非線形システム

数学や科学において、非線形システム（または非線形システム）とは、出力の変化が入力の変化に比例しないシステムのことです。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}非線形問題は、ほとんどのシステムが本質的に非線形であるため、エンジニア、生物学者、^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}物理学者、^{[ 6 ] [ 7 ]}数学者、その他多くの科学者にとって興味深いものです。^{[ 8 ]}時間の経過に伴う変数の変化を記述する非線形力学系は、はるかに単純な線形システムとは対照的に、混沌としていて予測不可能、または直感に反するように見えることがあります。

一般的に、非線形システムの挙動は、数学では非線形方程式系によって記述されます。非線形方程式系とは、未知数（微分方程式の場合は未知関数）が1次より高い次数の多項式の変数として、または1次多項式ではない関数の引数として現れる連立方程式の集合です。言い換えれば、非線形方程式系では、解くべき方程式は、そこに現れる未知変数または関数の線形結合として表すことはできません。方程式に既知の線形関数が現れるかどうかに関わらず、システムは非線形として定義できます。特に、微分方程式は、未知関数とその導関数に関して線形であれば、たとえ他の変数に関して非線形であっても、線形です。

非線形力学方程式は解くのが難しいため、非線形システムは一般的に線形方程式で近似されます（線形化）。これは入力値のある精度と範囲まではうまく機能しますが、ソリトン、カオス[ ^{9 ]}、特異点などの興味深い現象は線形化によって隠されてしまいます。したがって、非線形システムの動的挙動のいくつかの側面は、直感に反したり、予測不可能であったり、カオス的であったりするように見えることがあります。このようなカオス的挙動はランダムな挙動に似ているかもしれませんが^、実際にはランダムではありません。たとえば、天気のいくつかの側面はカオス的であると見なされており、システムの1つの部分の単純な変化が全体に複雑な影響をもたらします。この非線形性は、現在の技術では正確な長期予報が不可能な理由の1つです。

非線形システムの研究を指す用語として「非線形科学」という用語を用いる著者もいるが、この用語には異論もある。

「非線形科学」といった用語を使うのは、動物学の大部分を「ゾウ以外の動物の研究」と呼ぶようなものだ。

数学では、線形写像（または線形関数）${\displaystyle f(x)}$これは、以下の2つの性質を両方とも満たすものです。

• 加法性または重ね合わせの原理：${\displaystyle \textstyle f(x+y)=f(x)+f(y);}$
• 均質性：${\displaystyle \textstyle f(\alpha x)=\alpha f(x).}$

加法性は、任意の有理数αに対して同次性を意味し、連続関数においては、任意の実数αに対して同次性を意味します。複素数αの場合、加法性から同次性は導かれません。例えば、反線形写像は加法的ですが同次性はありません。加法性と同次性の条件は、重ね合わせの原理においてしばしば組み合わされます。 $${\displaystyle f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)}$$

次のように書かれた方程式 $${\displaystyle f(x)=C}$$

線形と呼ばれるのは、${\displaystyle f(x)}$は（上記で定義したように）線形写像であり、それ以外の場合は非線形である。の場合、方程式は同次であると呼ばれる。${\displaystyle C=0}$そして${\displaystyle f(x)}$は同次関数である。

定義${\displaystyle f(x)=C}$それは非常に一般的で${\displaystyle x}$は任意の妥当な数学的対象（数値、ベクトル、関数など）であり、関数は${\displaystyle f(x)}$は、関連する制約（境界値など）を伴う積分や微分を含む、文字通りあらゆるマッピングになり得ます。${\displaystyle f(x)}$に関しての差異を含む${\displaystyle x}$その結果は微分方程式になります。

非線形方程式系とは、複数の変数に関する方程式の集合であり、そのうち少なくとも1つは線形方程式ではない。

単一の方程式の形式は${\displaystyle f(x)=0,}$多くの方法が考案されている。根探索アルゴリズムを参照のこと。fが多項式の場合、次のような 多項式方程式が得られる。${\displaystyle x^{2}+x-1=0.}$一般的な根探索アルゴリズムは多項式の根にも適用できますが、通常はすべての根を見つけることはできません。また、根が見つからなかった場合でも、根が存在しないとは限りません。多項式に特化した手法を用いることで、すべての根、あるいは実根を見つけることができます。詳しくは「実根の分離」を参照してください。

多項式方程式の連立方程式を解くこと、つまり複数の変数を持つ複数の多項式の共通零点を見つけることは難しい問題であり、 Gröbner基底アルゴリズムなどの精巧なアルゴリズムが設計されている。^{[ 11 ]}

複数の微分可能な関数をゼロに等しいとおくことで得られる連立方程式の一般的な場合、主な解法はニュートン法とその派生法である。これらの方法は一般的に解を与えることができるが、解の数に関する情報は提供しない。

非線形漸化式は、数列の連続する項を先行する項の非線形関数として定義します。非線形漸化式の例としては、ロジスティック写像や、さまざまなホフスタッター数列を定義する関係式などがあります。幅広い非線形漸化式を表す非線形離散モデルには、NARMAX（外生入力付き非線形自己回帰移動平均）モデルや、関連する非線形システム同定および解析手順などがあります。^{[ 12 ]}これらのアプローチは、時間、周波数、および時空間領域における幅広い複雑な非線形挙動を研究するために使用できます。

微分方程式系が線形方程式系でない場合、その系は非線形であると言われます。非線形微分方程式を扱う問題は非常に多様であり、解法や解析方法は問題によって異なります。非線形微分方程式の例としては、流体力学におけるナビエ・ストークス方程式や、生物学におけるロトカ・ボルテラ方程式などが挙げられます。

非線形問題の最大の難点の1つは、既知の解を組み合わせて新しい解を構築することが一般的に不可能であることです。例えば、線形問題では、重ね合わせの原理を用いて、線形独立な解の族から一般解を構築することができます。その好例が、ディリクレ境界条件を持つ1次元熱輸送問題です。この問題の解は、異なる周波数の正弦波の時間依存線形結合として表すことができ、非常に柔軟な解が得られます。非線形方程式には、多くの場合、非常に具体的な解が複数存在しますが、重ね合わせの原理がないため、新しい解を構築することはできません。

ペンデュラ

古典的で広く研究されている非線形問題の一つに、重力の影響下にある摩擦のない振り子の運動力学がある。ラグランジュ力学を用いると、振り子の運動は無次元の非線形方程式 で記述できることが示される^{[ 14 ] 。}$$\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\sin(\theta )=0}$$

重力が「下向き」を指し、${\displaystyle \theta }$は、右図に示すように、振り子が静止位置と形成する角度です。この方程式を「解く」ための1つのアプローチは、${\displaystyle d\theta /dt}$統合因子として、最終的には $$\displaystyle \int {\frac {d\theta }{\sqrt {C_{0}+2\cos(\theta )}}}=t+C_{1}}$$

これは楕円積分を含む暗黙の解です。この「解」は、解の性質のほとんどが非初等積分（非初等積分でない限り）に隠されているため、一般的にはあまり用途がありません。${\displaystyle C_{0}=2}$)

この問題に取り組む別の方法は、テイラー展開によって、関心のあるさまざまな点における非線形項（この場合は正弦関数項）を線形化することです。たとえば、${\displaystyle \theta =0}$小角近似と呼ばれるものは、 $${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\theta =0}$$

以来${\displaystyle \sin(\theta )\approx \theta }$のために$\displaystyle \theta \approx 0}$これは、振り子が軌道の最下点付近で振動する単純な調和振動子です。別の線形化は次のようになります。${\displaystyle \theta =\pi }$振り子が真上を向いている状態に対応します。 $${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\pi -\theta =0}$$

以来${\displaystyle \sin(\theta )\approx \pi -\theta }$のために${\displaystyle \theta \approx \pi }$この問題の解決策は双曲線正弦波を用いるものであり、小角近似とは異なり、この近似は不安定であることに注意してください。${\displaystyle |\theta |}$通常は際限なく増大するが、有界な解も存在する。これは振り子を垂直に立てることの難しさに相当し、文字通り不安定な状態である。

もう一つ興味深い線形化は、${\displaystyle \theta =\pi /2}$周囲には$\displaystyle \sin(\theta )\approx 1$: $$\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+1=0.}$$

これは自由落下問題に相当する。右図に示すように、このような線形化を組み合わせることで、振り子の運動に関する非常に有用な定性的な図を得ることができる。他の手法を用いて、（正確な）位相図や近似周期を求めることも可能である。

• 振幅の消失– システム内に存在するあらゆる振動が、他のシステムとの何らかの相互作用、または同じシステムからのフィードバックによって停止する。
• カオス– システムの値は将来にわたって無限に予測することはできず、変動は非周期的である。
• 多安定性– 2つ以上の安定状態が存在すること
• ソリトン– 自己強化する孤立波
• リミットサイクルとは、不安定化した固定点が引き寄せられる漸近的な周期軌道のことである。
• 自己振動― 開放型散逸物理系で発生するフィードバック振動。

• 指揮統制研究プログラム（CCRP）
• ニューイングランド複雑系研究所：複雑系の概念
• MITのオープンコースウェアにおける非線形力学I：カオス
• 非線形モデルライブラリ（ 2008年12月19日、 Wayback Machineにアーカイブ済み） –（MATLAB形式）物理システムのデータベース 
• ロスアラモス国立研究所の非線形研究センター