モジュール準同型

代数学において、加群準同型とは、加群構造を保存する加群間の関数である。具体的には、 MとN が環R上の左加群である場合、関数は${\displaystyle f:M\to N}$は、 Mの任意のx、yとRのrに対して、 R -加群準同型またはR -線形写像と呼ばれます。

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y),}$

${\displaystyle f(rx)=rf(x).}$

言い換えれば、fは（基礎となる加法群に対する）スカラー乗法と可換な群準同型である。M 、N が右R加群である場合、2 番目の条件は次のように置き換えられる。

${\displaystyle f(xr)=f(x)r.}$

fによる零要素の逆像はfの核と呼ばれる。MからNへのすべての加群準同型の集合は、で表される。${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$これは（点ごとの加法に関して）アーベル群ですが、 Rが可換でない限り必ずしも加群ではありません。

モジュール準同型の合成もまたモジュール準同型であり、モジュール上の恒等写像もモジュール準同型です。したがって、すべての（例えば左の）モジュールとそれらの間のすべてのモジュール準同型は、モジュールのカテゴリを形成します。

加群準同型写像は、逆準同型写像を持つ場合、加群同型写像と呼ばれます。特に、それは全単射です。逆に、全単射な加群準同型写像は同型写像であることを示すことができます。つまり、その逆写像は加群準同型写像です。特に、加群準同型写像が同型写像であるのは、それが基礎となるアーベル群間の同型写像である場合に限ります。

同型定理は加群準同型に対して成り立つ。

加群Mからそれ自身への加群準同型写像を自己準同型写像と呼び、 Mからそれ自身への同型写像を自己準同型写像と呼ぶ。${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(M)=\operatorname {Hom} _{R}(M,M)}$加群Mのすべての自己準同型の集合を表す。これはアーベル群であるだけでなく、関数合成によって乗法が与えられる環でもあり、Mの自己準同型環と呼ばれる。この環の単元群は、 Mの自己同型群である。

シュールの補題によれば、単純加群（非自明な部分加群を持たない加群）間の準同型写像は、ゼロ写像か同型写像のいずれかでなければならない。特に、単純加群の自己準同型環は除法環である。

圏論の用語では、単射準同型は単射準同型とも呼ばれ、全射準同型は全射準同型とも呼ばれる。

• すべての要素をゼロに写像するゼロ写像M → N。
• ベクトル空間間の線形変換。
• ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n,\mathbb {Z} /m)=\mathbb {Z} /\operatorname {gcd} (n,m)}$。
• 可換環RとイデアルI、Jに対して、標準的な同一視が存在する。

  ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R/I,R/J)=\{r\in R|rI\subset J\}/J}$

によって与えられた${\displaystyle f\mapsto f(1)}$。 特に、${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R/I,R)}$は、 Iの消滅者です。

• 環Rと要素rが与えられたとき、${\displaystyle l_{r}:R\to R}$左乗算をrで表す。すると、R の任意のs、tに対して、

  ${\displaystyle l_{r}(st)=rst=l_{r}(s)t}$。

つまり、${\displaystyle l_{r}}$正しいR線形です。

• 任意の環Rに対して、
  • ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)=R}$R をそれ自身上の右加群とみなした場合、環として表される。具体的には、この同型は左正則表現によって与えられる。${\displaystyle R{\overset {\sim }{\to }}\operatorname {End} _{R}(R),\,r\mapsto l_{r}}$。
  • 同様に、$\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)=R^{op}}$Rをそれ自身に対する左加群とみなした場合、それらは環として表されます。教科書やその他の参考文献では、通常、どちらの表記法が用いられているかが明記されています。
  • ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R,M)=M}$を通して${\displaystyle f\mapsto f(1)}$任意の左加群Mに対して。^{[ 1 ]} （ここで Hom 上の加群構造は、 R上の右R作用から来ています。下記の#Hom 上の加群構造を参照してください。）
  • ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,R)}$はMの双対加群と呼ばれ、M がR上のR作用から得られる加群構造を持つR上の右加群 (または左加群) である場合、それは左加群 (または右加群) である。 は で表される。${\displaystyle M^{*}}$。
• 可換環の環準同型R → SとS加群Mが与えられたとき、R線形写像 θ: S → Mは、S内の任意のf、gに対してθ( fg ) = f θ( g ) + θ( f ) gが成り立つ場合、導分と呼ばれる。
• S、Tが環R上の単位元を持つ結合代数である場合、SからTへの代数準同型写像は、環準同型写像であり、かつR加群準同型写像でもある。

要するに、Hom はHom を形成するために使用されなかった環作用を継承する。より正確には、MとNを左R加群とする。Mが、R作用と可換な環Sの右作用を​​持つと仮定する。すなわち、Mは ( R , S ) 加群である。すると、

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$

は、 SのsとMのxに対して、左S加群の構造を持つ。

${\displaystyle (s\cdot f)(x)=f(xs).}$

それは明確に定義されています（つまり、${\displaystyle s\cdot f}$R線形であるため

${\displaystyle (s\cdot f)(rx)=f(rxs)=rf(xs)=r(s\cdot f)(x),}$

そして${\displaystyle s\cdot f}$リングアクションなので

${\displaystyle (st\cdot f)(x)=f(xst)=(t\cdot f)(xs)=s\cdot (t\cdot f)(x)}$。

注：上記の検証は、右Sアクションの代わりに左Rアクションを使用した場合、「失敗」します。この意味で、HomはRアクションを「使い果たす」とよく言われます。

同様に、Mが左R加群でNが ( R , S ) 加群である場合、${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$は右Sモジュールである${\displaystyle (f\cdot s)(x)=f(x)s}$。

線形代数における行列と線形変換の関係は、自由加群間の加群準同型に自然な形で一般化される。具体的には、右R加群Uが与えられたとき、アーベル群の標準的な同型が存在する。

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(U^{\oplus n},U^{\oplus m}){\overset {f\mapsto [f_{ij}]}{\underset {\sim }{\to }}}M_{m,n}(\operatorname {End} _{R}(U))}$

閲覧によって得られた${\displaystyle U^{\oplus n}}$列ベクトルから構成され、f をm × n行列として記述します。特に、R を右R加群とみなし、${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)\simeq R}$1つは

${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq M_{n}(R)}$、

これは環同型であることが判明しました（合成は行列の乗算に対応するため）。

上記の同型写像は正準であり、選択は不要であることに注意してください。一方、有限ランクの自由加群間の加群準同型写像が与えられた場合、順序付き基底の選択は同型写像の選択に対応します。${\displaystyle F\simeq R^{n}}$上記の手順により、基底の選択に応じた行列表現が得られます。より一般的なモジュールの場合、行列表現は一意性を欠くか、あるいは存在しない場合があります。

実際には、モジュール準同型は生成集合上の値を指定することによって定義されることが多い。より正確には、MとNを左R加群とする。部分集合SがMを生成すると仮定する。すなわち、全射が存在する。${\displaystyle F\to M}$基底がSでインデックス付けされ、核がKである自由モジュールFを持つ(つまり、自由表示がある)。次に、モジュール準同型を与える${\displaystyle M\to N}$モジュール準同型を与える${\displaystyle F\to N}$これはKを消滅させる（つまり、Kをゼロにマッピングする）。

もし${\displaystyle f:M\to N}$そして${\displaystyle g:M'\to N'}$がモジュール準同型である場合、それらの直和は

${\displaystyle f\oplus g:M\oplus M'\to N\oplus N',\,(x,y)\mapsto (f(x),g(y))}$

そしてそれらのテンソル積は

${\displaystyle f\otimes g:M\otimes M'\to N\otimes N',\,x\otimes y\mapsto f(x)\otimes g(y).}$

させて${\displaystyle f:M\to N}$左モジュール間のモジュール準同型とする。fのグラフΓ f_は、 M ⊕ Nの部分モジュールであり、次式で与えられる。

${\displaystyle \Gamma _{f}=\{(x,f(x))|x\in M\}}$、

これは、グラフ準同型と呼ばれるモジュール準同型M → M ⊕ N、x → ( x、f ( x ))の像です。

fの転置は​

${\displaystyle f^{*}:N^{*}\to M^{*},\,f^{*}(\alpha )=\alpha \circ f.}$

fが同型写像である場合、 fの逆写像の転置はfの反比例と呼ばれます。

モジュール準同型の列を考える

${\displaystyle \cdots {\overset {f_{3}}{\longrightarrow }}M_{2}{\overset {f_{2}}{\longrightarrow }}M_{1}{\overset {f_{1}}{\longrightarrow }}M_{0}{\overset {f_{0}}{\longrightarrow }}M_{-1}{\overset {f_{-1}}{\longrightarrow }}\cdots .}$

このようなシーケンスは、各構成要素がゼロである場合、鎖複合体（または単に複合体）と呼ばれます。${\displaystyle f_{i}\circ f_{i+1}=0}$または同等に、${\displaystyle f_{i+1}}$核に含まれる${\displaystyle f_{i}}$（数が減少するのではなく増加する場合は、コチェイン複体と呼ばれます。例：ド・ラーム複体。）鎖複体は、次の場合に完全数列と呼ばれます。${\displaystyle \operatorname {im} (f_{i+1})=\operatorname {ker} (f_{i})}$完全数列の特殊なケースとして、短完全数列がある。

$\displaystyle 0\to A\overset {f}{\to }}B\overset {g}{\to }}C\to 0}$

どこ${\displaystyle f}$は単射であり、${\displaystyle g}$は${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$は全射である。

任意のモジュール準同型${\displaystyle f:M\to N}$正確なシーケンスを定義する

${\displaystyle 0\to K\to M{\overset {f}{\to }}N\to C\to 0,}$

どこ${\displaystyle K}$は核心です${\displaystyle f}$、 そして${\displaystyle C}$は余核、つまり の商です${\displaystyle N}$イメージによって${\displaystyle f}$。

可換環上の加群の場合、列が完全であるのは、それがすべての極大イデアルで完全である場合に限る。つまり、すべての列が完全である。

${\displaystyle 0\to A_{\mathfrak {m}}{\overset {f}{\to }}B_{\mathfrak {m}}{\overset {g}{\to }}C_{\mathfrak {m}}\to 0}$

添え字は正確で、${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$最大理想値での局在化を意味する${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$。

もし${\displaystyle f:M\to B,g:N\to B}$モジュール準同型である場合、ファイバー正方形（またはプルバック正方形）を形成すると言われ、 M × _B Nと表記される。

${\displaystyle 0\to M\times _{B}N\to M\times N{\overset {\phi }{\to }}B\to 0}$

どこ${\displaystyle \phi (x,y)=f(x)-g(x)}$。

例:${\displaystyle B\subset A}$は可換環であり、I を商B加群A / B ( Aのイデアル)の零化イデアルとする。このとき、標準写像は${\displaystyle A\to A/I,B/I\to A/I}$繊維の正方形を形成する${\displaystyle B=A\times _{A/I}B/I.}$

させて${\displaystyle \phi :M\to M}$可換環Rの有限生成R加群間の自己準同型とする。

• ${\displaystyle \phi }$Mの生成元に関する特性多項式によって殺される。中山の補題#証明を参照。
• もし${\displaystyle \phi }$全射であれば、単射である。^{[ 2 ]}

参照：ヘルブランド商（これは、いくつかの有限性条件を満たす任意の自己準同型写像に対して定義できる。）

加法関係${\displaystyle M\to N}$モジュールMからモジュールNへの変換は、${\displaystyle M\oplus N.}$^{[ 3 ]}言い換えれば、それはMの何らかの部分加群上で定義された多値。逆写像は${\displaystyle f^{-1}}$fのサブモジュールは${\displaystyle \{(y,x)|(x,y)\in f\}}$任意の加法関係f は、 Mの部分加群からNの商加群への準同型写像を決定する。

${\displaystyle D(f)\to N/\{y|(0,y)\in f\}}$

どこ${\displaystyle D(f)}$Mのすべての要素xから成り、( x , y ) はNのあるyに対してfに属する。

スペクトル系列から生じる違反は、加法関係の一例である。

• 写像錐（ホモロジー代数）
• スミス正規形
• 連鎖複合体
• ペアリング