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測地学において、地球の形状とは、地球をモデル化するために使用される大きさや形のことです。形状の種類は、モデルに必要な精度など、用途によって異なります。球状の地球は、地理学、天文学、その他多くの用途において十分な、よく知られた歴史的な近似値です。座標系が航海、測量、地籍、土地利用、その他さまざまな用途における精密なニーズに対応できるよう、より高い精度を持つモデル（楕円体を含む）がいくつか開発されています。
地球の地形は、多様な陸地や水域によって特徴づけられる。この地形は、一般的に地形学者、水路学者、地球物理学者の関心事である。地球の計測は、この地形を基準として行われるが、その凹凸を考慮しながら数学的にモデル化することは極めて複雑である。
ピタゴラスの球体地球の概念は、数学的に扱いやすい単純な表面を提供します。多くの天文学や航海計算では、地球を近似的にモデル化するために球体が使用されます。しかし、純粋に局所的なスケールを超えた距離や面積を測定するには、より正確な形状が必要です。より良い近似を行うには、表面全体を扁平回転楕円体としてモデル化したり、球面調和関数を使用してジオイドを近似したり、最適な参照楕円体で領域をモデル化したりすることができます。
小規模な調査の場合、地球表面の平面モデルで十分です。なぜなら、局所的な地形が曲率を圧倒するからです。平板測量は、地球全体の大きさや形状を考慮せずに、比較的小規模な地域を対象に行われます。例えば、都市の測量はこの方法で行われることがあります。
17世紀後半には、地球を楕円体としてモデル化する本格的な取り組みが始まった。その始まりは、フランスの天文学者ジャン・ピカールがパリ子午線に沿って1度の弧を測定したことに遡る。地図の改良や、各国の領土の距離と面積の測定精度の向上などが、こうした初期の試みを促した。その後数世紀にわたり、測量機器と技術は進歩し、地球の形状モデルもそれに合わせて改良されていった。
20世紀半ばから後半にかけて、地球科学全般にわたる研究により、地球の形状の精度が飛躍的に向上しました。この精度向上の主な用途は、弾道ミサイルの慣性誘導システムに地理および重力データを提供することでした。この資金提供は、地球科学分野の拡大も促進し、多くの大学でさまざまな地球科学部門の設立と成長を促しました。[ 1 ]これらの発展は、気象や通信衛星の制御、GPSによる位置特定など、地球の形状の高精度モデルがなければ不可能だった多くの民間活動にも恩恵をもたらしました。
地球の形状を表すモデルは、その使用方法、複雑さ、そして地球の大きさや形状をどれだけ正確に表現しているかという点で多様である。
地球全体の形状を表す最も単純なモデルは球体です。地球の半径は、地球の中心から表面までの距離で、約6,371 km (3,959マイル)です。「半径」は通常、完全な球体の特性ですが、地球は球体からわずか 3分の パーセントしかずれていないため、多くの文脈で球体として扱うことができ、「地球の半径」という用語が正当化されます。
地球が球形であるという概念は紀元前6世紀頃に遡るが[ 2 ] 、紀元前3世紀までは哲学的な憶測の域を出なかった。地球の半径に関する最初の科学的な推定は紀元前240年頃のエラトステネスによって行われ 、エラトステネスの測定の精度は-1%から15%の範囲と推定されている。
地球は近似的に球形であるため、その自然な半径を表す単一の値はありません。地表の点から中心までの距離は、6,353 km (3,948 mi)から6,384 km (3,967 mi)の範囲です。地球を球体としてモデル化するいくつかの異なる方法があり、それぞれ平均半径は6,371 km (3,959 mi)となります。どのモデルを使用しても、半径は極域の最小値である約6,357 km (3,950 mi)と赤道域の最大値である約6,378 km (3,963 mi)の間に収まります。その差21 km (13 mi)は、極域の半径が赤道域の半径より約 0.3% 短いことに相当します。
アイザック・ニュートンとクリスティアーン・ホイヘンスが提唱したように、[ 3 ] : 4 [ 4 ] [ 5 ]地球は極で扁平で赤道で膨らんでいます。そのため、測地学では地球の形状を扁平回転楕円体として表します。扁平回転楕円体、または扁平楕円体は、楕円をその短い軸を中心に回転させて得られる回転楕円体です。これは、地球の形状に最も近い規則的な幾何学的形状です。地球または他の天体の形状を表す回転楕円体は、基準楕円体と呼ばれます。地球の基準楕円体は、地球楕円体と呼ばれます。
回転楕円体は、2つの量によって一意に定義される。測地学では、これら2つの量を表すためのいくつかの慣例が用いられるが、それらはすべて等価であり、相互に変換可能である。
離心率と扁平率は、楕円体の押しつぶし具合を表す異なる方法です。測地学において扁平率が定義量の一つとして現れる場合、一般的にはその逆数で表されます。例えば、今日のGPSシステムで使用されているWGS 84楕円体では、扁平率の逆数は正確には298.257 223 563に設定されます。
地球の球体と基準楕円体との差は小さく、約300分の1程度です。歴史的には、扁平率は勾配測定から算出されていました。現在では、測地網や衛星測地が用いられています。実際には、数世紀にわたり、さまざまな測量に基づいて多くの基準楕円体が作成されてきました。扁平率は、基準楕円体ごとにわずかに異なり、これは局所的な条件や、基準楕円体が地球全体をモデル化することを意図しているのか、それともその一部だけをモデル化することを意図しているのかを反映しています。
球には単一の曲率半径があり、それは単純に球の半径です。より複雑な曲面では、曲率半径は表面全体で変化します。曲率半径は、その点で表面を最もよく近似する球の半径を表します。扁平楕円体は、表面にグリッド線が描かれている場合、東西方向の曲率半径は一定ですが、他の方向では曲率が変化します。扁平楕円体の極曲率半径は、赤道よりも大きい
極が扁平であるため、表面が平坦であればあるほど、それを近似する球は大きくなければならない。逆に、楕円体の赤道における南北方向の曲率半径は極よりも小さい
どこは楕円体の中心から赤道までの距離（長半径）であり、中心から極までの距離（短軸）を表します。
地球の赤道は円ではなく楕円として特徴づけられる可能性、したがって楕円体が三軸である可能性は、長年にわたり科学的に研究されてきた。[ 6 ] [ 7 ]現代の技術開発により、データ収集のための新しい迅速な方法がもたらされ、スプートニク1号の打ち上げ以来、軌道データは楕円率の理論を調査するために使用されてきた。[ 3 ]より最近の結果では 、2つの赤道上の慣性軸の長軸と短軸の間に70mの差があり、より大きな半直径は西経15°（および180度離れた方向）を指していることが示されている。[ 8 ] [ 9 ]
ピカールの研究に続いて、イタリアの博学者ジョヴァンニ・ドメニコ・カッシーニは、パリの北では1度の長さが南よりも明らかに短いことを発見し、地球が卵形であることを示唆した。[ 3 ]： 4 1498年、クリストファー・コロンブスは、北極星の角度を移動しながら読み取った結果、地球が洋ナシ形であると疑わしい提案をしたが、これは北極星が日周運動をしていると誤って解釈したためである。[ 10 ]
地球がわずかに洋ナシ型であるという理論は、1958年に米国の人工衛星ヴァンガード1号からデータが受信されたときに生まれました。そのデータは、長い周期の軌道で変化し、南半球が北半球よりも高い重力引力を示していることがわかりました。これは、南極で扁平化、北極で同程度の膨らみを示し、後者では海面が約9メートル（30フィート）上昇していることを示していました。 [ 11 ] [ 12 ] [ 3 ]： 9この理論は、北半球の中緯度がわずかに扁平化し、南半球の中緯度がそれに応じて膨らんでいることを示唆しています。[ 3 ]： 9この異常に関与する可能性のある要因には、潮汐と地殻下の運動（プレートテクトニクスなど）が含まれます。[ 11 ] [ 12 ]
ジョン・A・オキーフと共著者は、ヴァンガード1号衛星データを用いて、地球の重力場に重要な3次帯状球面調和関数が存在することを発見したとされている。 [ 13 ]デズモンド・キング＝ヘールは、さらに衛星測地データに基づいて、北極で19m（62フィート）の「幹」が隆起し、南極で26m（85フィート）の窪みがあるため、北極と南極の半径の差が45m （148フィート）であると推定した。 [ 14 ] [ 15 ]極の非対称性は、地球の扁平率の約1000分の1であり、一部の地域では地球のジオイドの起伏よりもさらに小さい。[ 16 ]
現代の測地学では、回転楕円体を基準楕円体として保持し、三軸性と洋ナシ形をジオイド形状の一部として扱う傾向がある。これらは球面調和係数によって表される。そしてそれぞれ、三軸性については次数とオーダー数2.2、洋ナシ形については3.0に対応する。
It was stated earlier that measurements are made on the apparent or topographic surface of the Earth and it has just been explained that computations are performed on an ellipsoid. One other surface is involved in geodetic measurement: the geoid. In geodetic surveying, the computation of the geodetic coordinates of points is commonly performed on a reference ellipsoid closely approximating the size and shape of the Earth in the area of the survey. The actual measurements made on the surface of the Earth with certain instruments are however referred to the geoid. The ellipsoid is a mathematically defined regular surface with specific dimensions. The geoid, on the other hand, coincides with that surface to which the oceans would conform over the entire Earth if free to adjust to the combined effect of the Earth's mass attraction (gravitation) and the centrifugal force of the Earth's rotation. As a result of the uneven distribution of the Earth's mass, the geoidal surface is irregular and, since the ellipsoid is a regular surface, the separations between the two, referred to as geoid undulations, geoid heights, or geoid separations, will be irregular as well.
The geoid is a surface along which the gravity potential is equal everywhere and to which the direction of gravity is always perpendicular. The latter is particularly important because optical instruments containing gravity-reference leveling devices are commonly used to make geodetic measurements. When properly adjusted, the vertical axis of the instrument coincides with the direction of gravity and is, therefore, perpendicular to the geoid. The angle between the plumb line which is perpendicular to the geoid (sometimes called "the vertical") and the perpendicular to the ellipsoid (sometimes called "the ellipsoidal normal") is defined as the deflection of the vertical. It has two components: an east–west and a north–south component.[3]
Simpler local approximations are possible.
The local tangent plane is appropriate for analysis across small distances.
与えられた点の近傍における楕円体の最良の局所球面近似は、地球の接触球です。その半径は地球のガウス曲率半径に等しく、その半径方向は測地法線方向と一致します。接触球の中心は楕円体の中心からずれていますが、楕円体表面上の与えられた点の曲率中心にあります。この概念は、地球および惑星の電波掩蔽屈折測定の解釈や、一部の航法および監視アプリケーションに役立ちます。[ 17 ] [ 18 ]
地球の正確な形状を決定することは、測地学の幾何学的課題であるだけでなく、地球物理学的考察も伴います。ニュートン、レオンハルト・オイラー、その他による理論的議論によれば、地球のように回転する均一な密度 5,515 kg/m 3の物体は、 1:229 の扁平率を持つはずです。これは、地球内部の組成に関する情報がなくても結論付けることができます。[ 19 ]しかし、測定された扁平率は 1:298.25 であり、これは球体に近い値であり、地球の核が非常にコンパクトであるという強力な根拠となります。したがって、密度は深さの関数であり、表面の2,600 kg/m 3 (花崗岩などの岩石密度) から内核内部の13,000 kg/m 3まで変化するはずです。 [ 20 ]
地球内部の物理的探査に影響を与えるもう一つの要素は、重力場です。これは、重力（質量による引力）と遠心力（回転による力）の正味の効果です。重力場は、地表および衛星による遠隔測定で非常に高い精度で測定できます。地形やあらゆる地質学的物質が重力場を乱すため、実際の垂直方向は理論上の垂直方向とは必ずしも一致しません（偏向は最大50秒角に達します） 。したがって、地殻とマントルの全体的な構造は、地下の測地学的・地球物理学的モデルによって決定することができます。
この記事には、パブリックドメインにある以下の資料からのテキストが含まれています。国防地図局（1983）。一般人のための測地学（報告書）。米国空軍。
