セクター（楽器）

セクターは、セクター定規、比例コンパス、軍用コンパスとも呼ばれ 、16世紀末から19世紀にかけて使用されていた主要な計算器具でした。これは、ヒンジでつながれた同じ長さの定規2本からなる器具です。器具には多数の目盛りが刻まれており、さまざまな数学的計算に便利です。これは、比例、乗算と除算、幾何学、三角法の問題を解くため、および平方根や立方根などのさまざまな数学関数を計算するために使用されました。その複数の目盛りにより、砲術、測量、航海の問題を簡単かつ直接的に解くことができました。セクターの名前は、ユークリッドの第6の書の第4命題に由来しており、相似三角形は同じ辺が比例していることが実証されています。一部のセクターには象限儀も組み込まれており、片方の脚の端にクランプが付いていて、装置を砲手の象限儀として使用できることもありました。

この分野は、17 世紀初頭までに、本質的には同時に、そして独立して、複数の異なる人々によって発明されました。

ファブリツィオ・モルデンテ（1532年 - 1608年頃）はイタリアの数学者で、円周、面積、角度の測定問題を解くためのカーソルが付いた2本の腕を持つ「比例八角コンパス」の発明で最もよく知られています。1567年に彼はヴェネツィアでこの装置の図解を載せた1枚の論文を発表しました。^[1] 1585年にジョルダーノ・ブルーノはモルデンテのコンパスを使ってアリストテレスの無限小の通約不可能性に関する仮説を反駁し、「最小値」の存在を確認しました。これは彼自身の原子論の基礎となりました。^[2] グイドバルド・デル・モンテは1670年頃、「多角形コンパス」を開発しました。これには正多角形を作図するためのスケールが含まれています。イタリアの天文学者ガリレオ・ガリレイは1590年代にさらなる目盛りを追加し、1606年にその主題に関する本を出版しました。 ^[3]ガリレオの扇形は当初軍事用途のために設計されましたが、汎用の計算ツールへと進化しました。

イングランドで最も古いとされる2つのセクターは、それぞれロバート・ベキットとチャールズ・ウィットウェルによって作られ、どちらも1597年のものである。これらは、英国の数学者トーマス・フッドの1598年の本に記載されている装置の説明と非常によく似ている。 ^[3]フッドが説明したセクターは測量機器として使用することを目的としており、照準器と、機器をポールや支柱に取り付けるための取り付けソケット、円弧目盛り、追加のスライド脚が含まれていた。1600年代に、英国の数学者エドモンド・ガンターは付属品を省き、メルカトル図法上の子午線に沿った緯度の間隔に比例した目盛りが付いた子午線などの追加の目盛りを追加し、^{[4]その構造と使用法を説明するラテン語の写本を個人的に配布した。ガンターは1623年にこれを英語で}De Sectore et Radioとして出版した。

ガリレオは1590年代初めに砲兵用の道具として扇形天秤を初めて開発しました。1597年までには扇形天秤はより幅広い用途を持つ道具へと進化しました。例えば、直線と半円の組み合わせで作られた平面図形の面積を計算するのに使うことができました。ガリレオは扇形天秤を改良して、ユークリッドの『原論』で論じられているあらゆる図形の面積を計算できるようにしようと決めました。そのためには、円弧の面積を計算する機能を追加する必要がありました。この問題を解決するのに1年以上かかりました。今日ガリレオの扇形天秤として知られているのは、この機能を追加したバージョンで、ガリレオは1599年に器具製作者のマルク・アントニオ・マッツォレーニの協力を得て製作を開始しました。ガリレオはマッツォレーニとその家族に部屋と食事を提供し、販売価格35リラの3分の2を支払っていました。ガリレオは、この器具の使い方を教える講習会に120リラを請求したが、これは熟練した職人の年間賃金の約半分であった。^{[5]彼の顧客のほとんどは}裕福な貴族であり、その中にはフェルディナンド大公も含まれていた。ガリレオは フェルディナンド大公に銀製の扇形...

ガリレオは1606年のマニュアルで、扇形を使って32種類の計算を行う方法を説明しています。^[6]序文でガリレオは、数学を勉強していない人でも複雑な計算を数学的な詳細を知らなくても実行できるようにするため、扇形を作ったのだと書いています。扇形は、コンパスとも呼ばれるデバイダーと組み合わせて使用​​されました。扇形の各アームには、前面に4本、背面に3本の線が引かれており、ピボットにはデバイダーの先端を差し込めるくぼみがありました。各アームの線と目盛りは同じもので、内側の端から外側の端に向かって同じ順序で並んでおり、7組の線が形成されています。すべての計算は、非常に簡単な5つの手順の組み合わせで実行できました。デバイダーで長さ、間隔、または物体の幅を測定する、扇形のアームを開き、一対の線上の対応する2点間の横方向の距離をデバイダーの間隔に設定する、扇形をある間隔に設定したら、一対の線上の対応する2点間の横方向の距離を測定する、横方向の距離が仕切りの間隔と一致する点の目盛りの 1 つから値を読み取る。また、軸からの距離が仕切りと一致する目盛りから値を読み取る。ガリレオは目盛りの作り方については説明しなかった。彼はそれを企業秘密と考えていたが、詳細は推測できる。目盛りの目盛りは約 1% の精度で付けられていた。

器具の最も内側の目盛りは等差数列、つまり線形目盛りで区切られていることから等差線と呼ばれています。ガリレオ博物館のセクターには16から260までマークが付けられています。^[7]ピボットからの長さを呼ぶと、2つのマークに値があり、その長さの比率は数字の比率に比例します。現代の表記では、 ${\displaystyle A,}$${\displaystyle n_{1}}$${\displaystyle n_{2},}$

${\displaystyle {\frac {A_{1}}{A_{2}}}={\frac {n_{1}}{n_{2}}},}$

ガリレオは、これらのスケールを使用して線をいくつかの等しい部分に分割する方法、線の任意の部分を測定する方法、図や地図の拡大版を作成する方法、ユークリッドの黄金律（3の法則とも呼ばれる）を解く方法、ある通貨の値を別の通貨の値に変換する方法、および投資の複利値を計算する方法について説明しています。

例として、投資の複利計算の手順は以下のとおりです。初期投資が P0 の場合、ピボットから算術線上の P0 でマークされたポイントまでの距離にディバイダーを設定します。機器を開き、算術線上のポイント 100-100 の横方向の距離を、先ほど測定した P0 までの距離に設定します。期間の利率がたとえば 6% の場合、ディバイダーを 106-106 の横方向の距離に設定します。ピボットにディバイダーを配置し、もう一方の端が算術線上のどこに落ちるかを確認します。これが最初の期間の終了時の投資の価値です。次に、横方向の距離 100-100 を現在のディバイダー間隔に再度設定し、必要な期間の数だけこの手順を繰り返します。

次の線のセットは幾何線と呼ばれ、1 から 50 までの番号が付けられたスケールを持ち、長さが平方根に比例します。幾何平均を求めたり、平面図形の面積を扱ったりするのに使用されるため、幾何線と呼ばれます。長さをピボットから求めると、次のようになります。 ${\displaystyle G,}$

${\displaystyle {\frac {G_{1}}{G_{2}}}={\frac {\sqrt {n_{1}}}{\sqrt {n_{2}}}}}$

ガリレオは、これらの線を使用して図形を拡大縮小し、新しい図形が元の図形に対して所定の面積比を持つようにする方法、2 つの相似図形の面積比を測定する方法、一連の相似図形を別の相似図形に組み合わせて、結果の図形がそのセットの合計面積を持つようにする方法、他の 2 つの相似図形の面積の差に等しい面積を持つ相似図形を構成する方法、数値の平方根を求める方法、行と列の比率が特定の値になるように N 人の兵士をグリッドに配置する方法、および2 つの数値の幾何平均を求める方法について説明しています。

例として、相似図形のセットの合計面積を持つ相似図形を作成する手順は次のとおりです。最大の図形の 1 辺を選択し、その長さを仕切りで測定します。セクターを開き、幾何学的な線上の中間値に横方向の距離を仕切りの間隔に設定します。任意の数値 (たとえば 20) を設定できます。次に、他の各図形の対応する辺の長さを測定し、横方向の距離がこれらの長さと一致する幾何学的な線のスケール値を読み取ります。最初に設定した 20 を含め、すべてのスケールの読み取り値を合計します。幾何学的な線の合計値で、横方向の距離を測定します。これが、セットの合計面積を持つ図形の辺の長さになります。次に、算術スケールを使用して、最大の図形の他のすべての辺の長さをスケールして一致させることができます。この手順は、直線で作成された閉じた図形に使用できます。

平方根を計算する手順は、被除数の大きさによって異なります。「中程度の」数値 (「5,000 程度」) の場合は、まず、ピボットから算術線上の 40 とマークされた点までの距離を測定し、この距離に幾何線上の 16-16 の扇形の横方向の距離を設定します。次に、その数値を 100 で割り、最も近い整数に丸めます。たとえば、8679 は 87 になります。この数字が 50 (幾何学的線​​のスケールの最大値) より大きい場合は、この例では 3 で割って 29 にします。次に、29 で幾何学的線​​の横方向の距離を測定します。算術線上のこの距離は を表します。数字はセクターに収まるように縮小されたため、長さを で拡大する必要があります。任意の便利な値 (たとえば 10) を選択できます。セクターの横方向の距離を 10 に設定して、分割線間隔を設定し、幾何学的線​​で 30 で横方向の距離を測定し、算術線に分割線を配置して、十分に近い値を測定します。${\displaystyle {\sqrt {2900}}.}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}.}$${\displaystyle {\sqrt {8700}},}$${\displaystyle {\sqrt {8679}}}$

「小さな」数、つまり「100 前後」の数の平方根を計算する手順は、より単純です。最初に 100 で割る手間を省き、それ以外は同じ手順を実行します。最後に、結果として得られた平方根の推定値を 10 で割ります。「大きな」数 (「50,000 前後」) の場合は、幾何学的直線上の 10-10 のセクターを、ピボットから算術直線上の 100 の点までの距離に設定します。その数を 1000 で割り、最も近い整数に丸めます。その後は、前と同じ手順に従います。

ガリレオはそれ以上の指針や改良を提供していません。特定の数値に対してどの手順を使用するかを知るには、ある程度の考慮と不確実性の伝播に対する認識が必要です。

立体測定線は、立体測定、つまり三次元物体の幾何学に関係しているため、このように呼ばれています。目盛りは148で、中心からの距離は立方根に比例します。長さを ${\displaystyle S,}$

${\displaystyle {\frac {S_{1}}{S_{2}}}={\frac {\sqrt[{3}]{n_{1}}}{\sqrt[{3}]{n_{2}}}}}$

これらの線は、面積ではなく体積を扱う点を除いて、幾何学的な線と似た方法で動作します。

ガリレオは、これらの直線を使用して、元の立体に対して与えられた体積比を持つ相似立体の対応する辺の長さを求める方法、一対の対応する辺の長さが与えられたときに 2 つの相似立体の体積比を決定する方法、他の相似立体のセットの合計体積を持つ相似立体の辺の長さを求める方法、数値の立方根を求める方法、与えられたスケール係数 に対しておよび となる2 つの数値との中間の 2 つの値を求める方法、および直方体(角が四角い箱)と同じ体積を持つ立方体の辺を求める方法について説明しています。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle n_{1}=rp}$${\displaystyle n_{2}=r^{2}p}$${\displaystyle q=r^{3}p}$${\displaystyle r}$

辺 の直方体を立方体にするには、ガリレオの方法を計算することになります。ガリレオは、まず幾何線を使用して 2 つの辺の幾何平均を求め、次に算術線に沿って、除算器を使用してマークした点までの距離を測定し、次に、立体測定線上のマークされた点でこの距離にセクターを交差させて設定し、セクターを較正して、ピボットから立体測定線上の点までの距離が、辺 の直方体の体積を持つ立方体の辺を表すようにします。次に、ピボットから算術線上の点までの距離を測定し、この距離が立体測定線上のどの値に交差して適合するかを確認し、前の結果に を掛けて、目的の結果を得ます。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b,}$${\displaystyle c}$${\displaystyle s={\sqrt[{3}]{abc}}.}$${\displaystyle g={\sqrt {ab}}.}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{ab}},}$${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b,}$${\displaystyle 1.}$${\displaystyle c}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{c}},}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{abc}}}$

立方根を計算する手順は平方根の場合と似ていますが、1,000 以上の値にしか適用できません。「中」の数値の場合は、立体直線上の 64-64 のところに、ピボットから算術直線上の 40 とマークされた点までの距離に交差するセクターを設定します。次に、数値から最後の 3 桁を切り落とし、切り落とした数値が 500 を超える場合は、余りに 1 を加えます。余りの値で立体直線上の交差距離を測定し、これを算術直線に当てはめて立方根を求めます。ここで再スケーリングせずに処理できる最大の数値は 148,000 です。「大きい」数値の場合は、立体直線上の 100-100 のところに、ピボットから算術直線上の 100 の点までの距離に交差するセクターを設定し、3 桁を切り落とす代わりに 4 桁を切り落とします。これにより、10,000 から 1,480,000 までの数値を再スケーリングせずに処理できます。実用的には、10,000 の倍数の約 2% 以内ではない 148,000 までのすべての値に対して中数値手順を使用する必要があります。

金属線、つまり前面の最も外側のペアには、「ORO」（金、オーロ）、PIO（鉛、ピオンボ）、AR（銀、アルジェント）、RA（銅、ラメ）、FE（鉄、フェロ） 、ST（錫、スズ）、MA（大理石、マーブル）、PIE（石、ピエトラ）の記号が付けられています。これらの記号は、比重または密度の降順で並べられており、距離は逆立方根に比例します。密度が の 2 つの材料があるとすると、ピボットからの長さを${\displaystyle \rho_{1}}$${\displaystyle \rho _{2},}$${\displaystyle M,}$

${\displaystyle {\frac {M_{1}}{M_{2}}}={\frac {\sqrt[{3}]{\rho _{2}}}{\sqrt[{3}]{\rho _{1}}}}}$

このスケールの長さの比率は、同じ重さだが材質が異なる 2 つのボールの直径の比率に比例します。

これらの線は、砲兵にとって「口径を作る」問題を解決する上で興味深いものでした。つまり、異なるサイズと材質の砲弾の正しい火薬量がわかっている場合に、あるサイズと材質の砲弾に使用する正しい火薬量をどのように計算するかということです。それを行うには、既知の火薬量で砲弾の直径を測定し、この砲弾の材質マークの金属線上の横断方向のセクターをその直径に設定します。2 番目の砲弾の材質タイプでの横断方向の距離は、最初の砲弾と同じ重量のこの材質の砲弾の直径を示します。正しい火薬量を得るには、この長さを 2 番目の砲弾の所定の直径まで実測的に縮小する必要があります。そのため、実測線の横断方向の距離を金属線から測定した横断方向の距離の 100-100 に設定し、実測線の横断方向の距離が 2 番目の砲弾の実際の直径と一致する場所を確認します。必要な電荷は、既知の電荷を持つボールと比較したこのスケールの読み取り値を 100 とする比率になります。その後、算術演算ラインを使用して、この比率で電荷の重量をスケールできます。

機器の背面にある最も内側の目盛りであるポリグラフ線には 3 から 15 までの番号が付けられており、ピボットからの距離は、与えられた円に内接する正多角形の辺の長さに反比例するか、与えられた長さの正多角形の辺の外接半径に正比例します。がポリグラフ目盛りの長さで、が度で測定された円弧の 三角弦の長さを表す場合、${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \operatorname {crd} }$

${\displaystyle {\frac {P_{1}}{P_{2}}}={\frac {\operatorname {crd} {\dfrac {360^{\circ }}{n_{2}}}}{\operatorname {crd} {\dfrac {360^{\circ }}{n_{1}}}}}.}$

現代の正弦関数の関数表記法を用いると、

${\displaystyle P(n)={\frac {R}{2\sin {\dfrac {\pi }{n}}}}}$

ここで、 は六角形の外接半径です。これらの線は、3 辺の正三角形から15 辺の十五角形までのあらゆる正多角形の作成に役立ちます。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle P(6)=R.}$

ガリレオは、これらの線を使用して、n 辺の多角形が与えられた長さのときに、それを囲む円の半径を求める方法、または逆に円周を複数の部分に分割する弦の長さを求める方法を説明しています。 囲む円の半径を求める手順は次のとおりです。セクターを開き、ポリグラフ線上の点 6-6 の横方向の距離を、必要な辺の長さに設定します。ポリグラフ線上で横方向に測定された距離が、囲む円の半径です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

四角形の線は、中心から離れるにつれて 13 から 3 まで引かれており、中心からの距離は と推測できます。ここで、 は中心から 3 とマークされた点までの距離です。スケール上には、6 と 7 のほぼ中間に位置する円があります。この名前は、四角形(四辺形) に由来しています。これらの線の主な目的は、正多角形の求積法、つまり、与えられた正多角形と同じ面積を持つ正方形の辺を見つけることであるためです。円 を二乗するのにも使用できます。 ${\displaystyle L(n)=L_{t}{\sqrt {\frac {n}{{\sqrt {3}}\tan {\frac {180}{n}}}}}}$${\displaystyle L_{t}}$

辺を持つ正多角形の面積は で、 は多角形の辺の長さです。面積が等しい円の半径は です。円の半径が多角形の辺の長さと同じになる の値は です。もちろん、そのような多角形は存在しませんが、これにより、正四線上の参照点、つまり示された円が得られ、多角形の辺の長さと交差する正四線上の に扇形を設定すれば、辺を持つ多角形と面積が等しい円の半径を横方向に簡単に読み取ることができます。円を正方形にするには、 を使用するだけです。多角形を正方形にするには、 で扇形を横方向に に、 で横方向に にそれぞれ設定し、 で横方向に を測定するだけです。面積が等しく辺の数が異なる 2 つの多角形の必要な辺の長さを見つけることも同様に簡単です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle A(n)=L^{2}{\frac {n}{4\tan {\frac {180}{n}}}}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle r=L{\frac {n}{4\pi \tan {\frac {180}{n}}}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=6.5437}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=4}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=4}$

背面の最も外側の線には、外側と内側の 2 つの目盛りがあります。外側の目盛りは直線で、軸から離れるにつれて 18 から 0 まで伸びており、ゼロ ポイントには円弧の記号 ⌓ が付けられています。このゼロ ポイントは、腕に沿って外側に約 70% の距離にあります。内側の目盛りも 18 から 0 まで伸びていると説明されていますが、ガリレオ博物館のセクターには 17 からしかマークされていません。内側の目盛りのゼロ ポイントは、腕のさらに外側、距離 にあります。これは軸から外側の目盛りのゼロまでの距離で、ゼロは小さな四角でマークされています。外側の目盛りのゼロは、内側の目盛りで 6 とマークされたポイントの近くにあります。一見すると内側の目盛りも直線に見えますが、そのポイント間隔は実際にはかなり複雑な式で決定されますこれらの線の名前は、ガリレオが扇形の以前のバージョンに追加したことに由来しています。これらの線は円弧を正方形にするために使用されます。つまり、指定された弦の長さと高さを持つ円弧の面積と等しい正方形の辺の長さを求めることです。この場合、円弧は最大で半円です。 ${\textstyle {\sqrt {\pi /2}}L_{a}}$${\displaystyle L_{a}}$

円弧を正方形にする手順は次のとおりです。弦の半分の長さ を測ります。弦の中点で、弦に垂直な線と円が交差する部分の長さ、高さ を測ります。外側のスケールのゼロで追加された線と交差するセクターを、弦の半分の長さ に設定します。外側のスケールで、交差距離 が である点 を見つけます。これは以下でなければなりません。 とマークされている内側のスケールの点 に移動します。内側のスケールの点 nn 間の交差距離は、円弧の面積に等しい正方形の辺の長さです。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle h}$${\displaystyle c}$${\displaystyle n}$${\displaystyle h}$${\displaystyle h}$${\displaystyle c}$${\displaystyle n}$

これがどのように機能するかを確認するには、まず (円セグメントの図でわかるように)、セグメントの面積は、弦が円を切る位置で定義されるパイスライスの面積と、弦と弦の両端に接する 2 つの半径で形成される三角形の面積との差であることに注目することから始めます。三角形の底辺の長さは、三角形の高さは なので、三角形の面積は です。ピソグラスの定理を使用すると、 であることがわかります。パイスライスの面積は、角度 によって覆われる円の面積の割合です。ラジアンの場合、この面積はで、 は逆正弦関数です。 、 と定義すると、セグメントの面積は と表すことができます。 ${\displaystyle 2c}$${\displaystyle r-h}$${\displaystyle A_{t}=c(r-h)}$${\displaystyle r=(c^{2}+h^{2})/2h}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle A_{pie}=\theta /2r^{2}=r^{2}\arcsin(c/r)}$${\displaystyle \arcsin }$${\displaystyle x=h/c}$${\displaystyle z=(1+x^{2})/2x}$${\displaystyle A_{seg}=c^{2}(z^{2}\arcsin 1/z-z+x)}$

ピボットから外側のスケールにマークされた点までの距離は、ピボットから外側のスケールのゼロ点までの距離です。扇形をゼロ点で に交差させて設定し、外側のスケール上で交差距離が となる点を見つけると、扇形の腕がピボットで作る角度を共有する相似な三角形のペアが設定され、 となります。内側のスケール上の点からピボットまでの距離を に設定し、 、およびを前と同じように定義すると、内側のスケールで で測定された交差距離は、面積がセグメントの面積に等しい正方形の辺の長さになります。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle L_{outer}(n)=L_{a}(1-n/20)}$${\displaystyle L_{a}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle h}$${\displaystyle h/c=1-n/20}$${\displaystyle n}$${\textstyle L_{inner}(n)=L_{a}{\sqrt {z^{2}\arcsin 1/z-z+x}}}$${\displaystyle x=1-n/20}$${\displaystyle z}$${\displaystyle n}$

セクターには、下げ振りと取り外し可能な四分儀が付属しており、所定の位置に取り付けると、アームが互いに 90 度で固定されます。セクターは、三角測量を使用して照準と距離の測定に使用でき、測量や弾道学に応用できます。セクターを使用すると、1 つのアームを砲身に挿入し、下げ振りの位置から高度を読み取ることで、大砲の高度を簡単に判断することもできます。

• ビオン、ニコラス、ストーン、エドマンド(1758)。数学機器の構築と主な用途 (第 2 版)。J. リチャードソン。最初の英語版はJohn Senexによって 1723 年に出版されました。Bion , Nicolas (1723 年) [1709]の英語訳を改訂および拡張しました。 Traité de la construction et des principaux uses des instrumens de mathématique (フランス語) (改訂版)。 P. ハッソン & al.
• ドレイク、スティルマン(1976)。「ガリレオと最初の機械式計算装置」。サイエンティフィック・アメリカン。234 (4): 104–113。doi :10.1038/scientificamerican0476-104。JSTOR 24950332  。
• フォスター、サミュエル(1673)。「セクターの変更」。エドマンド・ガンター著。エドマンド・ガンター著。ウィリアム・レイボーン(編)。(第 5 版)。フランシス・エグルスフィールド。pp. 157–194。
• ガリレイ、ガリレオ（1978）[1606]。幾何学的および軍事的コンパスの操作。ドレイク、スティルマン訳。ワシントンD.C.：スミソニアン協会。ガリレイ、ガリレオ (1649)の英語訳。 Le Operazioni del Compasso Geometrico et Militare (イタリア語) (第 3 版)。パドヴァ：パオロ・フランボット。
• グンター、エドマンド（1673年）。レイボーン、ウィリアム（編）。エドマンド・グンター著作集（第5版）。フランシス・エグルスフィールド。pp. 1–156。最初に出版されたのは『セクター、クロススタッフ、およびその他の楽器の説明と使用』（1624、1636 年）。
• Kern、Ralf、Wissenschaftliche Instrumente in ihrer Zeit。ヴォム 15. – 19. ヤールフンデルト。 Verlag der Buchhandlung Walther König 2010、ISBN 978-3-86560-772-0 
• Meskens, A. (1997). 「Michel Coignet のこの分野の発展への貢献」Annals of Science . 54 (2): 143–160. doi :10.1080/00033799700200501.
• ロッシーニ、パオロ（2019）。「新しい機器のための新しい理論：ファブリツィオ・モルデンテの比例コンパスとジョルダーノ・ブルーノの原子論的幾何学の起源」科学史哲学研究A。76：60-68。doi ：10.1016 /j.shpsa.2018.10.004。
• Williams, Michael R.; Tomash, Erwin (2003). 「セクター: その歴史、規模、および用途」IEEE Annals of the History of Computing . 25 (1): 34–47. doi :10.1109/MAHC.2003.1179877.
• 測量および関連機器のカタログ、ジム・ベネット、Sillabe Srl、リボルノ、イタリア、2022年。ISBN 978-88-3340-322-9 

ウィキメディア・コモンズには、セクター (機器)に関連するメディアがあります。

• 比例コンパスまたはセクターとその歴史、高知芸術科学空間。
• ガリレオセクターの天秤は、 G. ガリレイ著「幾何学的軍事コンパス」から引用したものです(2008 年アーカイブ)
• IBM アーカイブの Cole 軍事部門
• 典型的なセクターとその使い方 (Christopher J. Sangwin 著)
• IMSAI Guy による YouTube の「計算尺と正弦プレートには共通の祖先がある」
• YouTube の Brendan Bernhardt Gaffney による「Cabinetmaker's Sector Tour and Tutorial」
• レッド ローズ リプロダクションズの「エイサー フェロウス ツールワークス セクター」には、セクターの使用法を紹介するビデオがいくつか含まれています。