直線性

数学では、 「線形」という用語は、2 つの異なる特性を表す 2 つの異なる意味で使用されます。

• 関数（またはマッピング）の線形性。
• 多項式の線形性。

線形関数の例としては、実数直線をユークリッド平面R ²上の原点を通る直線に写像する関数が定義される。変数とにおける線形多項式の例は、${\displaystyle f(x)=(ax,bx)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle aX+bY+cZ+d.}$

マッピングの線形性は比例性と密接に関係しています。物理学における例としては、導電体における電圧と電流の線形関係(オームの法則) や、質量と重量の関係が挙げられます。対照的に、速度と運動エネルギーの関係など、より複雑な関係は非線形です。

複数の次元の関数に一般化されると、線形性とは、加算およびスケーリングと互換性がある関数の特性を意味し、重ね合わせ原理としても知られています。

多項式の線形性とは、その次数が 2 未満であることを意味します。多項式にこの用語が使用されるのは、1 つの変数の多項式のグラフが直線であるという事実に由来します。「線形方程式」という用語では、この単語は関係する多項式の線形性を指します。

のような関数は引数が線形多項式で定義されるため、「線形関数」と呼ばれることもあり、引数と関数値の関係は「線形関係」と呼ばれることもあります。これは混乱を招く可能性がありますが、通常は文脈から意図された意味が明らかになります。 ${\displaystyle f(x)=ax+b}$

「線形」という単語はラテン語の linearis （「線に関連する、または線に似ている」） に由来します。

数学において、線型写像または線型関数 f ( x )は、次の2つの性質を満たす関数である: ^[1]

• 加法性: f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y )。
• 1次同次性:すべてのαに対して、 f (α x ) = α f ( x ) 。

これらの特性は重ね合わせの原理として知られています。この定義では、x は必ずしも実数である必要はなく、一般に任意のベクトル空間の要素になることができます。線型写像の定義と一致しない、より特殊な線型関数の定義が初等数学で使用されています (以下を参照)。

加法性のみから有理数αの同次性が導かれます。これは、数学的帰納法によって任意の自然数nに対して が成り立ち、次に が成り立つためです。実数における有理数の密度から、任意の加法連続関数は任意の実数 α に対して同次であることがわかり、したがって線形になります。 ${\displaystyle f(x+x)=f(x)+f(x)}$${\displaystyle f(nx)=nf(x)}$ ${\displaystyle nf(x)=f(nx)=f(m{\tfrac {n}{m}}x)=mf({\tfrac {n}{m}}x)}$${\displaystyle f({\tfrac {n}{m}}x)={\tfrac {n}{m}}f(x)}$

線形性の概念は、線形演算子に拡張できます。線形演算子 の重要な例としては、微分演算子とみなされる導関数や、それから構成されるdelやラプラシアンなどの他の演算子が挙げられます。微分方程式を線形形式で表現できる場合、一般に方程式を小さな部分に分割し、各部分を解いて解を合計することで解くことができます。

上記の定義とは異なる用法では、 1次の多項式は線形であると言われます。これは、その形式の関数のグラフが直線であるためです。^[2]

実数上では、線形方程式の簡単な例は次のように表されます。

${\displaystyle y=mx+b\ }$

ここで、m は傾きまたは勾配と呼ばれることが多く、b はy切片と呼ばれ、関数のグラフとy軸の交点を示します。

線形という用語のこの用法は、上のセクションのものとは異なることに注意してください。これは、実数上の線形多項式は一般に加法性も同次性も満たさないためです。実際、定数項 (例では b) が 0 に等しい場合にのみ、加法性も同次性も満たします。b ≠ 0の場合、関数はアフィン関数と呼ばれます(より一般的な意味ではアフィン変換を参照してください)。

線形代数は、線形方程式の体系を扱う数学の分野です。

ブール代数において、線形関数とは、次のような関数が存在する関数である。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in \{0,1\}}$

${\displaystyle f(b_{1},\ldots ,b_{n})=a_{0}\oplus (a_{1}\land b_{1})\oplus \cdots \oplus (a_{n}\land b_{n})}$、 どこ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}\in \{0,1\}.}$

の場合、上記の関数は線形代数ではアフィン関数（つまり線形ではない）と見なされる ことに注意してください。${\displaystyle a_{0}=1}$

ブール関数は、関数の真理値表で次のいずれかが成り立つ場合、線形です。

1. 関数の真理値がTであるすべての行には、引数に割り当てられた T の数が奇数個あり、関数がFであるすべての行には、引数に割り当てられた T の数が偶数個あります。具体的には、f (F, F, ..., F) = Fであり、これらの関数はブールベクトル空間上の線型写像に対応します。
2. 関数の値が T であるすべての行には、関数の引数に割り当てられる T の数が偶数個あります。また、関数の真理値がF であるすべての行には、引数に割り当てられる T の数が奇数個あります。この場合、f (F, F, ..., F) = T です。

これを別の方法で表現すると、各変数は常に演算の 真理値に違いをもたらすか、まったく違いをもたらさないかのどちらかになります。

否定、論理的二条件、排他的論理和、トートロジー、および矛盾は線形関数です。

物理学において、線形性は多くのシステムを支配する微分方程式の特性であり、例えばマクスウェル方程式や拡散方程式などがこれにあたります。^[3]

同次微分方程式の線形性とは、2 つの関数fとgが方程式の解である場合、任意の線形結合 af + bgも方程式の解であることを意味します。

計測機器において、線形性とは、入力変数の特定の変化が計測機器の出力に同じ変化をもたらすことを意味します。これは科学研究において非常に望ましいことです。一般に、計測機器は特定の範囲で線形に近く、その範囲内で最も役立ちます。対照的に、人間の感覚は非常に非線形です。たとえば、脳は、光子の絶対しきい値を超えない限り、入射光を完全に無視します。

直線運動は直線の軌道を描きます。

電子工学において、トランジスタなどのデバイスの線形動作領域は、出力従属変数（トランジスタのコレクタ電流など）が入力従属変数（ベース電流など）に正比例する領域です。これにより、アナログ出力が入力を正確に表し、通常は振幅が大きくなります（増幅されます）。線形機器の典型的な例は、波形を変えずに信号を増幅する必要がある高忠実度 オーディオアンプです。その他には、線形フィルタや、一般的な線形アンプがあります。

数学的応用とは異なり、ほとんどの科学技術の分野では、特性がほぼ直線であるが正確には直線ではない場合に、線形であると説明されることがあります。また、線形性は特定の動作領域内でのみ有効です。たとえば、高忠実度アンプは小さな信号を歪ませることがあります。ただし、その歪みは許容できる程度に小さいものです (許容できるが不完全な線形性)。また、入力が特定の値を超えると、非常にひどく歪むことがあります。^[4]

ある量を別の量に変換する電子装置（またはその他の物理装置）について、バートラム・S・コルツは次のように書いている。^{[5] [6]}

一般的に使用されている積分直線性には、独立直線性、ゼロベース直線性、およびターミナルまたはエンドポイント直線性の 3 つの基本的な定義があります。いずれの場合も、直線性は、指定された動作範囲にわたるデバイスの実際のパフォーマンスが直線にどれだけ近似しているかを定義します。直線性は通常、理想的な直線からの偏差または非線形性として測定され、フルスケールのパーセント、またはフルスケールの ppm (百万分の一) で表されます。通常、直線はデータの最小二乗近似を実行することで得られます。3 つの定義は、実際のデバイスのパフォーマンスに対して直線が配置される方法が異なります。また、これら 3 つの定義はすべて、実際のデバイスのパフォーマンス特性に存在する可能性のあるゲインまたはオフセット エラーを無視します。

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• ウィクショナリーの線形性の辞書定義