有効数字

数値の有効数字を特定するには、どの桁が意味を持つかを知る必要があり、そのためには、数値が測定、取得、または処理される分解能を知る必要があります。たとえば、測定可能な最小質量が 0.001 g の場合、0.00234 g という測定値では、 「 4 」は役に立たないため破棄する必要がありますが、「 3 」は役に立つため、多くの場合保持する必要があります。^{[ 3 ]} 

• 指定された測定または報告の分解能内のゼロ以外の数字は有効数字です。
  •  91は、測定に許容される数字であれば、2つの有効数字（9と1）を持ちます。
  • 123.45は、測定分解能の範囲内であれば、5桁の有効数字（1、2、3、4、5  ）を持ちます。例えば、分解能が0.1の場合、5は、真の値が4桁の有効数字で123.4または123.5である可能性が等しいことを示しています。
• 2 つの有効な非ゼロ数字の間にあるゼロは有効です(有効なトラップされたゼロ)。
  • 分解能が0.00001の場合、101.12003は8桁の有効数字で構成されます。
  • 125.340006 は、分解能が 0.0001 の場合、7 桁の有効数字を持ちます: 1、2、5、3、4、0、および 0。
• 最初のゼロ以外の数字の左側にあるゼロ（先頭のゼロ）は有効数字ではありません。
  • 長さの測定値が0.052  km、それから0.052  km = 52  m なので、5 と 2 のみが有効です。先頭のゼロは、使用する単位によって表示されたり消えたりするため、測定スケールを示すために必要ではありません。
  •  分解能が0.00001の場合、0.00034は2桁の有効数字（3と4）を持ちます。
• 小数点を含む数値において、最後のゼロ以外の数字の右側にあるゼロ（末尾のゼロ）は、測定または報告の分解能の範囲内であれば、 有効数字として扱われます。
  •  1.200は、測定分解能で許容される場合、4つの有効数字（1、2、0、0）を持ちます。
  • 0.0980は、測定分解能の範囲内であれば、3桁の有効数字（9、8、および最後のゼロ）を持ちます。
  • 120.000 は、以前と同様に測定分解能の範囲内であれば、6 桁の有効数字 (1、2、およびそれに続く 4 つのゼロ) で構成されます。
• 整数の末尾のゼロは、 測定または報告の解像度によっては、 有効である場合と無効である場合があります。
  • 45 600は、最後のゼロの使い方によって、有効数字が 3 桁、4 桁、または 5 桁になります。たとえば、道路の長さが 45600  m と報告されていて、報告や測定の分解能に関する情報がない場合、道路の長さが正確に 45600  m と測定されたのか、それとも概算なのかは明確ではありません。概算の場合、末尾のゼロは信頼できず、必要でもないため、最初の 3 桁のゼロ以外の数字のみが有効です。45,600 m は 次のように表すことができます。45.6  kmまたは 科学的記数法では4.56 × 10 ⁴ mであり、どちらの式も末尾のゼロは必要ありません。
• 正確な数値は、無限個の有効数字を持つ。
  • 袋の中のリンゴの数が4個（正確な数）であれば、この数は4.0000...（小数点以下に無限に続くゼロ）。結果として、4は 計算結果の有効数字や桁数に影響を与えません。
• 数学定数や物理定数には、既知の桁数に対して有効数字が存在する。
  • πは、いくつかの同等の定義を持つ特定の実数です。正確な十進展開のすべての桁は3.141 59 ...は有効です。これらの桁の多くの特性は知られていますが(たとえば、π は無理数なので、これらの桁は繰り返されません) 、すべての桁がわかっているわけではありません。2024 年 3 月現在、102 兆桁を超える桁^{[ 4 ]}が計算されています。102 兆桁の近似値は 102 兆の有効桁を持ちます。実際のアプリケーションでは、はるかに少ない桁数が使用されます。日常的な近似値 3.14 は、3 桁の有効数字と 7 桁の 正しいバイナリ数字を持ちます。近似値 22/7 は、同じ 3 桁の正しい 10 桁を持ちますが、10 桁の正しい 2 桁を持ちます。ほとんどの電卓とコンピュータ プログラムは、惑星間航行計算に十分な 16 桁の近似値を処理できます。^{[ 5 ]}
  • プランク定数は、正確にはh =と定義される。6.626 070 15 × 10 ⁻³⁴  J ⋅ s . ^{[ 6 ]}

小数点を含まない数値の末尾のゼロの意味は曖昧な場合があります。例えば、1300という数値が最も近い単位まで正確に表されているのか（たまたま100の倍数になっているだけなのか）、それとも丸めや不確実性のために最も近い100の位までしか表示されていないのかは、必ずしも明確ではありません。この問題に対処するための慣習は数多く存在します。しかし、これらは普遍的に使用されているわけではなく、読者がその慣習に精通している場合にのみ有効です。

• 上線（オーバーバー、あるいは不正確にはヴィンキュラムとも呼ばれる）は、最後の有効数字の上に付けられることがあります。これに続く末尾のゼロは無効です。例えば、13 0 0 は有効数字が 3 桁です（したがって、この数値は 10 の位まで正確であることを示しています）。
• あまり一般的ではないが、これとよく似た慣例に従って、数値の最後の有効数字に下線が引かれることがある。例えば、「1 3 00」は有効数字が2桁である。
• 小数点が数字の後に付くことがあります。例えば「1300.」は、末尾のゼロが有効であることを明示的に示しています。^{[ 7 ]}

上記の表記法は一般的に使用されていないため、末尾にゼロが付いた数値の意味を示すための、より広く認知されている以下の方法が利用可能です。

• 単位付きの数値において、単位接頭辞を変更することで、曖昧なゼロや意味のないゼロを排除します。例えば、1300 g と表記された測定精度は曖昧ですが、1.30 kg と表記すれば曖昧ではありません。同様に、0.0123 L は 12.3 mL と書き換えることができます。    
• 科学的記数法を使用して、曖昧または意味のないゼロを排除します。たとえば、有効数字3桁の1300は次のようになります。1.30 × 10 ³。同様に、0.0123 は次のように書き換えることができます。1.23 × 10 ⁻²。有効数字 (1.30 または 1.23) を含む表現の部分は仮数または仮数として知られています。底と指数 (10 ³または10 ⁻² ) は正確な数値とみなされるため、これらの桁については有効数字は関係ありません。
• 有効数字の桁数を明示的に示してください（略語sfが使用される場合もあります）。例えば、「20  000 to 2  s.f.」または「20  000 (2  sf)」のように記述します。
• 予想される変動幅（精度）は、 「 20,000 ± 1%」のようにプラスマイナス記号を用いて明示的に示してください。これにより、10のべき乗の間の精度範囲を指定することも可能です。   

測定結果には、次のような測定不確かさを含めることが推奨されます。${\displaystyle x_{\text{best}}\pm \sigma _{x}}$ここで、x _bestとσ _xはそれぞれ測定における最良推定値と不確かさです。^{[ 10 ]} x _bestは測定値の平均であり、σ _{x は}標準偏差または測定偏差の倍数です。記述のルール${\displaystyle x_{\text{best}}\pm \sigma _{x}}$は：^{[ 11 ]}

• σ _{x は}通常、有効数字 1 桁または 2 桁で表示する必要があります。それ以上の精度は信頼性や意味に欠ける可能性が高いためです。
  • 1.79 ± 0.06 (正解)、1.79  ±  0.96 (正解)、1.79  ±  1.96 (不正解)。
• x _bestとσ _xの最後の有効数字の桁位置は同じでなければなりません。そうでなければ、一貫性が失われます。例えば、「1.79  ± 0.067」は誤りです。最良推定値よりも精度の高い不確実性を持つことは意味をなさないからです。
  • 1.79 ± 0.06 (正解)、1.79  ±  0.96 (正解)、1.79  ±  0.067 (不正解)。

不確かさが明示的に示されていない場合、最後の有効数字によって不確かさが暗示されることがあります。^{[ 1 ]}暗示される不確かさは、最後の有効数字の位置での最小目盛の半分の±です。たとえば、物体の質量が 不確かさを言及せずに3.78 kgと報告されている場合、±  0.005  kgの測定不確かさが暗示される可能性があります。物体の質量が3.78 ± 0.07  kgと推定され、実際の質量はおそらく3.71～3.85 kgの範囲内にある 場合、単一の数値で報告したいのであれば、暗示される不確かさ± 0.05 kgが質量範囲3.75～3.85 kgを与え、これは測定範囲に近いので、 3.8  kgを報告するのが最善の数値です。不確実性が少し大きい場合、例えば 3.78 ± 0.09 kg の場合、3.8 kg という単一の数値を提示するのが依然として最善です。なぜなら、「4 kg」と報告すると多くの情報が失われてしまうからです。        

数値の暗黙の不確実性を記述する必要がある場合は、次のように記述できます。${\displaystyle x\pm \sigma _{x}}$暗黙の不確かさとして表記することで（読者がそれを測定の不確かさと認識しないようにするため）、xとσ _xはそれぞれ、余分なゼロ桁を持つ数値（上記の不確かさの表記規則に従うため）と、その暗黙の不確かさを表します。たとえば、 暗黙の不確かさが ±  0.5 kg の 6 kg は、6.0 ± 0.5 kg と表記できます。   

測定量から乗算と除算によって生成される量の場合、計算結果は、計算に使用された測定量の中で有効数字が最も少ないものと同じ数の有効数字を持つべきである。 ^{[ 12 ]}例えば、

• 1.234 × 2 = 2.468 ≈ 2
• 1.234 × 2.0 = 2.468 ≈ 2.5
• 0.01234 × 2 = 0.02 468 ≈ 0.02
• 0.012345678 / 0.00234 = 5.2 7 59 ≈ 5.28

それぞれ有効数字が1、2、1桁です。（ここで 2は正確な数値ではないと仮定します。）最初の例では、最初の乗算因子は有効数字が 4 桁、2 番目の乗算因子は有効数字が 1 桁です。有効数字が最も少ない、つまり最も少ない因子は 1 桁しかない 2 番目の因子なので、最終的な計算結果も有効数字が 1 桁になります。

加算と減算によって測定値から作成された量の場合、計算結果の最後の有効数字の位置（例えば、百の位、十の位、一の位、十分の位、百分の一の位など）は、計算に使用された測定値の最後の有効数字の中で最も左の、または最大の桁の位置と同じでなければなりません。例えば、

• 1.234 + 2 = 3 0.234 ≈ 3
• 1.234 + 2.0 = 3.234 ≈ 3.2
• 0.01234 + 2 = 2 0.01234 ≈ 2
• 12000 + 77 = 12077 ≈ 12000

最後の有効数字は、それぞれ一の位、小数点以下第1位、一の位、千の位にあります。（ここで2は正確な数値ではないと仮定します。）最初の例では、最初の項の最後の有効数字は小数点以下第3位にあり、2番目の項の最後の有効数字は一の位にあります。これらの項の最後の有効数字の中で最も左にある、つまり最大の桁の位置は一の位なので、計算結果の最後の有効数字も一の位になります。

乗算と除算における有効数字の計算規則は、加算と減算における規則とは異なります。乗算と除算では、計算対象となる各因数における有効数字の総数のみが重要であり、各因数の最後の有効数字の桁位置は関係ありません。加算と減算では、計算対象となる各項における最後の有効数字の桁位置のみが重要であり、各項の有効数字の総数は関係ありません。ただし 、後続の計算で使用する中間結果に有効数字以外の桁をいくつか残しておくと、精度が向上することがよくあります。

正規化された数（つまり、1 ≤ a < 10でbが整数であるa × 10 ^b ）の-10 を底とする対数は、その小数部（仮数と呼ばれる）が正規化された数の有効数字と同じ数の有効数字を持つように丸められます。

• log ₁₀ (3.000 × 10 ⁴ ) = log ₁₀ (10 ⁴ ) + log ₁₀ (3.000) = 4.000000... (正確な数値なので有効数字は無限) + 0.477 1 212547... = 4.477 1 212547 ≈ 4.4771。

正規化された数値の逆対数を取る場合、結果は、逆対数を取る数値の小数部分の有効数字と同じ桁数になるように丸められます。

• 10 ^4.4771 = 299 9 8.5318119... = 30000 = 3.000 × 10 ⁴。

超越関数${\displaystyle f(x)}$（例えば、指数関数、対数関数、三角関数など）が定義域要素「x」で微分可能である場合、その有効数字の数（「有効数字」と表記）は${\displaystyle f(x)}$）は、 xの有効数字の数（「 xの有効数字」と表記）と、次の式で近似的に関係付けられます。

$\displaystyle {\rm {(f(x)の有効数字)}}\approx {\rm {(xの有効数字)}}-\log _{10}\left(\left\vert {{\frac {df(x)}{dx}}{\frac {x}{f(x)}}}\right\vert \right)}$、

どこ${\displaystyle \left\vert {{\frac {df(x)}{dx}}{\frac {x}{f(x)}}}\right\vert }$は条件番号です。

複数段階の計算を実行する場合、中間段階の計算結果を丸めないでください。各中間結果の有効数字を追跡または記録する際に累積的な丸め誤差を避けるため、すべての計算が終了するまで、可能な限り多くの桁数（各段階で丸め規則で許容される桁数より少なくとも1桁多い）を保持してください。その後、最終結果を、たとえば、最終計算の入力の中で、有効数字が最も少ない桁数（乗算または除算の場合）または最も左の最後の有効数字の位置（加算または減算の場合）に丸めます。^{[ 14 ]}

• (2.3494 + 1.345) × 1.2 = 3.69 4 4 × 1.2 = 4. 4 3328 ≈ 4.4。
• (2.3494 × 1.345) + 1.2 = 3.15 9 943 + 1.2 = 4. 3 59943 ≈ 4.4。