棒状結石

棒計算法は、中国で戦国時代から明代にかけて、棒を使ってアルゴリズム計算を行う機械的な方法であったが、棒はより便利で高速なそろばんにとって代わられるようになっていった。棒計算法は、宋代と元代に最高潮に達する中国数学の発展に重要な役割を果たし、朱世傑の著作で最大4つの未知数を持つ多項式方程式が発明された。

棒計算を行うための基本的な道具は、棒の束と計算板です。棒は通常、長さ約 12 ～ 15 cm、直径 2 ～ 4 mm の竹の棒で作られていますが、動物の骨や象牙、翡翠 (裕福な商人用) で作られることもあります。計算板は、テーブル トップ、格子付きまたは格子なしの木の板、床または砂の上に置かれた板などです。

1971年、中国の考古学者は、山西省前陽県の漢王朝前半（紀元前206年～紀元後8年）の墓から、絹袋に収められた保存状態の良い動物の骨の数え棒の束を発掘した。^{[引用が必要]} 1975年には、竹の数え棒の束が発掘された。^{[引用が必要]}

棒計算のための棒の使用は戦国時代に盛んでしたが、西漢（漢代前半）以前の考古学的遺物は発見されていません。しかし、考古学者は戦国時代に遡る棒計算のソフトウェア遺物を発掘しています。棒計算ソフトウェアは棒計算ハードウェアと並行して存在していたはずなので、2,200年以上前の戦国時代にはすでに棒計算が盛んであったことは間違いありません。

棒計算に必要な主要なソフトウェアは、古代から中国で使用されていた「九九表」と呼ばれる、単純な 45 句の位置付けの 10 進法の掛け算表であり、生徒、商人、政府役人、数学者などが同様に暗記していました。

棒数字は、10 進法の任意の数字または分数を表すために単一の記号の異なる配置の組み合わせを使用する唯一の数値システムです。一の位の数字の場合、すべての垂直棒は 1 を表します。2 本の垂直棒は 2 を表し、5 本の垂直棒は 5 を表すというように続きます。6 から 9 までの数字の場合、垂直棒の上にある水平棒が 5 を表す25 進法が使用されます。最初の行は棒数字の 1 から 9 までの数字で、2 行目は同じ数字が水平形式で表示されます。

9 より大きい数字には、10 進法が使用されます。一の位の 1 つ左側に置かれた棒は、その数字の 10 倍を表します。百の位の場合は、その数字の 100 倍を表す別の棒のセットが左側に配置され、以下同様に続きます。次の画像に示すように、231 という数字は、上段の棒数字で表され、一の位の 1 つの棒は 1 を表し、十の位の 3 つの棒は 30 を表し、百の位の 2 つの棒は 200 を表し、合計は 231 になります。

計算をする際には、通常、表面に方眼紙はありません。棒数字の2、3、1を縦書きで連続して置くと、隣の画像の2、3行目に示すように、51や24と間違えられる可能性があります。混乱を避けるために、連続する数字は縦と横を交互に置き、単位は縦書きで置きます（^[1]、右下段）。

ロッド数字では、ゼロはスペースで表され、数字としてもプレースホルダー値としても機能します。ヒンドゥー・アラビア数字とは異なり、ゼロを表す特定の記号はありません。表記ゼロが導入される前は、単位がないことを示すスペースに加えて、後続の単位列の文字は90°回転して、単一のゼロの曖昧さを減らしていました。^[2]たとえば、107 (𝍠 𝍧) と 17 (𝍩𝍧) は、スペースに加えて回転によって区別されますが、ゼロ単位が複数あると、たとえば 1007 (𝍩 𝍧) と 10007 (𝍠 𝍧) のように曖昧さが生じる可能性があります。次の画像では、数字のゼロは単にスペースで表されています。

宋の数学者は、正の数を赤で表し、負の数を黒で表しました。しかし、別の方法として、数が負であることを示すために最後の桁にスラッシュを追加することがあります。^[3]

孫子の『算数論』では小数法が採用されていた。長さの単位は1カイであった。

1 chi = 10 cun、1 cun = 10 fen、1 fen = 10 li、1 li = 10 hao、10 hao = 1 shi、1 shi = 10 hu。

1 chi 2 cun 3 fen 4 li 5 hao 6 shi 7 hu は、数え板に次のように配置されます。

ここで、単位はchiです。

南宋時代の数学者秦九紹は、計量学以外にも小数の使用を拡張した。著書『九部数学論』の中で、彼は1.1446154日を次のように正式に表現した。

日

彼はその部隊の下に「日」という文字を記した。^[4]

棒計算は加算の原理に基づいて機能します。アラビア数字とは異なり、棒で表される数字は加算特性を持っています。加算のプロセスでは、加算表を記憶する必要なく、棒を機械的に動かします。これがアラビア数字との最大の違いです。1と2を機械的に組み合わせて3にしたり、2と3を機械的に組み合わせて5にしたりすることはできません。

隣の図は、3748 に 289 を加算する手順を示しています。

1. 被加数3748 を最初の行に置き、加数289 を 2 番目の行に置きます。
2. まず 289 のうちの 2 から、左から右へ計算します。
3. 下から棒を 2 本取り除き、上の 7 本を加えて 9 にします。
4. 2 本の棒を上から下の 8 まで動かし、1 を繰り上げて 9 まで進めます。9 は 0 になり、3 まで繰り上げて 4 を作り、下の行から 8 を取り除きます。
5. 上段の 8 から下の 9 に棒を 1 本移動して次の列に 1 つ繰り上げ、上段の 2 本の棒に棒を 1 本追加して棒を 3 本にし、上段の左は 7 にします。
6. 結果 3748+289=4037

加数側の棒は加算中に変化しますが、下部の加数側の棒は「消えます」。

借り入れが必要ない場合は、減数から減数にある棒の数を取るだけで済みます。計算の結果は差です。次の図は、54 から 23 を引く手順を示しています。

4231-789 のように借用が必要な状況では、より複雑な手順を使用する必要があります。この例の手順は左側に示されています。

1. 被減数 4231 を上に置き、減数 789 を下に置きます。左から右へ計算します。
2. 100 の位の 10 を 1000 の位から借りて、下の行から 7 を引いて、その差の 3 を上の 2 に加えて 5 を作ります。下の 7 は減算され、スペースで示されます。
3. 百の位から 1 を借りて、残りは 4 です。十の位の 10 から下の 8 を引くと 2 になり、それを上の 3 に加えて 5 になります。これで、上の行は 3451、下の行は 9 になります。
4. 上の十の位の5から1を借りて、4になります。十の位から借りた1は一の位の10であり、9を引くと1になり、これが上の列に加えて2になります。下の列のすべての棒を引くと、上の列の3442が計算の結果になります。

孫子算経は乗算のアルゴリズムを詳細に説明しています。左は 38×76 を計算する手順です。

1. 被乗数を上に、乗数を下に置きます。乗数の 1 の位を被乗数の最も高い位に合わせます。中央に記録用のスペースを残します。
2. 被乗数の最も高い桁から計算を開始します (例では、30×76 を計算し、次に 8×76 を計算します)。九九を使うと、3 掛ける 7 は 21 です。21 を中央の棒に置き、1 を乗数の 10 の位 (7 の上) に合わせます。次に、3 掛ける 6 は 18 なので、図に示すように 18 を置きます。被乗数の 3 がすべて掛け合わされたら、棒を取り外します。
3. 乗数を 1 つ右に移動します。7 を水平形式に、6 を垂直形式に変更します。
4. 8×7 = 56 なので、56 を 2 行目の中央に配置します。単位の位置は、乗数で掛け算される数字と揃えます。すでに掛け算されているので、乗数から 7 を取ります。
5. 8×6 = 48、最後のステップの 6 に 4 を加えると 10 になり、1 を繰り上げます。被乗数の 1 の位から 8 を引き、乗数の 1 の位から 6 を引きます。
6. 中央の 2380 と 508 を合計すると、積は 2888 になります。

左のアニメーションは計算手順を示しています。309/7⁠ = 44 ⁠1/7⁠ .

1. 被除数 309 を中央の行に置き、除数 7 を下の行に置きます。上段の行にスペースを残します。
2. 除数 7 を 1 つ左に移動して、水平形式に変更します。
3. 中国の九九と割り算を使用すると、30÷7 は 4 余り 2 になります。商 4 を一番上の行に置き、余り 2 を真ん中の行に置きます。
4. 除数を右に1つ移動し、縦書きにします。29÷7は4余り1です。商4を上に置き、除数はそのままにします。この手順では、剰余を被除数の代わりに中央の行に置きます。結果は、商は44、余りは1です。

孫子の除算アルゴリズムは、 825 年にインドの文献からフワーリズミーによってイスラム諸国に完全に伝わりました。フワーリズミーの著書は 13 世紀にラテン語に翻訳され、孫子の除算アルゴリズムは後にヨーロッパでガレー船の除算に発展しました。アブール・ハサン・アル・ウクリディシの 925 年の著書「Kitab al-Fusul fi al-Hisab al-Hindi」と 11 世紀のクシュヤール・イブン・ラバンの「Principles of Hindu Reckoning」に記載されている除算アルゴリズムは孫子の除算アルゴリズムと同一でした。

位取り十進法の割り算で余りがある場合、余りと除数は両方とも重ねて置かなければなりません。劉徽の九章算書（紀元前2世紀）の注釈では、上の数字は「実」（実）、下の数字は「法」（法）と呼ばれています。孫子算経では、上の数字は「子」（実）または「分子」（分数の息子）、下の数字は「母」（分数の母）または「分母」と呼ばれています。分子と分母は、それぞれ分子と分母の現代中国語名でもあります。右に示すように、1は分子の余り、7は分母の除数で、分数を形成します⁠1/7⁠ . 割り算の商⁠309/7⁠ は44 + ⁠1/7⁠ . 劉徽は『海道算経』の中で分数を使った計算を多用した。

分子が上、分母が下にあり、間に横棒がないこの形式の分数は、825 年にアル・フワーリズミーがインド経由で書いた本でアラビア諸国に伝わり、10 世紀のアブール・ハサン・アル・ウクリディスィーと 15 世紀のジャムシード・アル・カーシーの著作「算術キー」 で使用されました。

⁠1/3⁠ + ⁠2/5⁠

• 分子1と2を計算盤の左側に置き、分母3と5を右側に置きます。
• 1 と 5、2 と 3 を掛け合わせて 5 と 6 を取得し、分子を対応する掛け算に置き換えます。
• 2つの分母を掛け合わせると3×5＝15となり、右下に置きます。
• 分子の 5 と 6 を足して 11 となり、これをカウントボードの右上に置きます。
• 結果: ⁠1/3⁠ + ⁠2/5⁠ = ⁠11/15⁠

⁠8/9⁠ − ⁠1/5⁠

• 計算盤の左側に分子1と8の棒数字を記入します。
• 分母5と9の棒を計算盤の右側に置きます
• 1 × 9 = 9、5 × 8 = 40を掛け算し、対応する分子を置き換えます。
• 分母を5×9 = 45で掛け、45を計算盤の右下に置き、分母5を置き換えます。
• 40 − 9 = 31 を引いて、右上に置きます。
• 結果: ⁠8/9⁠ − ⁠1/5⁠ = ⁠31/45⁠

3 ⁠1/3⁠ × 5 ⁠2/5⁠

• 3 個のカウントロッドを配置します。1/3⁠と 5 ⁠2/5⁠数え板に商、市、法の表形式で記入します。
• 商×ファを市に加える：3 × 3 + 1 = 10; 5 × 5 + 2 = 27
• shi×shi:10×27 = 270
• fa×fa:3×5=15
• shi を fa で割った値: 3 ⁠1/3⁠ × 5 ⁠2/5⁠ = 18

2 つの数値の最大公約数と分数の約数を求めるアルゴリズムは、九章算術で説明されています。最大公約数は、最後の 2 つの余りが同じになるまで、余りのある割り算を繰り返すことによって求められます。右のアニメーションは、 ⁠の最大公約数を求めるアルゴリズムを示しています。32,450,625/59,056,400⁠そして分数の約分。

この場合、hcf は 25 です。

分子と分母を25で割ります。約分数は⁠1,298,025/2,362,256⁠ .

暦学者で数学者の何承天は、「调日法」と呼ばれる分数補間法を用いて、分子と分母に「弱い」分数と「強い」分数を反復的に加算することで、従来のものよりも近似値を向上させた。 ^[5] 祖崇志の伝説的なπ = ⁠355/113⁠ は^{He Chengtianの方法[6]}で得られる

第8章 九章算術の長方形配列は消去法によって線形方程式を解くアルゴリズムを提供した：^[7]

問題 8-1: 最高品質の穀物 3 束、中品質の穀物 2 束、低品質の穀物 1 束があり、合計重量が 39 斗であるとします。また、それぞれの穀物が 2、3、1 束あり、合計は 34 斗です。また、それぞれの穀物が 1、2、3 束あり、合計は 26 斗です。

上質、中質、低質のシリアルの量を求めます。代数では、この問題は 3 つの未知数を持つ 3 つのシステム方程式で表すことができます。

${\displaystyle {\begin{cases}3x+2y+z=39\\2x+3y+z=34\\x+2y+3z=26\end{cases}}}$

この問題は、九章算術では、3x4 マトリックスに似た表形式で計数盤上に計数棒を配置することで解決されました。

アルゴリズム：

1. 中央の列と右の列の最高品質の数値を掛け合わせます。
2. 中央の列の上の数字が 0 になるまで、中央の列から右の列を繰り返し減算します。
3. 左の列の値を右の列の一番上の行の値で乗算します。
4. 左の列の上の数字が 0 になるまで、右の列から左の列を繰り返し減算します。
5. 上記の消去アルゴリズムを縮小された中央の列と左の列に適用すると、行列は三角形に縮小されました。

低品質のシリアル1束の量${\displaystyle ={\frac {99}{36}}=2{\frac {3}{4}}}$

ここから、最高級および中級品質のシリアル 1 束の量が簡単にわかります。

• 最高級シリアル1束＝9ドル${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$
• 中サイズのシリアル1束＝4ドル${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$

平方根を求めるアルゴリズムは『九章算書』に記載されており、用語に若干の違いはあるものの『孫子算経』にも記載されている。

このアニメーションは、『孫子算経』第 2 章第 19 問題にあるアルゴリズムから 平方根の近似値を抽出する棒計算アルゴリズムを示しています。${\displaystyle {\sqrt {234567}}\approx 484{\tfrac {311}{968}}}$

正方形の面積は234567なので、正方形の1辺を求めます。^[8]

アルゴリズムは次のとおりです。

• 234567を、上から2番目の列に「shi」と名付けて置きます。
• 4行目の10000の位置にxia faという名前のマーカー1を設定します。
• 平方根の最初の桁を数え棒数字の4と推定し、上段（商）の百の位に置きます。
• 商4と下法1を掛け合わせ、その積4を3行目に「方法」と記す。
• 商と方法を掛け合わせ、積 4x4=16 を市から引きます。23-16=7 となり、数字 7 が残ります。
• 方法4を2倍にして8にし、1つ右にシフトし、右に移動した後、縦の8を横の8に変更します。
• 夏法を2つ右に移動します。
• Shangの 2 番目の数字を 8 と推定します。数字 8 を最上段の 10 番目の位置に置きます。
• 下法に商の新しい数字を掛け、方法に加える

。

• 8 は 8 = 64 なので、最上段の数字「74」から 64 を引くと、最上位桁に 1 本の棒が残ります。
• ファングファ8の最後の桁を2倍し、80に足すと96になります。
• 牙法96を1つ右に移動して規則を変更します。夏法「1」を2つ右に移動します。
• Shangの 3 番目の数字は 4 であると推定します。
• 商4の新しい数字を下法1に掛け、方法と組み合わせて964を作ります。
• 4*9=36、4*6=24、4*4=16を順にshiから引くと、311が残る。
• ファングファの最後の数字4を8倍にしてファングファと結合します。
• 結果${\displaystyle {\sqrt {234567}}\approx 484{\tfrac {311}{968}}}$

北宋時代の数学者賈詡は、平方根を求めるための加法乗法アルゴリズムを開発しました。このアルゴリズムでは、従来の「方法」の「倍数化」を、 方法の数字に商の数字を追加することで置き換え、同じ効果が得られました。

九章算書第四巻「韶光」では、立方根の抽出アルゴリズムが紹介されている。

〔一九〕今有積一百八十六萬八百六十七尺。問為立方幾何?答辞：一百二十三尺。

問題 19: 1860867 立方カイがありますが、一辺の長さはいくらですか? 答え: 123 カイ。

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1860867}}=123}$

北宋時代の数学者賈詡は、立方根を求めるためのホーナー方式の簡略形に似た方法を発明しました。右のアニメーションは、賈詡が『九章算書』第 4 巻の問題 19 を解くアルゴリズムを示しています。

北宋時代の数学者賈詡は、次の形式の簡単な4次方程式を解くための ホーナー法を発明した。

${\displaystyle x^{4}=a}$

南宋時代の数学者秦九紹は賈仙のホーナー法を改良し、10次までの多項式方程式を解くことができるようにした。以下は、ホーナー法を解くアルゴリズムである。

${\displaystyle -x^{4}+15245x^{2}-6262506.25=0}$彼の『九部数学論文集』第6巻第2問題^[9]

この方程式は、表形式で計数棒を下から上に並べたものである。

アルゴリズム：

1. 係数を表形式で並べます。定数をshiに、xの係数をshang lianに、⁠ ⁠${\displaystyle x^{4}}$の係数をyi yuに配置します。数字を単位のランクに揃えます。
2. 上連二位に昇格
3. 易宇三位に昇格
4. 推定shang=20
5. 夏連 = 商 * 易宇
6. let fu lian=shang *yi yu
7. fu lianとshang lianを結合する
8. 牙＝商 * 商連
9. shiからshang*fangを引く
10. 下聯に尚一于を加える
11. Xia Lian 3 ランクを撤回、Yi Yu 4 ランクを撤回
12. 商の2桁目は0です
13. シャンリアンをファングに統合する
14. yi yuをxia lianに統合する
15. yi yuをfu lianに加え、その結果をfangから引き、その結果を分母とする
16. 最大公約数=25を見つけて分数を簡略化する${\displaystyle {\frac {32450625}{59056400}}}$
17. 解決${\displaystyle x=20{\frac {1298205}{2362256}}}$

元代の数学者李志は棒積分を天元書に発展させた。

例：『李志策源海経』第2巻、問題14、未知数が1つの方程式：

${\displaystyle -x^{2}-680x+96000=0}$

元

数学者朱世傑は棒状微積分をさらに発展させ、2 から 4 個の未知数を持つ多項式方程式を含めました。

たとえば、3 つの未知数を持つ多項式:

方程式1:${\displaystyle -yzy^{2}*x-x+xyz=0}$

太

方程式2:${\displaystyle -y-z+xx^{2​​}+xz=0}$

式3:${\displaystyle y^{2}-z^{2}+x^{2}=0;}$

太

2 つの未知数を順次消去すると、3 つの未知数を持つ多項式方程式は 1 つの未知数を持つ多項式方程式に簡約されます。

${\displaystyle x^{4}-6x^{3}+4x^{2}+6x-5=0}$

x=5を解きました。

他の 3 つの回答は無視され、2 つは重複しています。

• 中国の数学
• カウントロッド

• Lam Lay Yong (蓝丽蓉) Ang Tian Se (天洪赐)、Fleeting Footsteps、World Scientific ISBN 981-02-3696-4 
• ジャン・クロード・マルツロフ『中国数学の歴史』ISBN 978-3-540-33782-9