有効数字

仮数部^[1]（係数^[1]、引数[ ^2]、より曖昧には仮数^[3] 、分数^{[4] [5] [注 1]}、または特性^{[6] [3]}とも呼ばれる）は、科学的記数法または浮動小数点表現の関連概念における数値の最初（左側）の部分であり、その有効桁で構成されます。

指数の解釈によっては、仮数は整数または小数を表す可能性があり、対数の仮数は常にその小数部であるため、「仮数」という用語は誤解を招く可能性があります。[ 7 ^{] [8]}言及されている他の名前は一般的ですが、仮数は浮動小数点演算の重要な技術標準であるIEEE 754で使用される単語です。 ^[9]数学では、「引数」という用語も曖昧になる可能性があり、「数の引数」は複素平面の単位円上の1から数までの円弧の長さを指す場合があります。^[10]

123.45という数値は、整数12345を仮数部とし、10 ^{−2 のべき乗項（}特性とも呼ばれる）を持つ10進浮動小数点数として表すことができる。^{[11] [12] [13]}ここで、−2は指数（10は底）である。その値は次の算術で与えられる。

123.45 = 12345 × 10 ⁻²です。

同じ値は、小数係数として仮数 1.2345、指数として +2 (底として 10) を使用して 科学的記数法で表すこともできます。

123.45 = 1 . 2345 × 10 ⁺² .

しかし、シュミットは、1.0から10の範囲の有効数字を持つこの表現を修正正規化形式と呼んだ。^{[12] [13]}

基数 2 の場合、この 1.xxxx 形式は正規化された仮数とも呼ばれます。

最後に、値は言語非依存算術標準や、 Ada、C、Fortran、Modula-2などのいくつかのプログラミング言語標準で指定された形式で次のように表すことができます。

123.45 = 0 . 12345 × 10 ⁺³ .

シュミットは、0.1から1.0の範囲の有効数字を持つこの表現を真の正規化形式と呼んだ。^{[12] [13]}

正規化された数の場合、最上位桁は常にゼロ以外になります。2 進数で作業する場合、この制約により、この桁が常に 1 になることが一意に決定されます。 そのため、この桁は明示的に保存されず、隠しビットと呼ばれます。

仮数は(2 進) 桁の幅で特徴付けられ、コンテキストに応じて、隠しビットが幅にカウントされる場合とカウントされない場合があります。たとえば、同じIEEE 754 倍精度形式は、隠しビットを含む 53 ビットの仮数、または隠しビットを除いた 52 ビットの仮数^{[引用が必要]}のいずれかであると一般的に説明されています。IEEE 754 では、精度p を、暗黙の先頭ビットを含む仮数の桁数 (たとえば、倍精度形式の場合はp = 53) と定義しているため、エンコードとは独立した方法で、エンコードされる内容 (つまり、先頭ビットのない仮数) を表す用語は末尾の仮数フィールドです。

1914年、レオナルド・トーレス・ケベドは著書『オートマチックに関するエッセイ』の中で浮動小数点演算を導入し、^[14] n ; mという形式を提案し、現在浮動小数点データに使用されている固定サイズの仮数部の必要性を示しました。^[15]

1946年、アーサー・バークスは、当時普及していた常用対数表に倣って、浮動小数点数の2つの部分を説明するために仮数と特性という用語を使用しました（バークス^[11] 他）。特性とは対数の整数部分（つまり指数）であり、仮数は小数部分です。この用法は、今日でもコンピュータ科学者の間では一般的です。

仮数部という用語は、 1967年にジョージ・フォーサイスとクリーヴ・モーラーによって導入され^{[16] [17] [18] [5]}、IEEE標準^[19]では、上で説明した科学的記数法の数値の前に付く係数として使用されています。小数部分は分数と呼ばれます。

両方の用語を理解するには、2 進数では 1 + 仮数 ≈ 仮数部であり、2 の累乗を格納するときに対応が正確であることに注目してください。この事実により、底 2 の対数の高速近似が可能になり、たとえば高速平方根や高速逆平方根を計算するアルゴリズムにつながります。暗黙の先頭の 1 は、IEEE 754 浮動小数点の隠しビットに他ならず、剰余を格納するビットフィールドは仮数です。

ただし、暗黙の 1 が含まれているかどうかは、両方の用語で、特に仮数で大きな混乱を招くポイントです。対数表のコンテキストでの本来の使用法に従うと、 1 は​​存在すべきではありません。

1 が含まれるとみなされる文脈では、IEEE 754 の主任作成者であるWilliam Kahan ^[1]と、著名なコンピュータプログラマであり『The Art of Computer Programming』の著者であるDonald E. Knuth ^[6]は仮数の使用を非難しています。これにより、あらゆる文脈で仮数という用語の使用が減少しました。特に、現在の IEEE 754 標準では仮数について言及されていません。

• 仮数（対数）