剛体動力学

剛体の三次元空間における向きを記述するための様々な手法が開発されてきた。それらを以下の節で概説する。

テイト・ブライアン角

これらは、ヨー、ピッチ、ロールとも呼ばれる3つの角度で、航法角とカルダン角とも呼ばれます。数学的には、これらは12通りのオイラー角の組のうち6通りの組み合わせを構成し、その順序は飛行機などの乗り物の向きを表すのに最適です。航空宇宙工学では、これらは通常オイラー角と呼ばれます。

三次元空間における剛体の運動を考察するためには、ニュートンの第二法則を拡張し、剛体の運動と、剛体に作用する力とトルクの系との関係を定義する必要がある。

ニュートンは粒子に関する第二法則を次のように定式化した。「物体の運動の変化は加えられた力に比例し、力が加えられた直線の方向に生じる。」^{[ 3 ]} ニュートンは一般的に質量と速度の積を粒子の「運動」と呼んだため、「運動の変化」という表現は粒子の質量と加速度の積を指し、したがってこの法則は通常次のように表記される。 $${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,}$$ ここで、Fは粒子に作用する唯一の外力、mは粒子の質量、aはその加速度ベクトルである。ニュートンの第二法則を剛体に拡張するには、剛体粒子系を考える必要がある。

N個の粒子 P _i、i=1,..., Nからなるシステムが剛体に組み立てられている場合、ニュートンの第 2 法則は、その剛体内の各粒子に適用できます。質量m _{iの粒子 P i}に作用する外力がF _iである場合、 $${\displaystyle \mathbf {F} _{i}+\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{ij}=m_{i}\mathbf {a} _{i},\quad i=1,\ldots ,N,}$$ ここで、F _{ijは粒子 P j}が粒子 P _iに作用する内部力であり、これらの粒子間の一定の距離を維持する力である。

これらの力の方程式を簡略化するために、剛体システムに作用する合力と合トルクを導入します。この合力と合トルクは、システム内の粒子の1つを基準点Rとして選択し、そこに各外力が関連するトルクを加えて加えられることで得られます。合力Fと合トルクTは次の式で与えられます。 $${\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {F} _{i},\quad \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{i},}$$ ここで、R _{iは粒子 P i}の位置を定義するベクトルである。

粒子に対するニュートンの第二法則は、これらの合力とトルクの公式と組み合わされて、次の式が得られる。 $${\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {a} _{i},\quad \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )\times (m_{i}\mathbf {a} _{i}),}$$ ここで、内部力F _{ij は}ペアで相殺される。剛体の運動学から、基準粒子の位置Rと加速度a、および剛体粒子系の角速度ベクトル ω と角加速度ベクトル α を用いて、粒子 P _{iの加速度を表す式が得られる。}$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}=\alpha \times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )+\omega \times (\omega \times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} ))+\mathbf {a} .}$$

剛体の質量特性は、その重心と慣性行列によって表されます。基準点Rを、以下の条件を満たすように 選択してください。$${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}m_{i}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )=0,}$$

それはシステムの重心として知られています。

基準点Rに対するシステムの慣性行列 [I _R ]は次のように定義される。 $${\displaystyle [I_{R}]=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left(\mathbf {I} \left(\mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{i}\right)-\mathbf {S} _{i}\mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}\right),}$$

どこ${\displaystyle \mathbf {S} _{i}}$は列ベクトルR _i − Rです。${\displaystyle \mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}}$は転置であり、${\displaystyle \mathbf {I} }$これは3×3の単位行列です。

${\displaystyle \mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{i}}$は、${\displaystyle \mathbf {S} _{i}}$それ自体と共に、${\displaystyle \mathbf {S} _{i}\mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}}$はテンソル積です${\displaystyle \mathbf {S} _{i}}$それ自体と。

重心と慣性行列を用いると、単一の剛体の力とトルクの方程式は次のようになる。 $${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,\quad \mathbf {T} =[I_{R}]\alpha +\omega \times [I_{R}]\omega ,}$$ これらは、剛体に対するニュートンの第二運動法則として知られています。

剛体B _i , j = 1, ..., Mの相互接続システムの動力学は、各剛体を分離し、相互作用力を導入することによって定式化される。各剛体に作用する外力と相互作用力の合力は、力-トルク方程式を与える。 $${\displaystyle \mathbf {F} _{j}=m_{j}\mathbf {a} _{j},\quad \mathbf {T} _{j}=[I_{R}]_{j}\alpha _{j}+\omega _{j}\times [I_{R}]_{j}\omega _{j},\quad j=1,\ldots ,M.}$$

ニュートンの定式化では、M個の剛体のシステムのダイナミクスを定義する6M個の方程式が得られます。 ^{[ 4 ]}

回転する物体は、トルクの影響を受けているか否かにかかわらず、歳差運動と章動の挙動を示すことがある。回転する固体物体の挙動を記述する基本方程式は、オイラーの運動方程式である。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {D\mathbf {L} }{Dt}}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {L} ={\frac {d(I{\boldsymbol {\omega }})}{dt}}+{\boldsymbol {\omega }}\times {I{\boldsymbol {\omega }}}=I{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times {I{\boldsymbol {\omega }}}}$$ ここで、擬似ベクトルτとLはそれぞれ物体にかかるトルクと角運動量、スカラーIは慣性モーメント、ベクトルωは角速度、ベクトルαは角加速度、Dは慣性座標系における微分、dは物体に固定された相対座標系における微分である。

トルクが加わらない場合のこの方程式の解については、「オイラーの運動方程式」および「ポアンソの楕円体」の記事で説明されています。

オイラーの式から、回転軸に垂直なトルクτ 、したがってLに垂直なトルクτを加えると、 τとLの両方に垂直な軸を中心とした回転が生じることがわかる。この運動を歳差運動と呼ぶ。歳差運動の角速度ΩP_は、次の外積で与えられる。$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\Omega }}_{\mathrm {P} }\times \mathbf {L} .}$$

歳差運動は、軸を水平にして片端を緩く（歳差運動方向に対して摩擦なく）支えたコマを置くことで実証できます。予想されるように落下するのではなく、軸のもう一方の端を支えずに放置すると、軸の自由端が水平面内でゆっくりと円を描き、結果として歳差運動が生じ、コマは軸を水平に保ったまま重力に逆らっているように見えます。この効果は上記の式で説明できます。コマにかかるトルクは、装置の重心に下向きに作用する重力と、装置の一方の端を支える上向きに作用する同じ大きさの力という2つの力によって発生します。このトルクによって生じる回転は、直感的に予想されるように下向きではなく、重力トルク（水平方向で回転軸に垂直）と回転軸（水平方向で支持点から外側）の両方に垂直な方向、つまり垂直軸を中心に回転し、装置が支持点を中心にゆっくりと回転します。

大きさτの一定トルクの下では、歳差運動の速度ΩP_は、その角運動量の大きさ Lに反比例する。$${\displaystyle \tau ={\mathit {\Omega }}_{\mathrm {P} }L\sin \theta ,}$$ ここで_、θはベクトルΩPとLの間の角度です。したがって、コマの回転が遅くなると（例えば摩擦によって）、角運動量が減少し、歳差運動の速度が増加します。これは、装置が自重を支えるのに十分な速さで回転できなくなるまで続き、歳差運動が停止して支持台から落下します。これは主に、歳差運動に対する摩擦によって別の歳差運動が発生し、それが落下を引き起こすためです。

慣例として、トルク、スピン、歳差運動というこれら３つのベクトルは、すべて右手の法則に従って互いに対して向き付けられている。

仕事は、各力とその接触点の変位との 内積から計算される。$${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}.}$$ 剛体の軌跡が一般化座標q _j、j = 1, ..., mの集合によって定義される場合、仮想変位δ r _{i は}次のように与えられる。 $${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}.}$$ 物体に作用するこの力系の仮想仕事は、一般化座標で表すと次のようになる。 $${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \left(\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{1}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)+\dots +\mathbf {F} _{n}\cdot \left(\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{n}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)}$$

またはδq _jの係数を収集する$${\displaystyle \delta W=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{1}}}\right)\delta q_{1}+\dots +\left(\sum _{1=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)\delta q_{m}.}$$

簡略化のため、回転角などの単一の一般化座標qで指定される剛体の軌跡を考えると、式は次のようになる。 $${\displaystyle \delta W=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial ({\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} )}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q.}$$

合力FとトルクTを導入すると、この方程式は次の形式になります。 $${\displaystyle \delta W=\left(\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} \cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q.}$$

量Qは次のように定義されます $${\displaystyle Q=\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} \cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}},}$$

は仮想変位 δq に関連する一般化力として知られています。この式は、複数の一般化座標で定義される剛体の動きに一般化されます。 $${\displaystyle \delta W=\sum _{j=1}^{m}Q_{j}\delta q_{j},}$$ どこ $${\displaystyle Q_{j}=\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}_{j}}}+\mathbf {T} \cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

重力やばねの力などの保存力は、ポテンシャルエネルギーとして知られるポテンシャル関数V ( q ₁ , ..., q _n )から導出できることに注意すると良いでしょう。この場合、一般化された力は次のように与えられます。 $${\displaystyle Q_{j}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

機械システムの剛体の静的平衡は、システムの任意の仮想変位に対して、加えられた力の仮想仕事がゼロであるという条件によって定義されます。これは仮想仕事の原理として知られています。^{[ 5 ]}これは、任意の仮想変位に対して一般化された力がゼロ、つまりQ _i =0 であるという要件と同等です。

機械システムがn 個の剛体 B _i、i = 1, ..., nから構成されているとし、各剛体に作用する力の合力を力-トルク対F _iおよびT _i、i = 1, ..., nとする。これらの作用力には、剛体が接続されている箇所での反力は含まれないことに注意してください。最後に、各剛体の速度V _iおよび角速度ω _i、i = 1, ..., n は、単一の一般化座標 q によって定義されると仮定します。このような剛体のシステムは、1自由度を持つと言われます。

この1自由度系に作用する 力とトルクF _iおよびT _{iの仮想仕事は、次式で与えられる。}$${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} _{i}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}_{i}}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q=Q\delta q,}$$ どこ $${\displaystyle Q=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} _{i}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}_{i}}{\partial {\dot {q}}}}\right),}$$ これは、この1自由度系に作用する一般化された力です。

機械システムがm個の一般化座標q _j、j = 1, ..., mで定義される場合、システムはm個の自由度を持ち、仮想仕事は次のように与えられる。 $${\displaystyle \delta W=\sum _{j=1}^{m}Q_{j}\delta q_{j},}$$ どこ $${\displaystyle Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}+\mathbf {T} _{i}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}_{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right),\quad j=1,\ldots ,m.}$$ は一般化座標q _jに関連付けられた一般化力です。仮想仕事の原理によれば、静的平衡は、システムに作用するこれらの一般化力がゼロ、つまり $${\displaystyle Q_{j}=0,\quad j=1,\ldots ,m.}$$

これらのm個の方程式は、剛体システムの静的平衡を定義する。

合力FとトルクTの作用を受けて運動する単一の剛体を考えます。自由度は一般化座標qで定義されます。合力とトルクの基準点が剛体の重心であると仮定すると、一般化座標qに関連付けられた一般化慣性力Q*は次のように与えられます。 $${\displaystyle Q^{*}=-(M\mathbf {A} )\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}-\left([I_{R}]{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }}\right)\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}}.}$$

この慣性力は、剛体の運動エネルギーから計算できます。 $${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}M\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} +{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }},}$$ 式を用いて $${\displaystyle Q^{*}=-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {\partial T}{\partial q}}\right).}$$

m個の一般化座標を持つn個の剛体 のシステムは、運動エネルギーを持つ。$${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}\left({\tfrac {1}{2}}M\mathbf {V} _{i}\cdot \mathbf {V} _{i}+{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}_{i}\cdot [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }}_{i}\right),}$$ これは、m一般化慣性力を計算するために使用できます^{[ 6 ]}$${\displaystyle Q_{j}^{*}=-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}\right),\quad j=1,\ldots ,m.}$$

ダランベールの仮想仕事の原理は、剛体のシステムが動的平衡状態にあるのは、システムの任意の仮想変位に対して、加えられた力と慣性力の合計の仮想仕事がゼロである場合であると述べている。したがって、m個の一般化座標を持つn個の剛体のシステムの動的平衡には、 $${\displaystyle \delta W=\left(Q_{1}+Q_{1}^{*}\right)\delta q_{1}+\dots +\left(Q_{m}+Q_{m}^{*}\right)\delta q_{m}=0,}$$ 任意の仮想変位δq _jに対して、この条件はm個の方程式 を与える。$${\displaystyle Q_{j}+Q_{j}^{*}=0,\quad j=1,\ldots ,m,}$$ これは次のように書くこともできます $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=Q_{j},\quad j=1,\ldots ,m.}$$ その結果、剛体システムの運動を定義するm個の運動方程式が得られる。

一般化された力 Q _jがポテンシャルエネルギーV ( q ₁ , ..., q _m )から導出できる場合、これらの運動方程式は次の形式になります。 $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

この場合、ラグランジアンL = T − Vを導入すると、これらの運動方程式は次のようになります 。$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}=0\quad j=1,\ldots ,m.}$$これらはラグランジュの運動方程式 として知られています。

剛体粒子系の線運動量と角運動量は、粒子の位置と速度を質量中心に対して測定することによって定式化されます。粒子系 P _i、i = 1, ..., n が座標r _iと速度v _iにあるとします。基準点Rを選択し、相対位置ベクトルと速度ベクトルを計算します。 $${\displaystyle \mathbf {r} _{i}=\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+\mathbf {R} ,\quad \mathbf {v} _{i}={\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} .}$$

基準点Rに対する全線運動量ベクトルと全角運動量ベクトルは以下の通りである。 $${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} ,}$$ そして $${\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\times {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\right)\times \mathbf {V} .}$$

Rを重心として選択する と、これらの式は次のように簡略化されます。$${\displaystyle \mathbf {p} =M\mathbf {V} ,\quad \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\times {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right).}$$

これらの式を剛体に適用するために、粒子が互いに剛体で接続されていると仮定し、P _i、i=1,...,n は座標r _iと速度v _iによって位置付けられます。基準点Rを選択し、相対位置と速度ベクトルを計算します。 $${\displaystyle \mathbf {r} _{i}=(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {R} ,\quad \mathbf {v} _{i}=\omega \times (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} ,}$$ ここでωはシステムの角速度である。^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

この剛体システムの線運動量と 角運動量は、重心Rを基準として測定すると次のようになる。 $${\displaystyle \mathbf {p} =\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} ,\quad \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {v} _{i}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times (\omega \times (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )).}$$

これらの式は簡略化されて、次のようになります。 $${\displaystyle \mathbf {p} =M\mathbf {V} ,\quad \mathbf {L} =[I_{R}]\omega ,}$$ ここで、Mはシステム全体の質量であり、[I _R ]は次のように定義される慣性モーメント 行列である。$${\displaystyle [I_{R}]=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R][r_{i}-R],}$$ ここで、[r _i − R] はベクトルr _i − Rから構成される歪対称行列である。