小平埋め込み定理

数学において、小平埋め込み定理は、コンパクトなケーラー多様体の間で、複素数上の非特異 射影多様体を特徴付ける。実質的に、どの複素多様体が同次多項式によって定義されるかを正確に述べている。

小平邦彦の結果は、ホッジ計量を持つコンパクトなケーラー多様体Mに対して、ケーラー形式ωによって定義される次数 2 のコホモロジー類が整コホモロジー類であることを意味する、十分高い次元Nの複素射影空間へのMの複素解析的埋め込みが存在するというものである。 Mが代数多様体として埋め込まれるという事実は、チョウの定理によるコンパクト性から導かれる。ホッジ計量を持つケーラー多様体はホッジ多様体( WVD ホッジにちなんで名付けられている) と呼ばれることもあるため、小平の結果はホッジ多様体が射影的であることを示すものである。射影多様体がホッジ多様体であるという逆はより初歩的であり、すでに知られていた。

小平はまた、コンパクト複素曲面の分類を利用して、すべてのコンパクトケーラー面は射影ケーラー面の変形であることを証明しました (Kodaira 1963 )。これは後に、分類への依存を排除​​するためにブッフダールによって簡略化されました (Buchdahl 2008)。

X をコンパクトなケーラー多様体とし、L をX上の正則直線束とします。このとき、L が正則直線束となるのは、ある m > 0 に対して、 Xをある射影空間に正則埋め込みできる場合のみです 。 ${\displaystyle \varphi :X\rightarrow \mathbb {P} ^{N}}$${\displaystyle \varphi ^{*}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{N}}(1)=L^{\otimes m}}$

• 藤田予想
• ホッジ構造
• モイシェゾン多様体

• Buchdahl、Nicholas (2008)、「コンパクトなケーラー曲面の代数的変形 II」、数学時代、258 (3): 493–498、doi :10.1007/s00209-007-0168-6、S2CID  122002987
• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157、OCLC  13348052
• 小平 邦彦 (1954)、「制限型ケーラー多様体について（代数多様体の本質的特徴付け）」、Annals of Mathematics、Second Series、60 (1): 28–48、doi :10.2307/1969701、ISSN  0003-486X、JSTOR  1969701、MR  0068871
• 小平 邦彦 (1963)、「コンパクトな解析面について III」、Annals of Mathematics、Second Series、78 (1): 1–40、doi :10.2307/1970500、ISSN  0003-486X、JSTOR  1970500
• 消失定理なしの埋め込み定理の証明（Simon Donaldsonによる）は、ここの講義ノートに記載されています。
• 「コヒーレント層」。複素変数と複素多様体 II。1982年。pp. 127–198。doi :10.1017 / CBO9780511629327.004。ISBN 9780521288880。