因数分解されます。

解析空間は、その構造層が連接層である場合に連接である。 - 加群の連接層は、連接解析層と呼ばれる。たとえば、連接空間上では、局所自由層とイデアルの層は連接解析層である。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

代数的に閉じた体上の解析空間は連接している。複素数の場合、これはOka の連接定理として知られている。これは非代数的に閉じた体上では当てはまらず、連接していない実解析空間の例もある。

状況によっては、解析空間の概念が制限的すぎることがあります。これは多くの場合、基底フィールドに解析集合では捉えられない追加の構造があるためです。このような状況では、解析空間の一般化によって、ローカル モデル空間の柔軟性が高まります。

たとえば、実数上で、円x ² + y ² = 1を考えます。円は解析空間R ^{2の解析部分集合です。しかし、} x軸への射影は閉区間[−1, 1]であり、これは解析集合ではありません。したがって、解析写像による解析集合の像は、必ずしも解析集合ではありません。これは、解析集合よりもはるかに厳密ではありませんが、任意の体上で定義されていない部分解析集合を扱うことで回避できます。解析空間の対応する一般化は部分解析空間です。（ただし、緩やかな点集合位相仮説の下では、部分解析空間は部分解析集合と本質的に同等であることがわかります。）

• 分析多様性
• 複素解析空間

• Onishchik, AL (2001) [1994]、「解析空間」、数学百科事典、EMS Press
• ポノマレフ、DA (2001) [1994]、「実解析空間」、数学百科事典、EMS プレス