格子乗算

格子乗法は、イタリア式、中国式、中国格子、ジェロシア乗法、^[1] ふるい乗法、シャバク、対角乗法、ベネチアンスクエアとも呼ばれ、格子を使用して2つの多桁の数字を乗算する乗法です。数学的には、より一般的に使用される長い乗算アルゴリズムと同じですが、プロセスをより小さなステップに分割するため、一部の実践者にとっては使いやすいと感じています。^[2]

この方法は中世にはすでに存在し、何世紀にもわたってさまざまな文化で使用されてきました。今日でも特定のカリキュラムで教えられています。^{[3] [4]}

グリッドが描かれ、各セルは対角線上に分割されます。計算される積の 2 つの被乗数は、それぞれ格子の上部と右側に沿って書き込まれます。最初の被乗数 (左から右に書かれた数字) は上部の列ごとに 1 桁、2 番目の被乗数 (上から下に書かれた数字) は右側の行ごとに 1 桁です。次に、格子の各セルに、その列と行の数字の積が記入されます。

例として、58 と 213 の掛け算を考えてみましょう。両側に被乗数を書き込んだ後、左上のセルから始めて各セルについて考えます。この場合、列の数字は 5、行の数字は 2 です。その積である 10 をセルに書き、数字 1 を対角線の上に、数字 0 を対角線の下に書きます (手順 1 の図を参照)。

単純な積の十の位に数字が欠けている場合は、十の位に0を記入するだけです。^[2]

この方法ですべてのセルを埋めたら、右下の対角線から左上の対角線まで、各対角線の数字を合計します。各対角線の合計は、対角線の終了位置に書き込まれます。合計に複数の数字が含まれる場合は、10 の位の値が次の対角線に繰り越されます (手順 2 を参照)。

数字はグリッドの左側と下部に記入され、答えは下方向 (左側) と横方向 (下部) に読み取られた数字です。示されている例では、58 と 213 を掛け合わせた結果は 12354 です。

格子技法は小数の乗算にも使用できます。たとえば、5.8 に 2.13 を乗算する場合、手順は前のセクションで説明した 58 に 213 を乗算する場合と同じです。最終的な答えの小数点の位置を見つけるには、5.8 の小数点から垂直線を引き、2.13 の小数点から水平線を引きます。(手順 4 の図を参照)。これら 2 本の線の交点を通るグリッド対角線によって、結果の小数点の位置が決まります。^[2]この例では、5.8 と 2.13 の乗算の結果は 12.354 です。

格子乗算は歴史的に多くの文化で使用されてきたが、格子法に非常によく似た「カパットサンディ」と呼ばれる方法が、12世紀のバスカラチャリヤによるインド数学書「リラヴァティ」の注釈で言及されている。この方法が最初にどこで生まれたのか、世界の複数の地域で独立して発展したのかどうかは研究されている。^[5]格子乗算の最も古い記録された使用法: ^[6]

• アラブ数学では、13 世紀後半のマグレブのイブン・アル・バンナ・アル・マラクシが『タルヒシュ・アマル・アル・ディサーブ』の中で著した。
• ヨーロッパ数学におけるこの論文は、イギリスのラテン語論文『 Tractatus de minutis philosophicis et vulgaribus』の作者不明によるものでした。 1300
• 中国の数学における博士号は、呉静によって 1450 年に完成された『九章末法美霊大泉』で知られています。

数学者で教育者のデイビッド・ユージン・スミスは、格子乗法は中東からイタリアにもたらされたと主張した。^[7]この主張は、この方法のアラビア語の「シャバク」が、この方法のイタリア語の「ゲロシア」、つまり窓用の金属格子または格子（格子）と同じ意味を持つことからも裏付けられる。

格子乗法は、ムハンマド・イブン・ムーサー・アル＝ホワーリズミー（バグダッド、825年頃）やフィボナッチの算盤の書（イタリア、1202年、1228年）によって記述されたと誤って述べられることがある。 ^[8]しかし実際には、この2人の著者のどちらにも格子乗法が使用された形跡は見つかっていない。フィボナッチは算盤の書の第3章で、彼が「チェス盤の形をした長方形」と呼ぶ乗法の関連技法について記述している。この技法では、正方形のセルは対角線上に分割されず、各セルには最下位の数字のみが書き込まれ、それより上位の数字は別の場所で記憶または記録し、次のセルに追加するために「繰り越し」なければならない。これは格子乗算とは対照的であり、格子乗算の特徴は長方形の各セルに繰り上がり桁のための正しい位置があることです。これはまた、セルを任意の順序で埋めることができることも意味します。Swetz ^[9]は、 gelosia（格子）、scacherii （チェス盤）、およびその他のタブロー方式による乗算を比較対照しています。

格子乗算の他の注目すべき歴史的用途としては以下が挙げられる: ^[6]

• ジャムシード・アル・カーシーの『ミフタフ・アル・ヒサーブ』（サマルカンド、1427年）では、数字は60進法（基数60）で、グリッドは45度回転して「ダイヤモンド」の向きになっている。
• 1478年にヴェネツィア方言で出版された匿名のテキスト「アルテ・デッラバッコ」は、イタリアのヴェネツィアから内陸のトレヴィーゾで印刷されたため、「トレヴィーゾ算術」とも呼ばれる。
• ルカ・パチョーリの算数集（ヴェネツィア、1494年）
• インドの天文学者ガネーシャによるバースカラ2世の『リラーヴァティ』（16世紀）の注釈。

この方法の派生は、オスマン帝国出身のボスニアの博学者マトラクチ・ナスフによる16世紀の著作『ウンデット・ウル・ヒサブ』にも登場している。^[10]マトラクチ・ナスフの三角形の乗算技法は、右の図の155 x 525の例に見られ、左の図の236 x 175の例で説明されている。^[11]

マトラクチ・ナスフが説明したのと同じ原理が、後にネイピアの骨定規（スコットランド、1617 年）やジュナイユ・ルーカス定規（フランス、1800 年代後半）として知られる計算棒の開発の基礎となりました。

• ジュナイユ・リュカ朝
• ネイピアの骨