ヴィルティンガー導関数

1 変数および多変数の複素解析において、ヴィルティンガー微分（ヴィルティンガー演算子^[1]とも呼ばれる）は、ヴィルヘルム・ヴィルティンガーが 1927 年に多変数関数の理論に関する研究の過程で導入したことにちなんで名付けられ、複素領域上の正則関数、反正則関数、または単純に微分可能な関数に適用された場合、 1 つの実変数に関する通常の微分と非常によく似た動作をする1 階の偏微分演算子です。これらの演算子により、実変数関数の通常の微分積分と完全に類似した、そのような関数の微分積分を構築できます。^[2]

ヴィルティンガー微分は、Cherry & Ye (2001, p. 31) や Remmert (1991, pp. 66–67) によって簡単に言及されているように、少なくとも論文 (Poincaré 1899) の時点では複素解析に使用されていました。[ 3 ^] 1899 年の論文の第 3 段落で、^[4] アンリ・ポアンカレは、複素変数とその複素共役を次のように 定義します。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle {\begin{cases}x_{k}+iy_{k}=z_{k}\\x_{k}-iy_{k}=u_{k}\end{cases}}\qquad 1\leqslant k\leqslant n.}$

次に彼は、彼がbiharmoniqueと呼ぶ関数を定義する方程式を書きます^[5]。これは、1からの範囲の実変数に関する偏微分を使用して、次のように正確に書かれました^[6]。${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x_{k},y_{q}}$${\displaystyle k,q}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}V}{dz_{k}\,du_{q}}}=0}$

これは、彼が以下の定義 2 を暗黙的に使用したことを意味します。これを確認するには、(Poincaré 1899、p. 112) の式 2 と 2' を比較するだけで十分です。どうやら、この論文は、複数の複素変数の関数の理論の初期の研究者には注目されていませんでした。Levi-Civita (1905)、Levi (1910) (および Levi 1911)、および Amoroso (1912) の論文では、理論のすべての基本的な偏微分演算子は、関係する複素変数の実部と虚部に関する偏微分を使用して直接表現されています。 Osgood (1966) による長い調査論文 (1913 年に初版が出版) ^[7]では、複数の複素変数からなる正則関数の各複素変数に関する偏微分は形式的な微分として意図されているように思われる。実際、Osgood が多重調和演算子^{[8]と Levi 演算子を表現するとき、彼は}Amoroso、Levi、Levi-Civitaの確立された慣例に従っている。

Henrici (1993, p. 294) によれば、この概念の定義における新たな一歩は、 Dimitrie Pompeiuによって踏み出された。論文 (Pompeiu 1912) では、与えられた点の近傍で定義された1 つの複素変数の複素数値 微分可能関数(実解析の意味で)が与えられたとき、彼は等角微分を次の極限として定義した。 ${\displaystyle g(z)}$ ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} ,}$

${\displaystyle {{\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})}\mathrel {\overset {\mathrm {def} }{=}} \lim _ {r\to 0}{\frac {1}{2\pi ir^{2}}}\oint _{\Gamma (z_{0},r)}g(z)\mathrm {d} z、}$

ここで、は半径 の円板の境界で、これは の定義域、すなわちその境界円に完全に含まれる。^{[9]これは明らかに、}複素共役変数に関する Wirtinger 微分の定義の別の例である。^[10]これはより一般的な定義であり、Henrici (1993, p. 294) が指摘しているように、 でさえ微分不可能な関数に対しても極限が存在する可能性がある。 ^{[11] Fichera (1969, p. 28) によると、}ソボレフの意味で、円周微分を弱微分として最初に特定したのはIlia Vekuaであった。^[12] Pompeiu (1913) は、次の論文でこの新しく定義された概念を使用して、現在ではコーシー–ポンペイの公式と呼ばれるコーシーの積分公式の一般化を紹介している。 ${\displaystyle \Gamma (z_{0},r)=\partial D(z_{0},r)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle g(z),}$ ${\displaystyle z=z_{0}.}$

ヴィルティンガー微分の最初の体系的な導入は、ヴィルヘルム・ヴィルティンガーが論文「ヴィルティンガー 1927」で、複数の複素変数の関数の理論で発生する量の計算を簡略化するために導入したことによると思われます。これらの微分演算子の導入の結果、レヴィ演算子やコーシー・リーマン演算子など、理論で一般的に使用されるすべての微分演算子の形式が大幅に簡略化され、結果として扱いやすくなりました。この論文は意図的に形式的な観点から書かれており、つまり、演繹された特性の厳密な導出は行われていません。

Wirtinger 微分は広く使用されているにもかかわらず、^[13] Wirtinger 微分のすべての特性を列挙したテキストは存在しないようです。ただし、かなり完全な参考文献として、 Andreotti による多次元複素解析の短期コース(1976、pp. 3-5)、^[14] Gunning と Rossi のモノグラフ(1965、pp. 3-6)、^[15] Kaup と Kaup のモノグラフ (1983、p. 2,4) ^[16]があり、これらはこのセクションと次のセクションで一般的な参考文献として使用されます。

定義 1.複素平面 （実数とに対して複素数を表現するという意味で）を考える。Wirtinger 微分は、次の1 階の 線形偏微分演算子として定義される。${\displaystyle \mathbb {C} \equiv \mathbb {R} ^{2}=\{(x,y)\mid x,y\in \mathbb {R} \}}$${\displaystyle z=x+iy}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\end{aligned}}}$

明らかに、これらの偏微分演算子の自然な定義領域は、領域上の関数の空間ですが、これらの演算子は線形であり、定数係数を持つため、一般化された関数のあらゆる空間に容易に拡張できます。 ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{2},}$

定義 2.複素体上のユークリッド空間を考える。Wirtinger微分は、次の 1 次線形偏微分演算子として定義されます。 $${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{2n}=\left\{\left(\mathbf {x} ,\mathbf {y} \right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n}\right)\mid \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}\right\}}.}$$ $${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}-i{\frac {\partial }{\partial y_{1}}}\right)\\\qquad \vdots \\{\frac {\partial }{\partial z_{n}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{n}}}-i{\frac {\partial }{\partial y_{n}}}\right)\\\end{cases}},\qquad {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{1}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+i{\frac {\partial }{\partial y_{1}}}\right)\\\qquad \vdots \\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{n}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{n}}}+i{\frac {\partial }{\partial y_{n}}}\right)\\\end{cases}}.}$$

1 つの複素変数の関数の Wirtinger 導関数に関しては、これらの偏微分演算子の定義の自然な領域は、やはり領域上の関数の空間であり、また、これらの演算子は線形で定数係数を持つため、一般化関数のあらゆる空間に容易に拡張できます。 ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2n},}$

ある点で関数が複素微分可能である場合、ヴィルティンガー導関数は複素導関数と一致する。これはコーシー・リーマン方程式から導かれる。複素微分可能な 複素関数の場合、${\displaystyle f}$${\displaystyle \partial f/\partial z}$${\displaystyle df/dz}$${\displaystyle f(z)=u(z)+iv(z)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial z}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}-i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\\&={\frac {\partial u}{\partial z}}+i{\frac {\partial v}{\partial z}}={\frac {df}{dz}}\end{aligned}}}$

ここで、3番目の等式はコーシー-リーマン方程式を使用します。 ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}},{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}}$

2 番目の Wirtinger 導関数も複素微分と関連しており、複素形式の Cauchy-Riemann 方程式に相当します。 ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0}$

このセクションと次のセクションでは、 は複素ベクトルであり、 は実ベクトル( n  ≥ 1) であると仮定します。また、サブセットは実ユークリッド空間またはその同型複素対応物 内の領域として考えることができると仮定します。すべての証明は、定義1と定義2および導関数(通常または部分)の対応する特性から容易に得られます。 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle z\equiv (x,y)=(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})}$${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$

補題1.とが複素数である場合、次の等式が成立する。 ${\displaystyle f,g\in C^{1}(\Omega )}$${\displaystyle \alpha ,\beta }$${\displaystyle i=1,\dots ,n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\left(\alpha f+\beta g\right)&=\alpha {\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}+\beta {\frac {\partial g}{\partial z_{i}}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i}}}\left(\alpha f+\beta g\right)&=\alpha {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}+\beta {\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\end{aligned}}}$

補題2.積の法則が成り立つ 場合${\displaystyle f,g\in C^{1}(\Omega ),}$${\displaystyle i=1,\dots ,n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}(f\cdot g)&={\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}\cdot g+f\cdot {\frac {\partial g}{\partial z_{i}}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i}}}(f\cdot g)&={\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\cdot g+f\cdot {\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\end{aligned}}}$

この特性は、Wirtinger 導関数が、通常の導関数とまったく同じように、抽象代数の観点からの導関数であることを意味します。

この性質は、1つの複素変数の関数と複数の複素変数の関数に対してそれぞれ2つの異なる形をとります。n  > 1の場合、連鎖律をその完全な一般性で表現するには、2つの領域と2つの写像、および自然な滑らかさの要件を考慮する必要があります。^[17] ${\displaystyle \Omega '\subseteq \mathbb {C} ^{m}}$${\displaystyle \Omega ''\subseteq \mathbb {C} ^{p}}$ ${\displaystyle g:\Omega '\to \Omega }$${\displaystyle f:\Omega \to \Omega ''}$

補題3.1およびならば連鎖律が成立する ${\displaystyle f,g\in C^{1}(\Omega ),}$${\displaystyle g(\Omega )\subseteq \Omega ,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z}}(f\circ g)&=\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\circ g\right){\frac {\partial g}{\partial z}}+\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}}{\partial z}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}(f\circ g)&=\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\circ g\right){\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}}}+\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}}{\partial {\bar {z}}}}\end{aligned}}}$

補題3.2および次の形式の連鎖律が成立する ${\displaystyle g\in C^{1}(\Omega ',\Omega )}$${\displaystyle f\in C^{1}(\Omega ,\Omega ''),}$${\displaystyle i=1,\dots ,m}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\left(f\circ g\right)&=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial z_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial g_{j}}{\partial z_{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}_{j}}{\partial z_{i}}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i}}}\left(f\circ g\right)&=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial z_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial g_{j}}{\partial {\bar {z}}_{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}_{j}}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\end{aligned}}}$

補題4.次の等式が 成り立つ場合${\displaystyle f\in C^{1}(\Omega ),}$${\displaystyle i=1,\dots ,n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\left({\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}\right)}}&={\frac {\partial {\bar {f}}}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\\{\overline {\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\right)}}&={\frac {\partial {\bar {f}}}{\partial z_{i}}}\end{aligned}}}$

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