3次方程式

多項式の判別式は、その係数の関数であり、多項式が重根を持つ場合、または定数でない多項式の平方で割り切れる場合に限りゼロになります。言い換えれば、判別式がゼロでないのは、多項式が平方因子を持たない場合に限ります。

r ₁、r ₂、r ₃が 3 次式の 3 つの根(必ずしも互いに異なるとは限らず、実数でもない)である場合${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d,}$判別式は $${\displaystyle a^{4}(r_{1}-r_{2})^{2}(r_{1}-r_{3})^{2}(r_{2}-r_{3})^{2}.}$$

凹型立方体の判別式${\displaystyle t^{3}+pt+q}$は $${\displaystyle -\left(4\,p^{3}+27\,q^{2}\right).}$$

一般三次方程式の判別式${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$は $${\displaystyle 18\,abcd-4\,b^{3}d+b^{2}c^{2}-4\,ac^{3}-27\,a^{2}d^{2}.}$$ それは$\displaystyle a^{4}}$そして、対応する縮小三次式の判別式。一般三次式とそれに対応する縮小三次式を関連付ける式を用いると、一般三次式の判別式は次のように書けることがわかる。 $${\displaystyle {\frac {4(b^{2}-3ac)^{3}-(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)^{2}}{27a^{2}}}.}$$

したがって、これら2つの判別式のうち一方がゼロになるのは、もう一方もゼロになる場合のみであり、係数が実数であれば、2つの判別式は同じ符号を持つ。要するに、これら2つの判別式のどちらからも同じ情報を推測できる。

前述の公式を証明するには、ヴィエタの公式を用いて、すべてをr ₁、r ₂、r ₃、およびaに関する多項式として表せばよい。そうすれば、2 つの多項式の等価性が検証されることになる。

多項式の係数が実数であり、判別式が${\displaystyle \Delta }$がゼロでない場合、次の2つのケースが考えられます。

• もし${\displaystyle \Delta >0,}$3次方程式には3つの異なる実根がある。
• もし${\displaystyle \Delta <0,}$この三次方程式は、1つの実数解と2つの非実数複素共役解を持つ。

これは次のように証明できます。まず、r が実数係数を持つ多項式の根である場合、その複素共役も根になります。したがって、非実数根が存在する場合、それは複素共役根のペアとして現れます。3次多項式は（必ずしも異なるとは限らない）3つの根を持つため、代数学の基本定理により、少なくとも1つの根は実数でなければなりません。

上記のように、r ₁、r ₂、r ₃が三次方程式の 3 つの根である場合${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$すると判別式は $${\displaystyle \Delta =a^{4}(r_{1}-r_{2})^{2}(r_{1}-r_{3})^{2}(r_{2}-r_{3})^{2}}$$

3 つの根が実数で互いに異なる場合、判別式は正の実数の積、つまり${\displaystyle \Delta >0.}$

根が 1 つだけ実数である場合、例えばr _{1の場合、} r ₂とr ₃は複素共役であり、これはr ₂ − r ₃が純虚数であることを意味し、したがって( r ₂ − r ₃ ) ^{2 は}実数で負になります。一方、r ₁ − r ₂とr ₁ − r ₃は複素共役であり、それらの積は実数で正です。^{[ 23 ]}したがって、判別式は 1 つの負の数と複数の正の数の積になります。つまり、${\displaystyle \Delta <0.}$

3次式の判別式がゼロであれば、その3次式は重根を持つ。さらに、係数が実数であれば、そのすべての根は実数である。

凹型立方体の判別式${\displaystyle t^{3}+pt+q}$ゼロの場合$4p³+27q²=0.$pもゼロの場合、 p = q = 0となり、0 は 3 乗の三重根です。${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}=0,}$そしてp ≠ 0 の場合、3次方程式は単純根を持つ。 $$t_1=3q/p$$

そして二重根 $${\displaystyle t_{2}=t_{3}=-{\frac {3q}{2p}}.}$$

言い換えると、 $${\displaystyle t^{3}+pt+q=\left(t-{\frac {3q}{p}}\right)\left(t+{\frac {3q}{2p}}\right)^{2}.}$$

この結果は、後者の積を展開することによって証明するか、またはヴィエタの公式から得られる比較的単純な連立方程式を解くことによって得ることができる。

縮小三次式の簡約を用いることで、これらの結果を一般三次式に拡張することができる。これにより、次の式が得られる。三次式の判別式が${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$がゼロの場合、

• どちらか、もし${\displaystyle b^{2}=3ac,}$3次式には3つの根がある$${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}=-{\frac {b}{3a}},}$$そして$${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=a\left(x+{\frac {b}{3a}}\right)^{3}}$$
• または、もし${\displaystyle b^{2}\neq 3ac,}$3次式には二重根がある$${\displaystyle x_{2}=x_{3}={\frac {9ad-bc}{2(b^{2}-3ac)}},}$$そして単純な根、$${\displaystyle x_{1}={\frac {4abc-9a^{2}db^{3}}{a(b^{2}-3ac)}}.}$$そしてこうして$${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=a(x-x_{1})(x-x_{2})^{2}.}$$

上記の結果は、係数が特性2または特性3以外の領域に属する場合に有効ですが、特性2または特性3の場合は、2および3による除算が含まれるため、修正する必要があります。

縮約三次式は特性 2 では有効ですが、特性 3 では有効ではありません。ただし、どちらの場合も、一般三次式の結果を確立して述べる方が簡単です。そのための主なツールは、多重根が多項式とその形式的導関数の共通根であるという事実です。これらの特性では、導関数が定数でない場合、特性 3 では線形多項式であり、特性 2 では線形多項式の 2 乗です。したがって、特性 2 または 3 のいずれの場合も、導関数は 1 つの根しか持ちません。これにより多重根を計算することができ、3 番目の根は、ヴィエタの公式によって提供される根の和から導き出すことができます。

他の特性との違いは、特性2では二重根の公式に平方根が含まれ、特性3では三重根の公式に立方根が含まれる点である。

実係数を持つ三次方程式が3つの実根を持つ場合、これらの根を根号で表す式には複素数が含まれます。ガロア理論によれば、3つの根が実数であり、かつ有理数でない場合（既約ケース）、根を実根号で表すことはできません。しかしながら、解の純粋に実数的な表現は、三角関数、特に余弦関数と逆余弦関数を用いて得ることができます。^{[ 25 ]}より正確には、縮約三次方程式の根は$${\displaystyle t^{3}+pt+q=0}$$^[ 26 ^]​$${\displaystyle t_{k}=2\,{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\,\cos \left[\,{\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\,\right)-{\frac {2\pi k}{3}}\,\right]\qquad {\text{for }}k=0,1,2.}$$

この公式はフランソワ・ヴィエトによるものです。^{[ 22 ]}方程式が3つの実根を持つ場合、それは純粋に実数です（つまり、${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}<0}$) それ以外の場合は、実根が 1 つしかない場合は複素コサインと逆コサインが関係しますが、p = 0の場合は意味をなさない (ゼロ除算)です。

この式は、 § 縮小三次方程式で説明されている逆代入法を使用して、一般的な三次方程式の根の式に簡単に変換できます。

この公式は次のように証明できます。方程式t ³ + pt + q = 0から始めて、 t = u cos θとします。この方程式が恒等式と一致するように u を選択するのがポイントです。 $${\displaystyle 4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta -\cos(3\theta )=0.}$$ そのためには、${\displaystyle u=2\,{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\,,}$そして方程式を${\displaystyle {\frac {u^{3}}{4}}.}$これにより $${\displaystyle 4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta -{\frac {3q}{2p}}\,{\sqrt {\frac {-3}{p}}}=0.}$$ 上記の恒等式と組み合わせると、 $${\displaystyle \cos(3\theta )={\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\,,}$$ そして根はこうなる $${\displaystyle t_{k}=2\,{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\,\cos \left[{\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)-{\frac {2\pi k}{3}}\right]\qquad {\text{for }}k=0,1,2.}$$

実根が 1 つしかない場合 (かつp ≠ 0 の場合)、この根は双曲線関数を使用して同様に表現できます。^{[ 27 ] [ 28 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}t_{0}&=-2{\frac {|q|}{q}}{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cosh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arcosh} \left({\frac {-3|q|}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)\right]\qquad {\text{if }}~4p^{3}+27q^{2}>0~{\text{ and }}~p<0,\\t_{0}&=-2{\sqrt {\frac {p}{3}}}\sinh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {3}{p}}}\right)\right]\qquad {\text{if }}~p>0.\end{aligned}}}$$p ≠ 0で、右辺の不等式が満たされない 場合（実根が 3 つある場合）、式は有効ですが、複素数が含まれます。

p = ±3の場合、上記のt ₀の値は、チェビシェフの立方根と呼ばれることがあります。 ^{[ 29 ]}より正確には、コサインと双曲線コサインを含む値は、p = −3の場合、 C _1/3 ( q )と表記される同じ解析関数を定義します。これは、適切なチェビシェフの立方根です。双曲線サインを含む値は、 p = 3の場合、同様にS _1/3 ( q )と表記されます。

^3次方程式x³ + m²x = n ( n > 0)^を解くために、オマル・ハイヤームは放物線y = x² / m 、正のx軸上の線分[0, n / m² ]を直径とする円、および円と放物線がx軸より上で交わる点を通る垂直線を作成^した。解は、原点から垂直線とx軸の交点までの水平線分の長さによって与えられる（図を参照）。

簡単な現代的な証明は次のとおりです。方程式にx / m ²を掛けて項をまとめると、 $${\displaystyle {\frac {x^{4}}{m^{2}}}=x\left({\frac {n}{m^{2}}}-x\right).}$$ 左辺は放物線上のy ²の値です。円の方程式はy ² + x ( x − ⁠ n / m ² ⁠ ) = 0であり、右辺は円上のy ^{2の値です。}

実数係数を持つ三次方程式は、3つの実根を持つ場合に限り、コンパス、定規、および角の三等分線を用いて幾何学的に解くことができる。 ^{[ 30 ]：定理1}

3次方程式は、有理根を持つ場合に限り、コンパスと定規を用いた作図（三等分線を用いない）で解くことができる。このことから、古代ギリシャの数学者たちが提起した角の三等分問題や立方体の倍増問題は、コンパスと定規を用いた作図では解けないことがわかる。

ヴィエトの3つの実根の場合の根の三角関数表現は、円の観点から幾何学的に解釈できる。^{[ 22 ] [ 31 ] 3}次式を上記のように簡略化された形式( 2 )、t3 + pt + q = 0で書くと、解は次のように表すことができる。

$${\displaystyle t_{k}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)-k{\frac {2\pi }{3}}\right)\quad {\text{for}}\quad k=0,1,2\,.}$$

ここ${\displaystyle \arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)}$は単位円内の角度です。その角度の 1/3 を取ることは、複素数の立方根を取ることに対応します。k = 1、2 に対して − k 2 π / 3 を加えると他の立方根が求められます。そして、これらの結果として得られる角度のコサインに を掛けると、${\displaystyle 2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}}$スケールを補正します。

非凹型の場合（1 ）（添付のグラフに示す）では、前述の凹型の場合、tを x = t − ⁠ b / 3 a ⁠と定義することでt = x + ⁠ b / 3 a ⁠ が得られます。グラフ上では、これは角度の関係を変えずに、変数tとxの間でグラフを水平方向に単純にシフトすることに相当します。このシフトにより、変曲点と円の中心がy軸上に移動します。その結果、 tに関する方程式の根の合計はゼロになります。

この方法はシピオーネ・デル・フェッロとタルタリアによるものですが、最初に著書『アルス・マグナ』（1545年）で発表したジェロラモ・カルダーノにちなんで名付けられました。

この方法は、凹型立方体t ³ + pt + q = 0に適用されます。アイデアは、2 つの変数uと${\displaystyle v}$そのため${\displaystyle u+v=t}$そしてこれを凹立方体に代入すると、 $${\displaystyle u^{3}+v^{3}+(3uv+p)(u+v)+q=0.}$$

この時点でカルダノは条件を課した${\displaystyle 3uv+p=0.}$これにより、前の等式から第 3 項が削除され、次の連立方程式が得られます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}u^{3}+v^{3}&=-q\\uv&=-{\frac {p}{3}}.\end{aligned}}}$$

u 3 とu ³の和と積を知る${\displaystyle v^{3},}$それらは二次方程式の2つの解であると推測される。$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=(x-u^{3})(x-v^{3})\\&=x^{2}-(u^{3}+v^{3})x+u^{3}v^{3}\\&=x^{2}-(u^{3}+v^{3})x+(uv)^{3}\end{aligned}}}$$ それで $${\displaystyle x^{2}+qx-{\frac {p^{3}}{27}}=0.}$$ この方程式の判別式は${\displaystyle \Delta =q^{2}+{\frac {4p^{3}}{27}}}$、そしてそれが正であると仮定すると、この方程式の実数解は（平方根の中に4による除算を折り込んだ後）次のようになります。 $${\displaystyle -{\frac {q}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}.}$$ したがって（ uまたはuを選択する際に一般性を失うことなく）${\displaystyle v}$): $${\displaystyle u={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}.}$$$${\displaystyle v={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}.}$$ として${\displaystyle u+v=t,}$これらの解の立方根の合計は、方程式の根になります。つまり、 $${\displaystyle t={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}}$$ これは方程式の根であり、カルダノの公式である。

これは次のような場合にうまく機能します${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}>0,}$しかし、もし${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}<0,}$式に現れる平方根は実数ではありません。複素数は3つの立方根を持つため、カルダーノの公式を注意せずに使用すると9つの根が得られますが、3次方程式は3つ以上の根を持つことはできません。これは、ラファエル・ボンベリが著書『代数学』（1572年）で最初に明らかにしました。解決策は、次の事実を使用することです。${\displaystyle uv=-{\frac {p}{3}},}$つまり、${\displaystyle v={\frac {-p}{3u}}.}$これは、1 つの立方根を計算するだけでよいことを意味し、§ カルダノの公式で示されている 2 番目の公式につながります。

この方程式の他の根は、立方根を変えることによって、または同等に、立方根に 1 の 2 つの原始立方根をそれぞれ掛けることによって得られます。${\displaystyle {\frac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}.}$

実根が 1 つだけの場合、uとv は互いに複素共役となり、実根は 1 つでなければならない。${\displaystyle t=2\mathrm {Re} (u)}$。

ヴィエタの置換法は、フランソワ・ヴィエト（ヴィエタは彼のラテン語名）が1615年に死後出版したテキストで導入した方法で、カルダーノ の方法の2番目の公式を直接提供し、2つの異なる立方根を計算する問題を回避します。^{[ 35 ]}

凹型立方体t ³ + pt + q = 0から始めて、ヴィエタの置換はt = w − ⁠ p / 3 w ⁠である。^{[ b ]}

置換t = w – ⁠ p / 3 w ⁠により、凹型立方体は次のように変換されます。 $${\displaystyle w^{3}+q-{\frac {p^{3}}{27w^{3}}}=0.}$$

これは二次方程式です${\displaystyle w^{3}}$なので、解は 6 つあります${\displaystyle w}$置換では、各値に対して${\displaystyle t}$には 2 つの可能な値があります${\displaystyle w}$3次方程式の各根は2回ずつ求められます。

w ³を掛けると、 w ³に関する二次方程式が得られます。 $${\displaystyle (w^{3})^{2}+q(w^{3})-{\frac {p^{3}}{27}}=0.}$$

させて $${\displaystyle W=-{\frac {q}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {p^{3}}{27}}+{\frac {q^{2}}{4}}}}}$$_は、 この二次方程式の任意の非ゼロ根とする。w 1 、w 2 、w 3 が W の 3 つの立方根である場合、元の_縮小三次_方程式の根はw 1 − _⁠ p / 3 w 1 ⁠ _、 w 2 − _⁠ p / 3 w 2 ⁠ _、およびw 3 ₋ ⁠ p / 3 w 3 _⁠である。二次方程式のもう 1 つの根は${\displaystyle \textstyle -{\frac {p^{3}}{27W}}.}$これは、平方根の符号を変えると、i = 1, 2, 3に対してw _iと− ⁠ p / 3 w _i ⁠が入れ替わるため、根は変わらないことを意味します。この方法は、二次方程式の両方の根がゼロの場合、つまりp = q = 0の場合にのみ失敗します。この場合、縮約三次方程式の唯一の根は0です。

ジョセフ・ルイ・ラグランジュは、論文「方程式の代数的解法に関する考察」（「方程式の代数的解法に関する考察」）^{[ 36 ]} の中で、次数が低い方程式を統一的に解く新しい方法を導入し、それをより高次の方程式にも一般化できることを期待した。この方法は3次方程式と4次方程式にはうまく機能するが、少なくとも6次のレゾルベント多項式を解く必要があるため、ラグランジュは5次方程式への適用に成功しなかった。 ^{[ 37 ] [ 38 ] [ 39 ]} これまで誰も成功していなかったという事実とは別に、これは5次以上の方程式に対する代数式が存在しないことを示す最初の兆候であり、後にアーベル・ルフィニの定理によって証明された。それにもかかわらず、解ける5次方程式を解く現代の方法は、主にラグランジュの方法に基づいている。^{[ 39 ]}

3次方程式の場合、ラグランジュ法はカルダノ法と同じ解を与えます。ラグランジュ法は、一般的な3次方程式 ax ³ + bx ² + cx + d = 0に直接適用できますが、簡略化された3次方程式t ³ + pt + q = 0の方が計算は簡単です。

ラグランジュの主なアイデアは、根そのものを使うのではなく、根の離散フーリエ変換を使うことでした。より正確には、 ξ を原始的な第3 根、つまりξ ³ = 1かつξ ² + ξ + 1 = 0となる数とします(複素数の空間で作業する場合、次のようになります)。${\displaystyle \textstyle \xi ={\frac {-1\pm i{\sqrt {3}}}{2}}=e^{2i\pi /3},}$_ただし、この複雑な解釈はここでは使用しません）。解くべき3次方程式の3つの根 _をx₀ _、x₁、x₂とすると、$${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}&=x_{0}+x_{1}+x_{2},\\s_{1}&=x_{0}+\xi x_{1}+\xi ^{2}x_{2},\\s_{2}&=x_{0}+\xi ^{2}x_{1}+\xi x_{2},\end{aligned}}}$$は、 根の離散フーリエ変換である。s 0、s 1、s 2 が既知であれば、_この線形_変換を反転_する逆フーリエ変換によって根を復元することができる。すなわち、 $${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&={\tfrac {1}{3}}(s_{0}+s_{1}+s_{2}),\\x_{1}&={\tfrac {1}{3}}(s_{0}+\xi ^{2}s_{1}+\xi s_{2}),\\x_{2}&={\tfrac {1}{3}}(s_{0}+\xi s_{1}+\xi ^{2}s_{2}).\end{aligned}}}$$

Vieta の公式によれば、s _{0 は}、縮小三次方程式の場合はゼロ、一般三次方程式の場合は− ⁠ b / a ⁠であることがわかっています。したがって、 s ₁とs ₂だけを計算すればよいことになります。これらは根の対称関数ではありません( x ₁とx _{2を交換すると}s ₁とs ₂も交換されます) が、s ₁とs ₂のいくつかの単純な対称関数は、解くべき三次方程式の根に関しても対称です。したがって、これらの対称関数は、元の三次方程式の (既知の) 係数で表すことができ、これにより最終的にs _{i を}既知の係数を持つ多項式の根として表すことができます。これはすべての次数でうまく機能しますが、4 次を超える次数では、s _iを根とする結果として得られる多項式の次数が元の多項式の次数よりも高くなるため、解くのに役立ちません。これが、ラグランジュ法が5次以上の方程式では適用できない理由である。

3次方程式の場合、${\displaystyle P=s_{1}s_{2},}$そして${\displaystyle S=s_{1}^{3}+s_{2}^{3}}$これらはそのような対称多項式である（下記参照）。したがって、${\displaystyle s_{1}^{3}}$そして${\displaystyle s_{2}^{3}}$は二次方程式の2つの根である${\displaystyle z^{2}-Sz+P^{3}=0.}$したがって、方程式の解はカルダノの方法とまったく同じように完了することができ、${\displaystyle s_{1}}$そして${\displaystyle s_{2}}$uの代わりに${\displaystyle v.}$

凹型立方体の場合、${\displaystyle x_{0}={\tfrac {1}{3}}(s_{1}+s_{2})}$そして${\displaystyle s_{1}s_{2}=-3p,}$Cardanoの方法では、${\displaystyle x_{0}=u+v}$そして${\displaystyle uv=-{\tfrac {1}{3}}p.}$したがって、uと${\displaystyle v,}$我々は持っています${\displaystyle s_{1}=3u}$そして${\displaystyle s_{2}=3v.}$言い換えれば、この場合、カルダノの方法とラグランジュの方法は、補助変数の係数が3倍になるまで全く同じ値を計算するが、主な違いは、ラグランジュの方法がこれらの補助変数が問題に現れる理由を説明している点である。

• 角の三等分と立方体の倍数化は、幾何学における古くからの問題であり、定規とコンパスを用いた作図では解けないことが証明されている。なぜなら、これらは三次方程式を解くことと同等だからである。
• マーデンの定理によれば、任意の三角形のシュタイナー内楕円の焦点は、その三角形の3つの頂点の複素平面上の座標を根とする3次関数を用いることで求めることができる。この3次関数の1階微分を根とすると、それらの焦点の複素座標が求められる。
• 正七角形の面積は、三次方程式の根を用いて表すことができます。さらに、長対角線と辺の比、辺と短対角線の比、および短対角線の負の値と長対角線の比はすべて、特定の三次方程式を満たします。加えて、七角形の内接半径と外接半径の比は、三次方程式の解の1つです。${\displaystyle 2\pi /7}$3次方程式を満たす。
• 任意の角度のコサイン（またはその他の三角関数）が与えられた場合、その角度の3分の1のコサインは、3次方程式の根の1つになります。
• 一般の4次方程式の解は、そのレゾルベント3次方程式の解に依存します。
• 3×3行列の固有値は、その行列の特性多項式である3次多項式の根である。
• 3 階定数係数またはコーシー・オイラー(等次元変数係数)線形微分方程式または差分方程式の特性方程式は、3 階方程式です。
• 3次ベジェ曲線と直線の交点は、ベジェ曲線を表す直接的な3次方程式を用いて計算できる。
• 4次関数の臨界点は、 3次方程式（導関数をゼロに等しいとおく）を解くことによって求められる。
• 5次関数の変曲点は、3次方程式（2階微分をゼロに等しいとしたもの）の解である。

• 分析化学において、緩衝溶液のpHを求めるために使用できるシャルロ方程式は、三次方程式を用いて解くことができる。
• 熱力学において、状態方程式（物質の圧力、体積、温度の関係を表す方程式）、例えばファンデルワールス状態方程式などは、体積に関して3次式で表される。
• 線形加速度を含む運動方程式は3次式である。
• 地震レイリー波の速度は、レイリー波の三次方程式の解である。
• 与えられた入力電力に対して、空気抵抗のある斜面を移動する車両の定常速度は、簡約された三次方程式によって解かれる。
• ケプラーの惑星運動に関する第三法則は、軌道長半径に関して3乗に比例する。