測定不確かさ

計測学において、測定不確かさとは、間隔尺度または比率尺度で測定された量に帰属する値の統計的ばらつきを表すものである。

すべての測定には不確かさが伴い、測定結果は標準偏差などの関連する不確かさの記述が付随している場合にのみ完全である。国際的な合意により、この不確かさは確率的根拠を持ち、量の値の不完全な知識を反映している。これは非負のパラメータである。^{[ 1 ]}

測定不確かさは、測定量に帰属しうる値の範囲における、知識状態の確率分布の標準偏差として定義されることが多い。相対不確かさとは、測定量の値として特定の単一の選択肢がゼロでない場合、その選択肢の大きさに対する測定不確かさの相対値である。この特定の単一の選択肢は通常、測定値と呼ばれ、何らかの明確な意味（例えば、平均値、中央値、最頻値）で最適値となる場合がある。したがって、相対測定不確かさは、測定値がゼロでない場合、測定不確かさを測定値の絶対値で割った値となる。

測定の目的は、対象となる量 （被測定量）に関する情報を提供することです。比率尺度または間隔尺度における被測定量には、円筒形物体の大きさ、容器の容積、電池の端子間の電位差、またはフラスコに入った水中の鉛の質量濃度などが含まれます。

正確な測定は存在しません。量を測定する場合、結果は測定システム、測定手順、オペレーターのスキル、環境、その他の影響に依存します。^{[ 2 ]}同じ方法で同じ状況で量を複数回測定したとしても、測定システムが値を区別するのに十分な分解能を持っていると仮定すると、一般的には毎回異なる測定値が得られます。

測定値のばらつきは、測定の精度に関係します。比率尺度または間隔尺度で測定した場合、それらの平均値は、個々の測定値よりも一般的に信頼性の高い、量の真の値の推定値となります。ばらつきと測定値の数は、真の値の推定値としての平均値に関する情報を提供します。ただし、この情報は一般的に十分ではありません。

測定システムによっては、真の値を中心としたばらつきではなく、真の値からずれた値を中心とした測定値が得られる場合があります。家庭用体重計を例にとってみましょう。体重計が、誰も乗っていないときにゼロを表示するように設定されておらず、ゼロからずれた値を表示するように設定されているとします。すると、その人の体重を何度再測定しても、このずれの影響は必然的に平均値に反映されてしまいます。

測定における不確かさの表現に関するガイド[ ^{3 ] （}一般にGUMとして知られる）は、この主題に関する決定的な文書です。GUMは、主要なすべての国立計測機関（NMI）および、国際的な試験所認定に必要なISO/IEC 17025「試験および校正機関の能力に関する一般要求事項」などの国際的な試験所認定規格に採用されており、測定方法および技術に関する最新のほとんどの国内および国際的な文書規格で使用されています。計測ガイド合同委員会を参照してください。

測定不確かさは、校正および測定活動において重要な経済的影響を及ぼします。校正レポートでは、不確かさの大きさはしばしばラボの品質の指標とみなされ、一般的に不確かさの値が小さいほど価値が高く、コストも高くなります。米国機械学会（ASME）は、測定不確かさのさまざまな側面に対応する一連の規格を作成しました。たとえば、ASME規格は、測定結果と製品仕様に基づいて製品を受け入れるか拒否するかを決定する際の測定不確かさの役割に対処するため^{[ 4 ]} 、寸法測定不確かさの評価に対する簡略化されたアプローチ（GUMと比較して）を提供するため[5]、^{測定不確かさ}の記述の大きさに関する意見の相違を解決するため^{[ 6 ]}、および製品の受け入れ/拒否の決定に伴うリスクに関するガイダンスを提供するために使用されます^{[ 7 ] 。}

上記の議論は、ある量を直接測定することに関するものであり、実際にはそのようなケースは稀である。例えば、体重計は、バネの伸びを測定することで、測定対象である体重計に乗っている人の質量を推定する。伸びと質量の具体的な関係は、体重計の校正によって決まる。測定モデルは、ある量の値を対応する測定対象の値に変換する。

実際の測定には様々な種類があり、それに伴い多くのモデルが存在します。単純な測定モデル（例えば、質量がバネの伸びに比例する秤の場合）は、日常的な家庭での使用には十分かもしれません。一方、空気浮力などの追加効果を考慮した、より高度な計量モデルは、産業用や科学用にはより良い結果をもたらすことができます。一般的に、測定対象の定義に寄与し、測定する必要のある量は、温度、湿度、変位など、複数存在することがよくあります。

測定条件が規定どおりでない場合は、測定モデルに補正項を含める必要があります。これらの項は系統誤差に対応します。補正項の推定値が与えられた場合、関連する量はこの推定値によって補正されます。推定値がゼロの場合（多くの場合そうであるように）、推定値には不確かさが伴います。系統誤差の例は、測定機器のアライメントが完全に垂直ではなく、周囲温度が規定と異なる高さ測定で発生します。機器のアライメントも周囲温度も正確には指定されていませんが、これらの影響に関する情報は入手可能です。たとえば、アライメントのずれは最大で0.001°であり、測定時の周囲温度は規定と最大で2  °C異なります。

測定値を表す生データに加えて、測定モデルでは別の形式のデータも頻繁に必要となります。そのようなデータの中には、物理​​定数を表す量に関するものがあり、それぞれが完全には分かっていません。例えば、弾性率や比熱などの材料定数が挙げられます。また、参考書や校正証明書などに記載されている、その他の量の推定値とみなされる関連データもよくあります。

測定モデルにおいて被測定量を定義するために必要な項目は、測定モデルにおける入力量と呼ばれます。このモデルは、しばしば関数関係と呼ばれます。測定モデルにおける出力量は、被測定量です。

形式的には、出力量は、${\displaystyle Y}$情報が必要な対象は、多くの場合、入力量に関連しており、で表されます。${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$情報が入手可能な測定モデルによって、

${\displaystyle Y=f(X_{1},\ldots ,X_{N}),}$

どこ${\displaystyle f}$これは測定関数として知られています。測定モデルの一般的な表現は次のとおりです。

${\displaystyle h(Y,}$${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N})=0.}$

計算手順が存在するものとみなされる${\displaystyle Y}$与えられた${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$そして、${\displaystyle Y}$は、この方程式によって一意に定義される。

入力量の真の値${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$不明です。GUMのアプローチでは、${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$これらは確率分布によって特徴付けられ、数学的には確率変数として扱われます。これらの分布は、それぞれの真の値が異なる区間に存在する確率を表し、利用可能な知識に基づいて割り当てられます。${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$時々、一部または全部${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$これらは相互に関連しており、関連する分布（結合分布と呼ばれる）は、これらの量をまとめて適用する。

推定値を考慮する${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{N}}$入力量のそれぞれ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$証明書や報告書、製造元の仕様、測定データの分析などから得られた確率分布。${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$推定値が${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{N}}$それぞれ、期待値^{[ 8 ]}である。${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$さらに、${\displaystyle i}$番目の入力量について、記号 が与えられた場合のいわゆる標準不確かさを考えます。${\displaystyle u(x_{i})}$入力量の標準偏差^{[ 8 ]}として定義される${\displaystyle X_{i}}$この標準不確かさは、（対応する）推定値に関連付けられていると言われています。${\displaystyle x_{i}}$。

利用可能な知識を使用して、関心のある各量を特徴付ける確率分布を確立することは、${\displaystyle X_{i}}$そしてまた${\displaystyle Y}$後者の場合、特徴的な確率分布は${\displaystyle Y}$測定モデルと確率分布によって決定されます。${\displaystyle X_{i}}$確率分布の決定${\displaystyle Y}$この情報から得られるものは分布の伝播として知られています。^{[ 8 ]}

下図は測定モデルを示しています${\displaystyle Y=X_{1}+X_{2}}$の場合${\displaystyle X_{1}}$そして${\displaystyle X_{2}}$それぞれ異なる矩形分布または一様分布の確率分布によって特徴付けられる。 ${\displaystyle Y}$この場合、対称な台形確率分布を持つ。

入力量が${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$適切な確率分布によって特徴付けられ、測定モデルが開発され、被測定量の確率分布が決定された。${\displaystyle Y}$この情報に関して完全に規定されています。特に、${\displaystyle Y}$の推定値として使用されます${\displaystyle Y}$、標準偏差は${\displaystyle Y}$この推定値に関連する標準不確実性として。

多くの場合、${\displaystyle Y}$特定の確率で必要となる。このような区間、つまりカバレッジ区間は、確率分布から推測できる。${\displaystyle Y}$指定された確率は、カバレッジ確率と呼ばれます。与えられたカバレッジ確率に対して、複数のカバレッジ区間が存在します。確率的に対称なカバレッジ区間とは、区間の左側と右側の値の確率（合計が1からカバレッジ確率を引いた値になる）が等しい区間です。最短のカバレッジ区間とは、同じカバレッジ確率を持つすべてのカバレッジ区間の中で、長さが最小となる区間です。

出力量の真の値に関する事前知識${\displaystyle Y}$も考慮に入れることができます。家庭用体重計の場合、人の質量が正であること、そして測定対象が自動車ではなく人の質量であることは、この例における測定量の可能な値に関する事前知識となります。このような追加情報は、確率分布を提供するために使用できます。${\displaystyle Y}$より小さな標準偏差を与えることができる${\displaystyle Y}$したがって、推定値に関連する標準不確実性は小さくなる。${\displaystyle Y}$[ ^{9 ] [ 10 ] [ 11 ]​}

入力量に関する知識${\displaystyle X_{i}}$繰り返し測定された値から推測される（「不確かさのタイプA評価」）、または量の可能な値に関する科学的判断やその他の情報から推測される（「不確かさのタイプB評価」）。

測定不確かさのタイプA評価では、入力量を最もよく表す分布が${\displaystyle X}$繰り返し測定された値（独立して取得）はガウス分布である。 ${\displaystyle X}$すると、期待値は測定値の平均に等しく、標準偏差は平均値の標準偏差に等しくなります。不確かさが少数の測定値（ガウス分布で特徴付けられる量のインスタンスとみなされる）から評価される場合、対応する分布はt分布とみなすことができます。^{[ 12 ]} 測定値が独立して得られない場合は、他の考慮事項が適用されます。

タイプBの不確実性の評価では、多くの場合、利用できる情報は${\displaystyle X}$指定された区間内に位置する[${\displaystyle a,b}$このような場合、その量の知識は、限界を持つ矩形確率分布^{[ 12 ]}によって特徴付けられる。${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$異なる情報が入手可能な場合は、その情報と整合する確率分布が使用される。^{[ 13 ]}

感度係数${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{N}}$見積もりの​​方法を説明する${\displaystyle y}$の${\displaystyle Y}$推定値のわずかな変化によって影響を受けるだろう${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{N}}$入力量の${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$測定モデルの場合${\displaystyle Y=f(X_{1},\ldots ,X_{N})}$感度係数${\displaystyle c_{i}}$1 階の偏微分に等しい${\displaystyle f}$に関して${\displaystyle X_{i}}$評価された${\displaystyle X_{1}=x_{1}}$、${\displaystyle X_{2}=x_{2}}$など。線形測定モデルの場合

${\displaystyle Y=c_{1}X_{1}+\cdots +c_{N}X_{N},}$

と${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$独立した、変化${\displaystyle x_{i}}$等しい${\displaystyle u(x_{i})}$変化を与えてくれるだろう${\displaystyle c_{i}u(x_{i})}$で${\displaystyle y.}$ この記述は、測定モデルにおいては概ね近似値となる。${\displaystyle Y=f(X_{1},\ldots ,X_{N})}$項の相対的な大きさ${\displaystyle |c_{i}|u(x_{i})}$入力量が標準不確かさにそれぞれどの程度寄与しているかを評価するのに役立つ。${\displaystyle u(y)}$関連する${\displaystyle y}$標準不確かさ${\displaystyle u(y)}$推定値に関連する${\displaystyle y}$出力量の${\displaystyle Y}$は、${\displaystyle |c_{i}|u(x_{i})}$しかし、これらの項は二乗和で結合され、^{[ 1 ]}すなわち、測定モデルに対して一般的に近似的な式によって表される。${\displaystyle Y=f(X_{1},\ldots ,X_{N})}$:

${\displaystyle u^{2}(y)=c_{1}^{2}u^{2}(x_{1})+\cdots +c_{N}^{2}u^{2}(x_{N}),}$

これは不確実性の伝播法則として知られている。

入力量が${\displaystyle X_{i}}$依存関係が含まれる場合、上記の式は共分散を含む項によって拡張され、^{[ 1 ]}増加または減少する可能性があります。${\displaystyle u(y)}$。

不確実性評価の主な段階は、定式化と計算から成り、後者は伝播と要約から成ります。定式化段階は、

1. 出力量を定義する${\displaystyle Y}$（測定対象）
2. 入力量を特定する${\displaystyle Y}$場合によります。
3. 測定モデルの開発${\displaystyle Y}$入力量に対して、
4. 入手可能な知識に基づいて、入力量に確率分布（ガウス分布、矩形分布など）を割り当てる（または、独立でない入力量には結合確率分布を割り当てる）。

計算段階では、入力量の確率分布を測定モデルを通して伝播させ、出力量の確率分布を取得します。${\displaystyle Y}$、そしてこの分布を使用して要約すると、

1. 期待${\displaystyle Y}$推定値として${\displaystyle y}$の${\displaystyle Y}$、
2. 標準偏差${\displaystyle Y}$標準不確かさとして${\displaystyle u(y)}$関連する${\displaystyle y}$、 そして
3. カバー範囲を含む${\displaystyle Y}$指定されたカバレッジ確率で。

不確実性評価の伝播段階は分布の伝播として知られており、これにはさまざまなアプローチが利用可能である。

1. GUM不確実性フレームワークは、不確実性の伝播法則の適用と出力量の特性化から構成される。${\displaystyle Y}$ガウス分布または${\displaystyle t}$-分布、
2. 解析的手法では、数学的解析を用いて確率分布の代数形式を導出します。${\displaystyle Y}$、 そして
3. モンテカルロ法^{[ 8 ]}では、分布関数の近似値として${\displaystyle Y}$入力量の確率分布からランダムに抽出を行い、得られた値でモデルを評価することによって、数値的に確立される。

特定の不確実性評価問題に対しては、アプローチ1)、2)、3)（またはその他のアプローチ）が使用されます。1)は一般的に近似的であり、2)は正確であり、3)は制御可能な数値精度を持つ解を提供します。

測定不確かさに関する最も一般的な見解は、不確実な量の数学的モデルとして確率変数を用い、測定不確かさを表すには単純な確率分布で十分とするものです。しかし、状況によっては、確率分布よりも数学的な区間の方が不確かさの適切なモデルとなる場合があります。これには、周期的な測定、ビン化されたデータ値、打ち切り、検出限界、または測定値のプラスマイナス範囲など、特定の確率分布が適切でないと思われる場合や、個々の測定値間の誤差が完全に独立していると仮定できない状況が含まれます。

このような場合の測定不確実性のより堅牢な表現は、区間から構築できます。^{[ 15 ] [ 16 ]}区間[ a , b ]は、同じ範囲の矩形または一様確率分布とは異なり、後者は真の値が確率1/2で範囲[( a + b )/2, b ]の右半分内にあり、[ a , b ]の任意の部分区間内に確率が部分区間の幅をb - aで割った値に等しいことを示唆します。区間は、測定値が区間内のどこかにあること以外に、そのような主張はしません。このような測定区間の分布は、偶然的不確実性と認識的不確実性の両方を組み込んだ、実数上の確率ボックスとデンプスター-シェーファー構造として要約できます 。       

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マイケル・グラーベのホームページ：http://www.uncertainty.de