変換行列

しかし、成分が対角行列を形成する演算子には特別な基底があり、したがって乗算の複雑さはnに減少します。対角であるということは、すべての係数が${\displaystyle a_{i,j}}$を除外する${\displaystyle a_{i,i}}$ゼロなので、和には1つの項だけが残ります${\textstyle \sum a_{i,j}\mathbf {e} _{i}}$上記。残存する対角要素、${\displaystyle a_{i,i}}$は固有値として知られ、で表されます。${\displaystyle \lambda _{i}}$定義方程式では、これは次のように簡略化されます。${\displaystyle A\mathbf {e} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {e} _{i}}$結果として得られる方程式は固有値方程式として知られています。^{[ 5 ]}固有値と固有ベクトルは、特性多項式を介してそこから導出されます。

対角化を用いることで、固有基底との間で変換を行うことがしばしば可能となる。

xy平面における伸縮とは、特定の方向におけるすべての距離を定数倍に拡大する線形変換であり、垂直方向の距離には影響を与えません。ここでは、x軸とy軸に沿った伸縮のみを考えます。x軸に沿った伸縮は、正の定数kを用いて、 x' = kx、y' = yの形をとります。（k > 1の場合、これは厳密には「伸縮」であり、k < 1の場合は厳密には「圧縮」ですが、ここではやはり伸縮と呼びます。また、k = 1 の場合は、この変換は恒等変換であり、つまり何の影響も及ぼしません。）

x軸に沿って 係数kだけ伸縮させた場合の行列は、次のように表されます。$${\displaystyle {\begin{bmatrix}k&0\\0&1\end{bmatrix}}}$$

同様に、 y軸に沿って係数kだけ伸縮すると、 x' = x ; y' = kyの形になるため、この変換に関連付けられた行列は次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&k\end{bmatrix}}}$$

上記の2つのストレッチを逆数と組み合わせると、変換行列はスクイーズマッピングを表します。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}k&0\\0&1/k\end{bmatrix}}.}$$ 軸に平行な辺を持つ正方形は、正方形と同じ面積を持つ長方形に変換される。この相互的な伸縮によって、面積は変化しない。

原点を中心として反時計回り（正の方向）に角度θだけ回転する場合、関数形式は次のようになります。${\displaystyle x'=x\cos \theta -y\sin \theta }$そして${\displaystyle y'=x\sin \theta +y\cos \theta }$行列形式で書くと次のようになります。^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$$

同様に、原点を中心とした時計回り（負の方向）の回転の場合、関数形式は次のようになります。${\displaystyle x'=x\cos \theta +y\sin \theta }$そして${\displaystyle y'=-x\sin \theta +y\cos \theta }$行列形式は次のとおりです。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$$

これらの式は、x軸が右方向、y軸が上方向を指していることを前提としています。

せん断マッピング（視覚的には傾斜マッピングに似ている）には、2つの方法があります。

x軸に平行なせん断は${\displaystyle x'=x+ky}$そして${\displaystyle y'=y}$行列形式で表すと、次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&k\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$$

y軸に平行なせん断は${\displaystyle x'=x}$そして${\displaystyle y'=y+kx}$これは行列形式である。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\k&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$$

原点を通る直線についての考察では、${\displaystyle \mathbf {l} =(l_{x},l_{y})}$を直線の方向の ベクトルとする。すると、変換行列は次のようになる。$${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{\lVert \mathbf {l} \rVert ^{2}}}{\begin{bmatrix}l_{y}^{2}-l_{x}^{2}&2l_{x}l_{y}\\2l_{x}l_{y}&l_{x}^{2}-l_{y}^{2}\end{bmatrix}}}$$

3次元では、${\displaystyle \mathbf {l} =(l_{x},l_{y},l_{z})}$変換行列は次のとおりです。

$${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{\lVert \mathbf {l} \rVert ^{2}}}{\begin{bmatrix}l_{y}^{2}+l_{z}^{2}-l_{x}^{2}&2l_{x}l_{y}&2l_{x}l_{z}\\2l_{y}l_{x}&l_{x}^{2}+l_{z}^{2}-l_{y}^{2}&2l_{y}l_{z}\\2l_{z}l_{x}&2l_{z}l_{y}&l_{x}^{2}+l_{y}^{2}-l_{z}^{2}\end{bmatrix}}}$$

原点を通る直線にベクトルを直交投影するには、${\displaystyle \mathbf {u} =(u_{x},u_{y})}$を直線の方向の ベクトルとする。すると、変換行列は次のようになる。$${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{\lVert \mathbf {u} \rVert ^{2}}}{\begin{bmatrix}u_{x}^{2}&u_{x}u_{y}\\u_{x}u_{y}&u_{y}^{2}\end{bmatrix}}}$$

鏡映と同様に、原点を通らない直線への直交射影は、線形変換ではなくアフィン変換である。

平行投影も線形変換であり、行列で簡単に表現できます。しかし、透視投影はそうではなく、これらを行列で表現するには同次座標を用いる必要があります。

単位ベクトル( x , y , z )で定義される任意の軸を中心に角度θだけ回転させる行列は[ ^{7 ]である。}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}xx(1-\cos \theta )+\cos \theta &yx(1-\cos \theta )-z\sin \theta &zx(1-\cos \theta )+y\sin \theta \\xy(1-\cos \theta )+z\sin \theta &yy(1-\cos \theta )+\cos \theta &zy(1-\cos \theta )-x\sin \theta \\xz(1-\cos \theta )-y\sin \theta &yz(1-\cos \theta )+x\sin \theta &zz(1-\cos \theta )+\cos \theta \end{bmatrix}}.}$$

平面を通して点を反射させる${\displaystyle ax+by+cz=0}$（原点を通る）${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {I} -2\mathbf {NN} ^{\mathrm {T} }}$、 どこ${\displaystyle \mathbf {I} }$は 3×3 の単位行列であり、${\displaystyle \mathbf {N} }$^は、平面の法線ベクトルの3次元単位ベクトルです。L 2ノルムが${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、 そして${\displaystyle c}$が1の場合、変換行列は次のように表すことができます。 $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1-2a^{2}&-2ab&-2ac\\-2ab&1-2b^{2}&-2bc\\-2ac&-2bc&1-2c^{2}\end{bmatrix}}}$$

これらは、 2次元および3次元におけるハウスホルダー反射の特殊なケースであることに注意してください。原点を通らない直線または平面に関する反射は線形変換ではなく、アフィン変換です。4×4のアフィン変換行列として、次のように表すことができます（法線ベクトルが単位ベクトルであると仮定します）。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-2a^{2}&-2ab&-2ac&-2ad\\-2ab&1-2b^{2}&-2bc&-2bd\\-2ac&-2bc&1-2c^{2}&-2cd\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\\1\end{bmatrix}}}$$ どこ${\displaystyle d=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {N} }$ある時点で${\displaystyle \mathbf {p} }$飛行機の中、またはそれと同等に、${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$。

ベクトルの第4成分が1ではなく0の場合、ベクトルの方向のみが反転し、大きさは変化しません。これは、原点を通る平行平面で鏡像反転した場合と同様です。この性質は、位置ベクトルと法線ベクトルの両方を同じ行列で変換できるため、非常に有用です。詳細については、下記の同次座標とアフィン変換の項を参照してください。

アフィン変換を行列で表現するには、同次座標を用いることができます。これは、2次元ベクトル ( x , y ) を3次元ベクトル ( x , y , 1) で表現することを意味し、高次元の場合も同様です。このシステムを用いると、平行移動は行列乗算で表現できます。関数形式${\displaystyle x'=x+t_{x};y'=y+t_{y}}$になる: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&t_{x}\\0&1&t_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}}.}$$

通常の線形変換はすべてアフィン変換の集合に含まれ、アフィン変換の簡略化された形式として記述できます。したがって、任意の線形変換は一般変換行列によっても表現できます。後者は、対応する線形変換行列を1行1列拡張し、右下隅を除いて余白をゼロで埋めることで得られます。右下隅は1に設定する必要があります。たとえば、上記の反時計回り回転行列は次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$

同次座標を含む変換行列を使用すると、並進は線形になり、他のすべてのタイプの変換とシームレスに混在させることができます。その理由は、実平面が実射影空間のw = 1平面にマッピングされるため、実ユークリッド空間での並進は実射影空間でのせん断として表現できるからです。並進は、デカルト座標で記述される 2 次元または 3 次元ユークリッド空間では非線形変換ですが (つまり、可換性やその他の特性を維持しながら他の変換と組み合わせることはできません)、同次座標で記述される 3 次元または 4 次元射影空間では、単純な線形変換 (せん断)になります。

2つ以上のアフィン変換を組み合わせることで、さらに多くのアフィン変換を得ることができます。例えば、ベクトルを持つ並進T'が与えられた場合${\displaystyle (t'_{x},t'_{y}),}$反時計回りに角度θだけ回転R 、係数によるスケーリングS${\displaystyle (s_{x},s_{y})}$そしてベクトルの並進T${\displaystyle (t_{x},t_{y}),}$T'RSTの結果Mは次のとおりです: ^{[ 8 ]}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}s_{x}\cos \theta &-s_{y}\sin \theta &t_{x}s_{x}\cos \theta -t_{y}s_{y}\sin \theta +t'_{x}\\s_{x}\sin \theta &s_{y}\cos \theta &t_{x}s_{x}\sin \theta +t_{y}s_{y}\cos \theta +t'_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$

アフィン変換を用いる場合、座標ベクトルの同次成分（通常はwと呼ばれる）は決して変化しません。したがって、同次成分は常に1であると安全に仮定し、無視することができます。しかし、透視投影を用いる場合はそうではありません。

3Dコンピュータグラフィックスにおいて重要なもう一つの変換方式は、透視投影です。平行投影は、点を平行線に沿って画像平面上に投影するのに対し、透視投影は、投影中心と呼ばれる一点から発する線に沿って点を画像平面上に投影します。つまり、オブジェクトが投影中心から遠いほど投影は小さくなり、近いほど投影は大きくなります（逆関数も参照）。

最も単純な透視投影では、原点を投影の中心とし、平面を${\displaystyle z=1}$画像平面として。この変換の関数形式は次のようになります。${\displaystyle x'=x/z}$;${\displaystyle y'=y/z}$これを同次座標で表すと次のように なります。$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{c}\\y_{c}\\z_{c}\\w_{c}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\y\\z\\z\end{bmatrix}}}$$

行列乗算を実行した後、同次成分${\displaystyle w_{c}}$の値と等しくなります${\displaystyle z}$そして他の３つは変化しません。したがって、実平面にマッピングするには、各コンポーネントをで割ることによって同次除算または透視除算を実行する必要があります。${\displaystyle w_{c}}$: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\\1\end{bmatrix}}={\frac {1}{w_{c}}}{\begin{bmatrix}x_{c}\\y_{c}\\z_{c}\\w_{c}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x/z\\y/z\\1\\1\end{bmatrix}}}$$

より複雑な透視投影は、この投影法に回転、拡大縮小、平行移動、せん断を組み合わせることで、画像平面と投影中心を任意の位置に移動させて作成できます。