剛体変換

数学において、剛体変換（ユークリッド変換またはユークリッド等長変換とも呼ばれる）は、あらゆる点のペア間のユークリッド距離を保存するユークリッド空間の幾何学的変換である。 ^{[1] [自費出版ソース] [2] [3]}

剛体変換には、回転、平行移動、反射、またはこれらの任意のシーケンスが含まれます。反射は、ユークリッド空間内のオブジェクトの利き手も保存する必要があるため、剛体変換の定義から除外されることがあります。(反射では利き手は保存されません。たとえば、左手が右手に変換されます。) 曖昧さを避けるために、利き手を保存する変換は、剛体運動、ユークリッド運動、または適切な剛体変換と呼ばれます。

2次元では、剛体運動は並進運動か回転運動のいずれかです。3次元では、すべての剛体運動は回転と並進運動の組み合わせとして分解できるため、回転並進運動と呼ばれることもあります。3次元では、すべての剛体運動はねじれ運動でもあります（これはシャスルの定理です）。

最大 3 次元では、不適切な剛体変換は、不適切な回転とそれに続く平行移動、または反射のシーケンスに分解できます。

どのオブジェクトも、適切な剛体変換後は 同じ形状とサイズを維持します。

すべての剛体変換は、アフィン変換の例です。すべての（適切なおよび不適切な）剛体変換の集合は、ユークリッド群と呼ばれる数学的な群であり、n次元ユークリッド空間ではE( n )と表記されます。剛体運動の集合は特殊ユークリッド群と呼ばれ、 SE( n )と表記されます。

運動学では、3次元ユークリッド空間における剛体運動は剛体の変位を表すために使用されます。シャスルの定理によれば、すべての剛体変換はねじ運動として表現できます。

剛体変換は、任意のベクトルvに作用したときに、次の形式の 変換されたベクトルT ( v )を生成する変換として正式に定義されます。

ここで、R ^T = R ⁻¹（つまり、Rは直交変換）、tは原点の移動を与えるベクトルです。

適切な剛体変換は、さらに、

これは、 R が反射を生成しないことを意味します。したがって、回転(方向を保存する直交変換) を表します。実際、直交変換行列が反射を生成する場合、その行列式は -1 です。

変換が厳密であることを確認するには、点間の距離の尺度、つまりメトリックが必要です。 R ⁿのユークリッド距離の公式は、ピタゴラスの定理を一般化したものです。この公式は、2 つの点XとY の間の距離の 2 乗を、座標軸に沿った距離の 2 乗の合計として与えます。つまり、 X = ( X ₁、X ₂、...、X _n )およびY = ( Y ₁、Y ₂、...、Y _n ) であり、ドットはスカラー積を表します。 $${\displaystyle d\left(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} \right)^{2}=\left(X_{1}-Y_{1}\right)^{2}+\left(X_{2}-Y_{2}\right)^{2}+\dots +\left(X_{n}-Y_{n}\right)^{2}=\left(\mathbf {X} -\mathbf {Y} \right)\cdot \left(\mathbf {X} -\mathbf {Y} \right).}$$

この距離公式を用いると、剛体変換g  : Rn → Rn^は次の性質を持つ。 $${\displaystyle d(g(\mathbf {X} ),g(\mathbf {Y} ))^{2}=d(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )^{2}.}$$

ベクトル空間の平行移動は、空間内のすべてのベクトルにベクトルdを追加するため、変換となる。

変換されたベクトル間の距離が元のベクトル間の距離に等しいことを示すことによって、これが剛体変換であることを示すのは簡単です。 $${\displaystyle d(\mathbf {v} +\mathbf {d} ,\mathbf {w} +\mathbf {d} )^{2}=(\mathbf {v} +\mathbf {d} -\mathbf {w} -\mathbf {d} )\cdot (\mathbf {v} +\mathbf {d} -\mathbf {w} -\mathbf {d} )=(\mathbf {v} -\mathbf {w} )\cdot (\mathbf {v} -\mathbf {w} )=d(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )^{2}.}$$

ベクトル空間の線型変換L  : Rn → Rn^は線型結合を^保存する。 線型変換Lは行列で表すことができ、これは $${\displaystyle L(\mathbf {V} )=L(a\mathbf {v} +b\mathbf {w} )=aL(\mathbf {v} )+bL(\mathbf {w} ).}$$

ここで[ L ]はn × n行列である。

線形変換は、次の 条件を満たす場合、固定変換です。 ここで、 2 つのベクトルv . wのスカラー積は、行列演算v ^T wとして表すことができ、T は行列の転置を表すため、 次の式が得られます 。したがって、線形変換L は、その行列が次の条件を満たす場合、固定変換です 。 ここで、[ I ] は単位行列です。この条件を満たす行列は、直交行列と呼ばれます。 この条件では、実際にこれらの行列の列が直交単位ベクトルである必要があります。 $${\displaystyle d([L]\mathbf {v} ,[L]\mathbf {w} )^{2}=d(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )^{2},}$$$${\displaystyle d([L]\mathbf {v} ,[L]\mathbf {w} )^{2}=([L]\mathbf {v} -[L]\mathbf {w} )\cdot ([L]\mathbf {v} -[L]\mathbf {w} )=([L](\mathbf {v} -\mathbf {w} ))\cdot ([L](\mathbf {v} -\mathbf {w} )).}$$$${\displaystyle d([L]\mathbf {v} ,[L]\mathbf {w} )^{2}=(\mathbf {v} -\mathbf {w} )^{\mathsf {T}}[L]^{\mathsf {T}}[L](\mathbf {v} -\mathbf {w} ).}$$$${\displaystyle [L]^{\mathsf {T}}[L]=[I],}$$

この条件を満たす行列は、行列乗算の演算によって、n×n行列の直交群と呼ばれる数学的群を形成し、O ( n )と表記されます。

直交行列の条件の行列式を計算して、 行列[ L ] の行列式が +1 または -1 のいずれかになることを示します。行列式が -1 の直交行列は反射であり、行列式が +1 の直交行列は回転です。直交行列の集合は、特異行列の集合によって分離された R ^{n × nの 2 つの多様体で構成されていると見なすことができることに注意してください。}$${\displaystyle \det \left([L]^{\mathsf {T}}[L]\right)=\det[L]^{2}=\det[I]=1,}$$

回転行列の集合は特殊直交群と呼ばれ、SO( n )と表記される。これは多様体の構造を持つため、 リー群の例である。

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