拡張行列

線形代数において、拡大行列${\displaystyle (A\vert B)}$は${\displaystyle k\times (n+1)}$行列は、${\displaystyle k}$次元列ベクトル${\displaystyle B}$右側には、さらに列を追加して${\displaystyle k\times n}$次元行列${\displaystyle A}$これは通常、拡大行列に対して同じ基本行操作を実行する目的で行われます。${\displaystyle (A\vert B)}$オリジナルで行われているように ${\displaystyle A}$ガウス消去法で連立一次方程式を解く場合。

例えば、行列が与えられた場合${\displaystyle A}$列ベクトル${\displaystyle B}$、 どこ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&0&1\\5&2&2\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}4\\3\\1\end{bmatrix}},}$$ 拡張行列${\displaystyle (A\vert B)}$は $${\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&3&2&4\\2&0&1&3\\5&2&2&1\end{array}}\right].}$$

特定の数に対して${\displaystyle n}$未知数のシステムに対する解の数${\displaystyle k}$線形方程式は係数行列のランクのみに依存する${\displaystyle A}$システムと対応する拡張行列のランクを表す${\displaystyle (A\vert B)}$コンポーネント${\displaystyle B}$右側を構成する${\displaystyle k}$連続する線形方程式。ルーシェ・カペリの定理によれば、任意の線形方程式系は

${\displaystyle AX=B}$

（どこ${\displaystyle X=(x_{1},\dots ,x_{n})^{T}}$は${\displaystyle n}$拡大行列のランクが、システムの未知数である成分列ベクトルが矛盾している（解がない）場合${\displaystyle (A\vert B)}$係数行列のランクよりも大きい${\displaystyle A}$一方、これら2つの行列のランクが等しい場合、システムは少なくとも1つの解を持つ。解が一意となるのは、ランクが変数の数と等しい場合のみである。${\displaystyle n}$そうでなければ、一般解は次のようになります。${\displaystyle j}$自由パラメータ${\displaystyle j}$変数の数の違い${\displaystyle n}$そしてランク。このような場合、この差に等しい次元のアフィン空間の解が存在する。

非特異正方行列の逆行列${\displaystyle A}$寸法${\displaystyle n\times n}$を付加することで見つけることができます${\displaystyle n\times n}$単位行列${\displaystyle \mathbf {I} }$の右側${\displaystyle A}$形成する${\displaystyle n\times 2n}$次元拡張行列${\displaystyle (A\vert \mathbf {I} )}$左辺を変換するために基本行操作を適用する${\displaystyle n\times n}$ブロックを単位行列に${\displaystyle \mathbf {I} }$右手${\displaystyle n\times n}$ブロックは逆行列である${\displaystyle A^{-1}}$

させて${\displaystyle A}$2×2の正方行列とする $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3\\-5&0\end{bmatrix}}.}$$

逆関数を見つけるには${\displaystyle A}$拡大行列を作成する${\displaystyle (A\vert \mathbf {I} _{2})}$どこ$\displaystyle \mathbf {I} _{2}}$ は$2×2$単位行列。次に、${\displaystyle (A\vert \mathbf {I} _{2})}$対応する${\displaystyle A}$基本行操作を使用して単位行列に変換します。${\displaystyle (A\vert \mathbf {I} _{2})}$。 $${\displaystyle (A\vert \mathbf {I} _{2})=\left[{\begin{array}{cc|cc}1&3&1&0\\-5&0&0&1\end{array}}\right]}$$$${\displaystyle (I|A^{-1})=\left[{\begin{array}{cc|cc}1&0&0&-{\frac {1}{5}}\\0&1&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{15}}\end{array}}\right],}$$ その右側は逆数である${\displaystyle A^{-1}}$。

連立方程式を考えてみましょう $${\displaystyle {\begin{aligned}x+y+2z&=2\\x+y+z&=3\\2x+2y+2z&=6.\end{aligned}}}$$

係数行列は $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&2\\1&1&1\\2&2&2\\\end{bmatrix}},}$$ そして拡大行列は $${\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&1&2&2\\1&1&1&3\\2&2&2&6\end{array}}\right].}$$

これら2つのランクはどちらも2なので、少なくとも1つの解が存在します。また、ランクは未知数の数（3）よりも小さいので、解は無限に存在します。

対照的に、システムを考えてみましょう $${\displaystyle {\begin{aligned}x+y+2z&=3\\x+y+z&=1\\2x+2y+2z&=5.\end{aligned}}}$$

係数行列は $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&2\\1&1&1\\2&2&2\\\end{bmatrix}},}$$ そして拡大行列は $${\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&1&2&3\\1&1&1&1\\2&2&2&5\end{array}}\right].}$$

この例では、係数行列のランクは2ですが、拡大行列のランクは3です。そのため、この連立方程式には解がありません。実際、線形独立な行の数が増えたことで、連立方程式は矛盾が生じています。

線形代数で使用されるように、拡大行列は各方程式セットの係数と解ベクトルを表すために使用されます。方程式セットの場合、 $${\displaystyle {\begin{aligned}x+2y+3z&=0\\3x+4y+7z&=2\\6x+5y+9z&=11\end{aligned}}}$$ 係数と定数項から行列が得られます $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\3&4&7\\6&5&9\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}0\\2\\11\end{bmatrix}},}$$ そして拡大行列を与える $${\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&2&3&0\\3&4&7&2\\6&5&9&11\end{array}}\right].}$$

係数行列のランクは3であり、これは拡大行列のランクと等しいので、少なくとも1つの解が存在します。また、このランクは未知数の数と等しいので、解はちょうど1つ存在します。

解を得るには、拡大行列に対して行操作を実行して左側に単位行列を得ると、 $${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|r}1&0&0&4\\0&1&0&1\\0&0&1&-2\\\end{array}}\right],}$$ したがって、このシステムの解は( x , y , z ) = (4, 1, −2)です。

• マーカス、マービン；ミンク、ヘンリク（1992）。行列理論と行列不等式の概説。ドーバー高等数学シリーズ。ニューヨーク：ドーバー出版。31 ページ。ISBN 978-0-486-67102-4。