測定レベル

測定レベルまたは測定尺度は、変数に割り当てられた値内の情報の性質を説明する分類です。^[1]心理学者スタンレー・スミス・スティーブンスは、名目、順序、間隔、比率の4つの測定レベルまたは尺度による最もよく知られた分類を開発しました。^{[1] [2]}測定レベルを区別するこの枠組みは心理学に端を発し、それ以来複雑な歴史をたどり、一部の分野や学者によって採用および拡張され、他の学者からは批判または拒否されてきました。^[3]他の分類には、モステラーとテューキーによる分類、^[4]クリスマンによる分類などがあります。^[5]

スティーブンスは、1946 年にScience誌に「測定尺度の理論について」と題した記事で、この類型論を提唱した。^[2]その記事でスティーブンスは、科学におけるすべての測定は、彼が「名目」、「順序」、「間隔」、「比率」と呼ぶ 4 種類の尺度を使用して行われると主張し、質的尺度 (スティーブンスの「名目」タイプで説明) と量的尺度(程度は異なるが、その他の尺度すべて) の両方を統合した。尺度タイプの概念は、数理心理学者のセオドア アルパー (1985、1987)、ルイス ナレンズ (1981a、b)、およびR. ダンカン ルース(1986、1987、2001) の研究によって、当初は欠けていた数学的厳密さを獲得した。ルース (1997、p. 395) は次のように書いている。

SS スティーブンス (1946、1951、1975) は、重要なのは間隔スケールまたは比率スケールであると主張しました。その後の研究により、この主張に意味が与えられましたが、彼がスケールタイプのアイデアを持ち出そうとしたことを考えると、彼自身がそれを理解していたかどうかは疑わしいです...私が知る測定理論家は誰もスティーブンスの測定の広い定義を受け入れていません...私たちの見解では、「ルール」の唯一の意味は、属性に関する経験的にテスト可能な法則です。

名義尺度は、いくつかの異なるクラスまたはカテゴリのみで構成されます。例: [猫、犬、ウサギ]。他の尺度とは異なり、クラス間の関係性は信頼できません。したがって、名義尺度で測定することは、分類することと同じです。

名目測定では、項目や対象を、その名前や（メタ）カテゴリ、およびそれらが属する他の質的分類のみに基づいて区別する場合があります。したがって、二分法データであっても構成主義的認識論に依存していると主張されてきました。この場合、分類の例外の発見は進歩と見なすことができます。

変数を表すために数字を使用することもできますが、数字には数値や関係性はありません。たとえば、グローバルに一意の識別子などです。

これらの分類の例としては、性別、国籍、民族、言語、ジャンル、スタイル、生物種、形態などが挙げられる。^{[6] [7]}大学では、寮や学部の所属なども例として挙げられる。その他の具体的な例としては、

• 文法では、品詞：名詞、動詞、前置詞、冠詞、代名詞など。
• 政治における権力の投射：ハードパワー、ソフトパワーなど
• 生物学では、分類学上のランクはドメインの下に位置する：古細菌、細菌、真核生物
• ソフトウェア工学における欠陥の種類：仕様欠陥、設計欠陥、コード欠陥

名目尺度はしばしば質的尺度と呼ばれ、質的尺度で行われた測定は質的データと呼ばれていました。しかし、質的研究の台頭により、この用法は混乱を招いています。名目測定でラベルとして数字が割り当てられている場合、その数字には特定の数値や意味はありません。名目測定では、算術計算 (+、-、​​× など) を実行できません。名目レベルは、統計的観点から使用される最も低い測定レベルです。

等価性、および不等性や集合のメンバーシップなど、等価性に基づいて定義できるその他の操作は、名目上の型のオブジェクトに一般的に適用される 唯一の非自明な 操作です。

最頻値、つまり最も一般的な項目は、名目型の中心傾向の尺度として認められる。一方、中央値、つまり中間ランクの項目は、名目型のデータでは意味をなさない。名目型のデータでは順位付けは無意味だからである。^[8]

序数型では、データを並べ替えるための順位（1 位、2 位、3 位など）を指定できますが、それでもデータ間の相対的な差異の度合いは指定できません。例としては、一方では、健康を測定するときの「病気」と「健康」、法廷で判決を下すときの「有罪」と「無罪」、真理値を測定するときの「間違っている/偽り」と「正しい/真」など、二分値（または二分化された）値を持つ二分データがあり、他方では、意見を測定するときの「完全に同意する」、「ほぼ同意する」、「ほぼ同意しない」、「完全に同意しない」など、値のスペクトルで構成される非二分データがあります。

順序尺度は出来事を順序付けますが、何らかの規則に基づいて尺度の間隔を等しくする試みは行われません。順位は順序尺度を表し、定性的な現象に関する研究で頻繁に使用されます。卒業クラスでの学生の順位には順序尺度が使用されます。順序尺度に基づくスコアについての発言には細心の注意が必要です。たとえば、クラスでの Devi の順位が 10 で Ganga の順位が 40 の場合、Devi の順位は Ganga の 4 倍優れているとは言えません。順序尺度では、最高から最低への項目の順位付けのみが可能です。順序尺度には絶対値がないため、隣接する順位間の実際の差は等しくない場合があります。言えることは、ある人がスケール上で他の人よりも高いか低いかということだけで、より正確な比較を行うことはできません。したがって、順序尺度の使用は、「より大きい」または「より小さい」という表現（同等の表現も許容されます）を意味しますが、どの程度大きいか小さいかは明示できません。たとえば、ランク 1 と 2 の実際の差は、ランク 5 と 6 の差よりも大きいか小さい可能性があります。この尺度の数値はランクの意味しか持たないため、中心傾向の適切な尺度は中央値です。分散の測定には、パーセンタイルまたは四分位尺度が使用されます。相関は、さまざまなランク順序方法に制限されます。統計的有意性の尺度は、非パラメトリック方法に制限されます（RM Kothari、2004）。

中央値、つまり中間にランク付けされた項目は、中心傾向の尺度として使用できます。ただし、平均値は中心傾向の尺度として使用できません。最頻値は使用できます。

1946 年、スティーブンスは、意見の測定などの心理測定は通常、順序尺度で行われるため、平均値や標準偏差は妥当性がないが、アンケートで使用される変数の操作化を改善する方法についてのアイデアを得るために使用できることを観察しました。認知能力やその他の能力を測定する心理測定機器やテストによって収集された心理データのほとんどは順序尺度ですが、一部の理論家は、それらを間隔尺度または比率尺度として扱うことができると主張しています。ただし、そのような属性が順序尺度以上のものであることを示唆する表面的な証拠はほとんどありません (Cliff、1996 年、Cliff & Keats、2003 年、Michell、2008 年)。 ^[9]特に、^[10] IQ スコアは順序尺度を反映しており、そのすべてのスコアは比較のみに意味があります。^{[11] [12] [13]}絶対的なゼロはなく、10 ポイントの違いはスケールの異なるポイントで異なる意味を持つ場合があります。^{[14] [15]}

間隔型では、測定値間の差の度合いを定義できますが、測定値間の比率は定義できません。例としては、2 つの定義済みポイント (特定の条件における水の凝固点と沸点) があり、100 の間隔に分割される摂氏スケールの温度スケール、任意の時代 (西暦など) から測定された日付、直交座標での位置、真北または磁北からの度数で測定された方向などがあります。20 °C は 10 °C の「2 倍熱い」とは言えないため (ケルビンの温度とは異なります)、比率は意味がありません。また、2 つの日付間で直接乗算/除算を行うこともできません。ただし、差の比率は表現できます。たとえば、1 つの差が別の差の 2 倍になることがあります。たとえば、15 °C と 25 °C の 10 度の差は、17 °C と 22 °C の 5 度の差の 2 倍になります。区間型変数は「スケール変数」と呼ばれることもありますが、正式な数学用語ではアフィン空間（この場合はアフィン直線）と呼ばれます。

最頻値、中央値、算術平均は、区間変数の中心傾向を測定するのに使用できますが、統計的分散の尺度には、範囲と標準偏差が含まれます。差でしか割ることができないため、変動係数などの比率を必要とする尺度を定義することはできません。 さらに微妙な点として、原点の周りのモーメントは定義できますが、原点の選択は任意であるため、意味があるのは中心モーメントのみです。差の比率は意味があるため、標準化モーメントを定義することはできますが、変動係数を定義することはできません。平均は原点の周りのモーメントであり、標準偏差は中心モーメント（の平方根）であるためです。

参照:正の実数 § 比率スケール

比率型は、測定が連続量の大きさと同種の測定単位との比率の推定であることからその名前が付けられています(Michell、1997、1999)。物理科学と工学における測定のほとんどは、比率スケールで行われます。例としては、質量、長さ、持続時間、平面角、エネルギー、電荷などがあります。間隔スケールとは対照的に、比率は除算を使用して比較できます。非常に非公式には、多くの比率スケールは、何かの「量」(つまり、量または大きさ) を指定するものとして説明できます。比率スケールは、大きさの桁 (温度) の温度など、大きさの桁を表すためによく使用されます。

幾何平均と調和平均は、モード、中央値、算術平均に加えて、中心傾向を測定するために使用できます。スチューデント化範囲と変動係数は、統計的分散を測定するために使用できます。比率スケールには必要なすべての数学的演算が定義されているため、すべての統計的測定が可能です。

スティーブンスの類型論は広く採用されているが、特に名義型と順序型の場合には他の理論家から異議を唱えられている（Michell, 1986）。^[16]たとえば、ダンカン（1986）は名義型に関して 測定という言葉の使用に異議を唱え、ルース（1997）はスティーブンスの測定の定義に同意しなかった。

一方、スティーブンス (1975) は、測定の独自の定義について、「割り当ては、どんな一貫した規則でも良い。唯一許されない規則は、ランダム割り当てである。ランダム性は、事実上、非規則に等しいからである」と述べている。ハンドは、「心理学の基礎テキストは、スティーブンスの枠組みから始まることが多く、その考え方はいたるところに見られる。実際、彼の階層構造の本質的な健全性は、数学者によって表現測定のために確立されており、経験的システムから実数連続体へのマッピングの不変性特性を決定している。確かに、その考え方は改訂、拡張、および詳細化されてきたが、注目すべき点は、彼が利用できる比較的限られた正式な装置と、彼がそれを考案してから何十年も経過していることを考えると、彼の洞察力である」と述べている。^[17]

順序型の中心傾向の尺度として平均値を使用することは、スティーブンスの類型論を受け入れる人々の間では依然として議論の的となっている。いずれにせよ、多くの行動科学者は順序データに平均値を使用している。これは、行動科学における順序型が実際には真の順序型と間隔型の中間にあるという根拠に基づいて正当化されることが多い。2 つの順序ランク間の間隔の差は一定ではないが、多くの場合、同じ桁数である。

たとえば、教育の分野で測定モデルを適用すると、評価の範囲全体にわたって、合計スコアが測定値とかなり線形の関係にあることがしばしば示されます。したがって、順序尺度ランク間の未知の間隔差があまり変動しない限り、平均などの間隔尺度統計を順序尺度変数に有意義に使用できると主張する人もいます。SPSS などの統計分析ソフトウェアでは、ユーザーが各変数に対して適切な測定クラスを選択する必要があります。これにより、その後のユーザー エラーによって、無意味な分析 (名目レベルの変数との相関分析など) が誤って実行されることがなくなります。

LL サーストンは、比較判断の法則に基づいて、間隔型を求める正当性の開発に向けて進歩を遂げました。この法則の一般的な応用は、階層分析プロセスです。さらに進歩したのは、評価の合計スコアなどの観察数から間隔レベルの測定値を取得するための理論的根拠と正当性を提供する 確率的ラッシュ モデルを開発したゲオルクラッシュ(1960) です。

スティーブンスの類型論以外にも類型論が提案されている。例えば、モステラーとテューキー（1977）、ネルダー（1990）^[18]は、連続カウント、連続比率、カウント比率、データのカテゴリモードについて説明した。クリスマン（1998）、ヴァンデンベルグ（1991）も参照。^[19]

モステラーとテューキー^[4]は、4つのレベルが網羅的ではないことを指摘し、次のように提案した。

1. 名前
2. レベル（初級、中級、上級などの順序付けられたラベル）
3. 順位（1 が最小または最大、2 が次に小さいまたは大きい、という順序）
4. 数えられた分数（0と1で区切られる）
5. カウント（負でない整数）
6. 金額（負でない実数）
7. 残高（任意の実数）

例えば、パーセンテージ（モステラー・テューキーの枠組みにおける分数のバリエーション）はスティーブンスの枠組みにうまく適合しない。つまり、いかなる変換も完全には許容されない。^[16]

ニコラス・R・クリスマン^[5]は、従来の測定レベルの概念に必ずしも適合しないさまざまな測定を説明するために、測定レベルの拡張リストを導入しました。範囲と繰り返しに制限された測定（円内の度数、時計の時間など）、段階的なメンバーシップカテゴリ、およびその他のタイプの測定は、スティーブンスの元の研究に適合しないため、6つの新しい測定レベルが導入され、合計10のレベルになりました。

1. 名目
2. 会員の階層化
3. 序数
4. 間隔
5. ログ間隔
6. 拡張比率
7. 循環比率
8. 派生比率
9. カウント
10. 絶対

拡張された測定レベルは学術的な地理学以外ではほとんど使用されていないと主張する人もいるが、^{[20]段階的メンバーシップは}ファジー集合論の中心であり、絶対測定には確率とデンプスター・シェーファー理論における妥当性と無知が含まれる。周期的な比率測定には角度と時間が含まれる。カウントは比率測定のように見えるが、スケールは任意ではなく、小数カウントは一般に意味をなさない。対数間隔測定は、株式市場のグラフでよく表示される。これらのタイプの測定はすべて学術的な地理学以外で一般的に使用されており、スティーブンスの元の研究にはあまり適合しない。

尺度タイプの理論は、スティーブンスの「測定の操作理論」の知的従者であり、この理論は心理学と行動科学において決定的なものとなったが^、ミッシェルはこれを自然科学における測定とはまったく^{相容れない}ものと特徴づけた (Michell, 1999)。本質的に、測定の操作理論は、心理学と行動科学における真の科学的測定の可能性を調査するために 1932 年に英国科学振興協会によって設立された委員会の結論に対する反応であった^。この委員会は後にファーガソン委員会として知られるようになり、最終報告書 (ファーガソン他、1940、p. 245) を発表したが、その中でスティーブンスのソーン尺度 (Stevens & Davis、1938) は批判の対象となった。

…感覚の強さと刺激の強さの間の量的関係を表現すると主張する法則は、感覚に適用される加法の概念に意味が与えられない限り、単に間違っているだけでなく、実際には無意味です。

つまり、スティーブンスのソーン尺度が聴覚感覚の強さを本当に測定しているのであれば、そのような感覚が量的な属性であるという証拠を提示する必要があった。必要な証拠は、ドイツの数学者オットー・ヘルダー(Hölder, 1901)が包括的に扱った概念である加法的構造の存在であった。物理学者で測定理論家のノーマン・ロバート・キャンベルがファーガソン委員会の審議を支配していたことから、委員会は、連結操作がないため社会科学における測定は不可能であると結論付けた。この結論は、後にデブリュー (1960) とルース & テューキー (1964) による結合測定理論の発見によって誤りであることが証明された。しかし、スティーブンスの反応は、感覚における加法的構造の存在をテストする実験を行うことではなく、新しい測定理論を提案してファーガソン委員会の結論を無効にすることであった。

NR Campbell (最終報告書、p.340) を言い換えると、測定は、最も広い意味では、規則に従って物体や出来事に数値を割り当てることとして定義されると言えます (Stevens、1946、p.677)。

スティーブンスは、ハーバード大学のもう一人の学者であるノーベル物理学者パーシー・ブリッジマン（1927）^{[21]の考えに大きく影響を受けており、スティーブンスはブリッジマンの測定を定義するために}操作主義の教義を用いた。例えば、スティーブンスの定義では、長さ（測定対象）が測定可能である（したがって、暗黙的に定量的である）と定義するのは巻尺の使用である。操作主義の批評家は、操作主義が2つの対象またはイベントの関係を、対象またはイベントのいずれかの特性と混同していると批判している。^{[22] [23]}（モイヤー、1981a、b; ロジャーズ、1989）。

カナダの測定理論家ウィリアム・ローズブームは、スティーブンスの尺度類型理論に対する初期の鋭い批判者であった。^[24]

もう一つの問題は、同じ変数であっても、測定方法や分析の目的によって異なる尺度タイプになる場合があることです。たとえば、髪の色は順序が明確でないため、通常は名目変数と考えられています。^[25]ただし、色相などさまざまな方法で色（髪の色を含む）を順序付けることは可能です。これは比色測定法として知られています。色相は間隔レベル変数です。

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