グリッド法の乗算

グリッド法（ボックス法とも呼ばれる）の掛け算は、10を超える数字を含む多桁の掛け算の計算に対する入門的なアプローチです。小学校レベルの数学教育でよく教えられるため、このアルゴリズムは文法学校法と呼ばれることもあります。^[1]

従来の長い掛け算と比較すると、グリッド方式は、掛け算と加算を 2 つのステップに明確に分割し、位取りの値への依存度が低い点で異なります。

グリッド乗算は従来の方法より効率は悪いものの、子供が間違いを犯す可能性が低いという点で、より信頼性が高いと考えられています。ほとんどの生徒は、グリッド法に慣れたら、従来の方法を学び続けますが、グリッド法の知識は、混乱した場合に便利な「代替手段」として残ります。また、今日では掛け算を頻繁に行う人は誰でもポケット電卓を使用するため、効率自体の重要性は低下しているとも主張されています。同様に、これはほとんどの子供が掛け算アルゴリズムをあまり使用しないことを意味するため、より明確な（したがってより記憶に残る）方法に慣れることが子供にとって有益です。

グリッド法は、 1990 年代に「算数の時間」を含む国家算数戦略が導入されて以来、イングランドとウェールズの小学校の数学教育の標準となっています。また、他のさまざまなカリキュラムにも組み込まれています。基本的に同じ計算アプローチですが、明示的なグリッド配置はなく、部分積アルゴリズムまたは部分積法とも呼ばれます。

グリッド法は、例えばチョコレートバーのチョコレートの四角の数など、規則的な配列内の点の数を合計する方法を考えることで導入できます。計算のサイズが大きくなるにつれて、10 ずつ数え始めることが容易になり、多数の点を描くのではなく、計算を分割できるボックスとして表すことが容易になります。^{[2] [3]}

最も単純なレベルでは、生徒は 3 × 17 のような計算にこの方法を適用するよう求められる場合があります。17 を (10 + 7) に分割 (「分割」) すると、この馴染みのない掛け算は、2 つの単純な掛け算の合計として計算できます。

つまり、3 × 17 = 30 + 21 = 51 です。

これは、乗算法の名前の由来となった「グリッド」または「ボックス」構造です。

34 × 13 のような少し大きい掛け算に直面した生徒は、最初はこれを 10 の位に分けることも勧められるかもしれません。つまり、34 を 10 + 10 + 10 + 4 に、13 を 10 + 3 に展開すると、積 34 × 13 は次のように表すことができます。

各行の内容を合計すると、計算の最終結果は (100 + 100 + 100 + 40) + (30 + 30 + 30 + 12) = 340 + 102 = 442 であることがわかります。

生徒が全体の積を別々の箱からの寄与に分割するという考えに慣れると、10の位をグループ化することが自然なステップとなり、計算34×13は次のようになります。

追加を与える

つまり34×13=442です。

これはグリッド計算の最も一般的な形式です。グリッド方式の指導が一般的である英国などの国では、生徒は、この方法に完全に慣れるまで、上記のような計算を定期的に行うことにかなりの時間を費やすことがあります。

グリッド法は、より大きな数値を含む計算にもそのまま適用できます。

例えば、345×28を計算するには、生徒は6つの簡単な掛け算でグリッドを構築することができます。

答えは 6900 + 2760 = 9660 です。

しかし、この段階になると（少なくとも現在の標準的な英国の教育実践では）、生徒はグリッドを描くことなく、従来の長い掛け算の形式を使用してそのような計算を行うように奨励され始めている可能性があります。

従来の長い乗算は、数字の 1 つだけを 10 の位と 1 の位に分割して別々に乗算するグリッド乗算に関連付けることができます。

伝統的な方法は、究極的にはより速く、よりコンパクトですが、2つのかなり難しい掛け算が必要であり、生徒は最初は苦労するかもしれません^{[引用が必要]}。グリッド法と比較すると、伝統的な長い掛け算はより抽象的^{[引用が必要]}で明白ではない^{[引用が必要]}可能性があるため、一部の生徒は各段階で何を行うのか、そしてその理由を覚えるのが難しいと感じます^{[引用が必要]}。したがって、生徒は、チェックとフォールバックとして、より効率的な伝統的な長い掛け算の方法と並行して、より単純なグリッド法をかなりの期間使用するように奨励される場合があります。

グリッド法は、分数を掛け合わせる標準的な方法として通常は教えられませんが、分解することで積を求めるのが簡単な場合には簡単に適用できます。

例えば、計算2 ⁠1/2⁠ × 1 ⁠1/2⁠グリッド方式で配置できる

結果の積は2 + ⁠となることがわかります。1/2⁠ + 1 + ⁠1/4⁠ = 3 ⁠3/4⁠

グリッド法は、( a + 3)( b + 2)のような二項式の積の掛け算を説明するのにも使用できます。これは初等代数の標準的なトピックですが、通常は中学校まで扱われません。

したがって、( a + 3)( b + 2) = ab + 3 b + 2 a + 6 となります。

32 ビット CPU には通常、2 つの 64 ビット整数を乗算する命令がありません。ただし、ほとんどの CPU は「オーバーフロー付き乗算」命令をサポートしています。この命令は、2 つの 32 ビット オペランドを受け取り、それらを乗算し、32 ビットの結果を 1 つのレジスタに格納し、オーバーフローを別のレジスタに格納して、キャリーを生成します。たとえば、ARMv4t 命令セットumullに追加された命令や、 2 つの 64 ビット レーンを含むSIMDレジスタの下位 32 ビットを操作するSSE2に追加された命令などがあります。 pmuludq

これらの命令をサポートするプラットフォームでは、グリッド メソッドのわずかに変更されたバージョンが使用されます。違いは次のとおりです。

1. 10 の倍数で演算するのではなく、32 ビットの整数で演算します。
2. 上位ビットは 10 倍ではなく 倍になります0x100000000。これは通常、左に 32 シフトするか、上位 32 ビットを表す特定のレジスタに値を格納することによって行われます。
3. 64 ビットを超える値は切り捨てられます。つまり、結果は 64 ビットの範囲外にシフトされるため、最上位ビットの乗算は不要です。また、上位の倍数には 32 ビットの乗算のみが必要であることも意味します。

これは C でのルーチンになります:

#include <stdint.h> 

uint64_t multiply ( uint64_t ab , uint64_t cd ) { /* これらのシフトとマスクは通常暗黙的です。64 ビット整数     は 2 つの 32 ビット レジスタとして渡されることが多いためです。 */ uint32_t b = ab >> 32 , a = ab & 0xFFFFFFFF ; uint32_t d = cd >> 32 , c = cd & 0xFFFFFFFF ;    

    

              
              

    /* オーバーフローで乗算 */ 
uint64_t ac = ( uint64_t ) a * ( uint64_t ) c ; uint32_t high = ac >> 32 ; /* オーバーフロー */ uint32_t low = ac & 0xFFFFFFFF ;         
          
         

    /* 32 ビットを乗算し、上位ビットに加算します */ 
high += ( a * d ); /* ad を加算します */ high += ( b * c ); /* bc を加算します */ /* 0x100000000 を乗算し (左シフト経由)、バイナリ OR を使用して下位ビットに加算します。 */ return (( uint64_t ) high << 32 ) | low ; }         
         
    
         

これは ARM アセンブリのルーチンになります:

乗算: 
@ a = r0 @ b = r1 @ c = r2 @ d = r3 push { r4 , lr } @ r4とlr をスタックにバックアップumull r12 、lr 、r2 、r0 @ r2とr0を乗算し、結果をr12に、オーバーフロー分をlrに格納します。mla r4 、r2 、r1 、lr @ r2とr1を乗算し、lrを加算してr4に格納します。 mla r1 、r3 、r0 、r4 @ r3とr0を乗算し、r4を加算してr1に格納します。 @ 64ビット整数の上位ビットがr1に返されるため、値は暗黙的に左にシフトされます。mov r0 , r12 @戻り値の下位ビットをr12に設定する( ac ) pop { r4 , lr } @スタックからr4とlrを復元するbx lr @ r0とr1の下位ビットと上位ビットをそれぞれ返す           
           
           
           
                            
                             
                            
                            
                                        
                                          
                                  
                             
                                       

数学的には、このように乗算を分割する機能は分配法則と呼ばれ、代数ではa ( b + c ) = ab + acという性質として表現できます。グリッド法では、積を展開するために分配法則を 2 回使用します。1 回は水平方向の要素に対して、もう 1 回は垂直方向の要素に対してです。

歴史的に、グリッド計算（若干の調整あり）は、格子乗法と呼ばれる方法の基礎であり、中世のアラビアおよびヒンドゥー数学で開発された複数桁の乗算の標準的な方法でした。格子乗法は、アラビア数字自体とともに、13世紀初頭に フィボナッチによってヨーロッパに導入されましたが、数字と同様に、彼が提案した計算方法は当初普及するのに時間がかかりました。ネイピアの骨は、格子法の計算を支援するために1617年に スコットランド人ジョン・ネイピアによって導入された計算補助装置でした。

• 乗算アルゴリズム
• 掛け算表

• Rob EastawayとMike Askew著『Maths for Mums and Dads』、Square Peg、2010年。ISBN 978-0-224-08635-6。pp  . 140–153。

• 長い掛け算 − ボックス法、オンライン数学。
• 長い掛け算と割り算、BBC GCSE Bitesize