逆行列を持つ行列
線型代数 では 、 可逆行列とは 逆行列 を持つ 正方行列 のことです 。つまり、他の行列に可逆行列を掛け合わせた場合、その結果に逆行列を掛け合わせることで演算を取り消すことができます。可逆行列にその逆行列を掛け合わせると 単位行列 になります。可逆行列は逆行列と同じサイズです。
意味 n 行 n列 の 正方行列 A は 、次の式を満たす n 行 n 列の正方行列 B が存在する場合、 可逆行列 ( 非特異行列 、 非退化行列 、まれに 正則行列 とも呼ばれる)と呼ばれます。 ここ で、 I n は n 行 n列の 単位行列 を表し、使用される乗算は通常の 行列乗算 です。 [1] この場合、行列 B は A によって一意に決定され、 A の (乗法的) 逆行列 と呼ばれ 、 A −1 と表記されます。 行列の逆行列は 、元の行列を乗算すると単位行列になる行列を見つけるプロセスです。 [2]
A
B
=
B
A
=
I
n
,
{\displaystyle \mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n},}
体 上で、逆行列を持た ない 正方行列は、 特異行列 または 退化行列 と呼ばれます 。体 の要素を持つ正方行列は、 その 行列式が 0 の ときにのみ 特異行列になります。特異行列は、正方行列の要素が 数直線 または 複素平面 上の任意の境界領域からランダムに選択された場合、行列が特異である 確率 が 0 である、つまり 「ほとんど」 特異にならないという意味でまれです。非正方行列、つまり m ≠ n のm 行 n 列の行列には 逆行列がありません。ただし、場合によっては、このような行列に 左逆行列 または 右逆行列 があることがあります。Aが m 行 n 列 で 、 A の 階数が n に等しい ( n ≤ m ) 場合、 A には左逆行列、つまり BA = I n となる n 行 m 列の行列 B があります。 A の 階数が m ( m ≤ n ) の場合 、その右逆行列である n 行 m 列の行列 Bが存在し、 AB = I m となります 。
最も一般的なケースは実数 または 複素数 上 の行列の場合ですが、これらすべての定義は、 加算 と 乗算を 備えた 任意の代数構造 (つまり、 環) 上の行列に対して与えることができます。ただし、環が 可換 の場合 、正方行列が逆行列であるための条件は、その行列式が環内で逆行列であることであり、これは一般に、行列式がゼロ以外であることよりも厳しい要件です。 非可換環 の場合、通常の行列式は定義されません。左逆または右逆の存在条件は、環上に階数の概念が存在しないため、より複雑です。
n × n の可逆行列の集合 と 行列の乗算演算、および環 R からの要素は、 群 、 すなわち n次 一般線型群を 形成し 、 GL n ( R ) と表記されます。
プロパティ
可逆行列定理 Aを 体 K （例えば実数体 ） 上 の n 行 n 列の正方行列と する 。以下の文は同値である。つまり、任意の行列に対してすべて真かすべて偽のいずれかである。 [3]
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
A は 可逆です。つまり、行列の乗算によって逆行列が存在します。つまり、 AB = I n = BA となる B が 存在します。(この文では、「可逆」は「左可逆」または「右可逆」に置き換えることもできます。この場合、片側逆行列が考慮されます。) xを Ax に 写像する線形変換は 可逆です。つまり、関数合成によって逆関数が存在します。(ここでも、「可逆」は「左可逆」または「右可逆」に置き換えることができます) 転置行列 A T は 可逆行列です。 A は n 行 n列の 単位行列 I n と 行が等価 です 。 A は n 行 n 列 の単位行列 I n と列 的に 同等 です 。 A にはn 個の ピボット位置 があります 。 A は 完全な ランク を持ちます: ランク A = n 。 A には自明な カーネル があります: ker( A ) = {0} 。 x を Ax に 写像する線形変換は 全単射です。つまり、方程式 Ax = b は 、 K n 内の 各 b に対して 1 つの解を持ちます。(ここで、「全単射」は「単射 」または「 全射 」に置き換えることもできます ) A の列は K n の 基底 を形成します 。(この文では、「基底」は「線形独立集合」または「全域集合」のいずれかに置き換えることができます) A の行は K n の基底を形成します 。(同様に、ここで「基底」は「線形独立集合」または「全域集合」のいずれかに置き換えることができます) A の 行列 式 はゼロ以外です: det A ≠ 0 。(一般に、 可換環 上の正方行列は、その行列式がその環の 単位元 (つまり乗法的に可逆な元)である場合に限り、可逆です 。 数 0 は A の 固有値 ではありません。(より一般的には、行列が特異である場合、 数は A の固有値であり 、ここで I は 単位行列です。)
λ
{\displaystyle \lambda }
A
−
λ
I
{\displaystyle \mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} }
行列 A は、基本行列 の有限積として表すことができます 。
その他のプロパティ さらに、可逆行列 A には次の性質が成り立ちます。
(
A
−
1
)
−
1
=
A
{\displaystyle (\mathbf {A} ^{-1})^{-1}=\mathbf {A} }
(
k
A
)
−
1
=
k
−
1
A
−
1
{\displaystyle (k\mathbf {A} )^{-1}=k^{-1}\mathbf {A} ^{-1}}
非ゼロスカラー kの場合
(
A
x
)
+
=
x
+
A
−
1
{\displaystyle (\mathbf {Ax} )^{+}=\mathbf {x} ^{+}\mathbf {A} ^{-1}}
Aが 正規直交列を持つ場合 、 + はムーア・ペンローズ逆行列 を表し 、 x はベクトル
(
A
T
)
−
1
=
(
A
−
1
)
T
{\displaystyle (\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })^{-1}=(\mathbf {A} ^{-1})^{\mathrm {T} }}
任意の可逆な n 行 n 列の行列 A と B に対して、 より一般的には、 可逆な n 行 n 列の行列であれば、
(
A
B
)
−
1
=
B
−
1
A
−
1
.
{\displaystyle (\mathbf {AB} )^{-1}=\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {A} ^{-1}.}
A
1
,
…
,
A
k
{\displaystyle \mathbf {A} _{1},\dots ,\mathbf {A} _{k}}
(
A
1
A
2
⋯
A
k
−
1
A
k
)
−
1
=
A
k
−
1
A
k
−
1
−
1
⋯
A
2
−
1
A
1
−
1
.
{\displaystyle (\mathbf {A} _{1}\mathbf {A} _{2}\cdots \mathbf {A} _{k-1}\mathbf {A} _{k})^{-1}=\mathbf {A} _{k}^{-1}\mathbf {A} _{k-1}^{-1}\cdots \mathbf {A} _{2}^{-1}\mathbf {A} _{1}^{-1}.}
det
A
−
1
=
(
det
A
)
−
1
.
{\displaystyle \det \mathbf {A} ^{-1}=(\det \mathbf {A} )^{-1}.}
行列 U の逆行列 Vの行は、 U の列に 正規直交 します (行と列が入れ替わる場合も同様です)。これを確認するには、 UV = VU = Iと仮定します。ここで、 V の行は と表され、 U の列は と表されます (それぞれ次の式を 参照)。すると、 任意の 2 つの ユークリッド内積は、次の式で表されます。この特性は、 U の列に直交する ベクトル (必ずしも正規直交ベクトルではない) のセットがわかっている場合に、正方行列の逆行列を構築するときにも役立ちます。その場合、この初期セットに反復 グラム・シュミット法 を適用して、逆行列 V の行を決定できます 。
v
i
T
{\displaystyle v_{i}^{\mathrm {T} }}
u
j
{\displaystyle u_{j}}
1
≤
i
,
j
≤
n
.
{\displaystyle 1\leq i,j\leq n.}
v
i
T
u
j
=
δ
i
,
j
.
{\displaystyle v_{i}^{\mathrm {T} }u_{j}=\delta _{i,j}.}
自分自身の逆行列（つまり、 A = A −1 であり、したがって A 2 = I となるような行列 A ）は、逆行列 と呼ばれます 。
その補語との関係 行列 A の加法 は、次のように A の逆行列を求めるために使用できます 。
Aが 可逆行列である
場合、
A
−
1
=
1
det
(
A
)
adj
(
A
)
.
{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\operatorname {adj} (\mathbf {A} ).}
単位行列との関係 行列の掛け算の
結合性 から、
A
B
=
I
{\displaystyle \mathbf {AB} =\mathbf {I} \ }
有限正方 行列 A と B に対しては 、
B
A
=
I
{\displaystyle \mathbf {BA} =\mathbf {I} \ }
[4]
密度 実数体上で、 の部分集合として考えられる n 行 n 列の特異行列の集合 は 空 集合 、 つまり ルベーグ 測度 が 0 で ある 。これは、特異行列が 行列式 関数の根であるためである 。これは、 行列の要素における 多項式 であるため 連続関数である。したがって、 測度論 の言語では、 ほぼすべての n 行 n 列の行列は可逆である。
R
n
×
n
,
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times n},}
さらに、 n 行 n 列の 可逆行列の集合は 、すべての n 行 n 列行列の 位相空間 において 開 行列であり 稠密 です。同様に、特異行列の集合は n 行 n 列行列の空間において 閉行列 であり、 稠密なところはありません 。
しかし、実際には、逆行列でない行列に遭遇することがあります。また、 数値計算では、逆行列であっても逆行列でない行列に近い行列が問題になることがあります。このような行列は、 悪条件 であると言われています 。
例 階数がn − 1 の例として、 逆行列でない行列がある。
A
=
(
2
4
2
4
)
.
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}2&4\\2&4\end{pmatrix}}.}
この 2 行 2 列の行列の階数は 1 であり、 n − 1 ≠ n であるため、逆行列は存在しません。
次の 2 行 2 列の行列を考えます。
B
=
(
−
1
3
2
1
−
1
)
.
{\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}-1&{\tfrac {3}{2}}\\1&-1\end{pmatrix}}.}
行列は逆行列です。これを確認するには、 がゼロでない
ことを計算します。
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
det
B
=
−
1
2
{\textstyle \det \mathbf {B} =-{\frac {1}{2}}}
非可逆行列、つまり特異行列の例として、次の行列を考える。
C
=
(
−
1
3
2
2
3
−
1
)
.
{\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}-1&{\tfrac {3}{2}}\\{\tfrac {2}{3}}&-1\end{pmatrix}}.}
の行列式は 0 であり、これは 行列が逆行列を持たないための
必要十分条件です。
C
{\displaystyle \mathbf {C} }
逆行列法
ガウス消去法 ガウス消去法 は、逆行列を計算する便利で簡単な方法です。この方法を使用して逆行列を計算するには、 まず左側が逆行列、右側が単位 行列である 拡張行列 を作成します。次に、ガウス消去法を使用して左側を単位行列に変換し、右側が入力行列の逆行列になるようにします。
たとえば、次の行列を考えます。
A
=
(
−
1
3
2
1
−
1
)
.
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-1&{\tfrac {3}{2}}\\1&-1\end{pmatrix}}.}
逆行列を計算するための最初のステップは、拡張行列を作成することである。
(
−
1
3
2
1
0
1
−
1
0
1
)
.
{\displaystyle \left(\!\!{\begin{array}{cc|cc}-1&{\tfrac {3}{2}}&1&0\\1&-1&0&1\end{array}}\!\!\right).}
この行列の1行目を 、2行目を とします 。次に、1行目を2行目に加算します。 これにより、
R
1
{\displaystyle R_{1}}
R
2
{\displaystyle R_{2}}
(
R
1
+
R
2
→
R
2
)
.
{\displaystyle (R_{1}+R_{2}\to R_{2}).}
(
−
1
3
2
1
0
0
1
2
1
1
)
.
{\displaystyle \left(\!\!{\begin{array}{cc|cc}-1&{\tfrac {3}{2}}&1&0\\0&{\tfrac {1}{2}}&1&1\end{array}}\!\!\right).}
次に、行1から行2を3倍した ものを引くと、
(
R
1
−
3
R
2
→
R
1
)
,
{\displaystyle (R_{1}-3\,R_{2}\to R_{1}),}
(
−
1
0
−
2
−
3
0
1
2
1
1
)
.
{\displaystyle \left(\!\!{\begin{array}{cc|cc}-1&0&-2&-3\\0&{\tfrac {1}{2}}&1&1\end{array}}\!\!\right).}
最後に、1行目に-1を 、2行目に2を掛けます 。これにより、左側に単位行列、右側に逆行列が生成されます。
(
−
R
1
→
R
1
)
{\displaystyle (-R_{1}\to R_{1})}
(
2
R
2
→
R
2
)
.
{\displaystyle (2\,R_{2}\to R_{2}).}
(
1
0
2
3
0
1
2
2
)
.
{\displaystyle \left(\!\!{\begin{array}{cc|cc}1&0&2&3\\0&1&2&2\end{array}}\!\!\right).}
したがって、
A
−
1
=
(
2
3
2
2
)
.
{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\begin{pmatrix}2&3\\2&2\end{pmatrix}}.}
これが機能する理由は、ガウス消去法のプロセスが、次のような基本行列 （ ）を 使用した基本行演算を使用して左行列乗算を適用する一連の操作として見ることができるためです。
E
n
{\displaystyle \mathbf {E} _{n}}
E
n
E
n
−
1
⋯
E
2
E
1
A
=
I
.
{\displaystyle \mathbf {E} _{n}\mathbf {E} _{n-1}\cdots \mathbf {E} _{2}\mathbf {E} _{1}\mathbf {A} =\mathbf {I} .}
を使用して右掛け算を適用すると、 必要な逆数である
右側が 得られます。
A
−
1
,
{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1},}
E
n
E
n
−
1
⋯
E
2
E
1
I
=
I
A
−
1
.
{\displaystyle \mathbf {E} _{n}\mathbf {E} _{n-1}\cdots \mathbf {E} _{2}\mathbf {E} _{1}\mathbf {I} =\mathbf {I} \mathbf {A} ^{-1}.}
I
A
−
1
=
A
−
1
,
{\displaystyle \mathbf {I} \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {A} ^{-1},}
を得るには、 A と I を 組み合わせてガウス消去法 を適用する ことで、拡張行列を作成します 。 2 つの部分は、同じ一連の基本行演算を使用して変換されます。 左側の部分が I になると、同じ基本行演算シーケンスを適用した右側の部分は A −1 になります。
E
n
E
n
−
1
⋯
E
2
E
1
I
,
{\displaystyle \mathbf {E} _{n}\mathbf {E} _{n-1}\cdots \mathbf {E} _{2}\mathbf {E} _{1}\mathbf {I} ,}
ニュートン法 適切な開始シードを見つけるのが簡単な場合は、
乗法逆アルゴリズム に使用される ニュートン法 の一般化が便利かもしれません。
X
k
+
1
=
2
X
k
−
X
k
A
X
k
.
{\displaystyle X_{k+1}=2X_{k}-X_{k}AX_{k}.}
ビクター・パン と ジョン・ライフは、 開始シードを生成する方法を含む研究を行った。 [5] [6]
ニュートン法は、上記の ホモトピー のために作られたシーケンスと十分に似た動作をする関連行列の 族 を扱うときに特に有用である。新しい逆行列の近似を改良するための良い出発点は、現在の行列とほぼ一致する、既に得られている前の行列の逆行列である場合がある。たとえば、 デンマン-ビーバー反復法によって行列の平方根を 求めるときに使用される逆行列のシーケンスのペアである。これらの逆行列が 1 回だけでは十分でないほど互いに接近していない場合は、新しい行列ごとに反復を複数回実行する必要があるかもしれない。ニュートン法は、 不完全なコンピュータ演算 による小さなエラーによって汚染されたガウス-ジョルダン法の「微調整」修正にも有用である。
ケーリー・ハミルトン法 ケイリー ・ハミルトン定理によれば、 A の逆関数は det( A ) 、トレース、 A のべき乗で表される 。 [7]
A
−
1
=
1
det
(
A
)
∑
s
=
0
n
−
1
A
s
∑
k
1
,
k
2
,
…
,
k
n
−
1
∏
l
=
1
n
−
1
(
−
1
)
k
l
+
1
l
k
l
k
l
!
tr
(
A
l
)
k
l
,
{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\sum _{s=0}^{n-1}\mathbf {A} ^{s}\sum _{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n-1}}\prod _{l=1}^{n-1}{\frac {(-1)^{k_{l}+1}}{l^{k_{l}}k_{l}!}}\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{l}\right)^{k_{l}},}
ここで nは A の大きさ 、 tr( A )は 主対角線 の合計で与えられる行列 A の トレース である 。合計は s と線形 ディオファントス方程式を 満たすすべての集合にわたって取られる。
k
l
≥
0
{\displaystyle k_{l}\geq 0}
s
+
∑
l
=
1
n
−
1
l
k
l
=
n
−
1.
{\displaystyle s+\sum _{l=1}^{n-1}lk_{l}=n-1.}
この式は、引数の完全な ベル多項式 を使って次 のよう
に書き直すことができる。
t
l
=
−
(
l
−
1
)
!
tr
(
A
l
)
{\displaystyle t_{l}=-(l-1)!\operatorname {tr} \left(A^{l}\right)}
A
−
1
=
1
det
(
A
)
∑
s
=
1
n
A
s
−
1
(
−
1
)
n
−
1
(
n
−
s
)
!
B
n
−
s
(
t
1
,
t
2
,
…
,
t
n
−
s
)
.
{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\sum _{s=1}^{n}\mathbf {A} ^{s-1}{\frac {(-1)^{n-1}}{(n-s)!}}B_{n-s}(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n-s}).}
これについては、ケーリー・ハミルトン法 でさらに詳しく説明します 。
固有値分解 行列 Aが 固有値分解可能であり、その固有値がゼロでない場合、 A は逆行列を持ち、その逆行列は次のように表される。
A
−
1
=
Q
Λ
−
1
Q
−
1
,
{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } ^{-1}\mathbf {Q} ^{-1},}
ここで、 Q は 、 i 番目 の列が A の 固有ベクトル である正方 ( N × N ) 行列であり、 Λ は 、対角要素が対応する固有値である 対角行列 です。つまり、 A が対称である場合
、 Q は 直交行列 であることが保証されるため 、さらに、 Λ は 対角行列であるため 、その逆行列は簡単に計算できます。
q
i
{\displaystyle q_{i}}
Λ
i
i
=
λ
i
.
{\displaystyle \Lambda _{ii}=\lambda _{i}.}
Q
−
1
=
Q
T
.
{\displaystyle \mathbf {Q} ^{-1}=\mathbf {Q} ^{\mathrm {T} }.}
[
Λ
−
1
]
i
i
=
1
λ
i
.
{\displaystyle \left[\Lambda ^{-1}\right]_{ii}={\frac {1}{\lambda _{i}}}.}
コレスキー分解 行列 A が 正定値 であれば、その逆行列は次のように得られる。
A
−
1
=
(
L
∗
)
−
1
L
−
1
,
{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\left(\mathbf {L} ^{*}\right)^{-1}\mathbf {L} ^{-1},}
ここで、 Lは A の 下三角 コレスキー分解 であり 、 L *は L の 共役転置 を表します 。
解析解 補因子行列 の転置を記述することは 、 付加行列として知られ、 小さな 行列の逆行列を計算する効率的な方法にもなります が、この 再帰的な 方法は大きな行列には非効率的です。逆行列を決定するには、補因子行列を計算します。
A
−
1
=
1
|
A
|
C
T
=
1
|
A
|
(
C
11
C
21
⋯
C
n
1
C
12
C
22
⋯
C
n
2
⋮
⋮
⋱
⋮
C
1
n
C
2
n
⋯
C
n
n
)
{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}\mathbf {C} ^{\mathrm {T} }={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}{\begin{pmatrix}\mathbf {C} _{11}&\mathbf {C} _{21}&\cdots &\mathbf {C} _{n1}\\\mathbf {C} _{12}&\mathbf {C} _{22}&\cdots &\mathbf {C} _{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {C} _{1n}&\mathbf {C} _{2n}&\cdots &\mathbf {C} _{nn}\\\end{pmatrix}}}
となることによって
(
A
−
1
)
i
j
=
1
|
A
|
(
C
T
)
i
j
=
1
|
A
|
(
C
j
i
)
{\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{-1}\right)_{ij}={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}\left(\mathbf {C} ^{\mathrm {T} }\right)_{ij}={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}\left(\mathbf {C} _{ji}\right)}
ここで、 | A | は A の 行列式 、 C は補因子の行列、 C T は 行列 転置 を表します。
2×2行列の逆行列 上記の 補因子方程式は 、 2×2 行列に対して次の結果をもたらします。これらの行列の逆行列は次のようにして行うことができます。 [8]
A
−
1
=
[
a
b
c
d
]
−
1
=
1
det
A
[
d
−
b
−
c
a
]
=
1
a
d
−
b
c
[
d
−
b
−
c
a
]
.
{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}.}
これが可能なのは、 1/( ad − bc )が問題の行列の行列式の 逆数 であり 、同じ戦略を他の行列サイズにも使用できるためです。
ケイリー・ハミルトン法では
A
−
1
=
1
det
A
[
(
tr
A
)
I
−
A
]
.
{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}\left[\left(\operatorname {tr} \mathbf {A} \right)\mathbf {I} -\mathbf {A} \right].}
3×3行列の反転 計算効率の良い 3×3 行列 逆行列は次のように表される。
A
−
1
=
[
a
b
c
d
e
f
g
h
i
]
−
1
=
1
det
(
A
)
[
A
B
C
D
E
F
G
H
I
]
T
=
1
det
(
A
)
[
A
D
G
B
E
H
C
F
I
]
{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}\,A&\,B&\,C\\\,D&\,E&\,F\\\,G&\,H&\,I\\\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}\,A&\,D&\,G\\\,B&\,E&\,H\\\,C&\,F&\,I\\\end{bmatrix}}}
（ここで、 スカラー A は行列 A と混同しないでください）。
行列式がゼロでない場合、行列は逆行列であり、上式右側の中間行列の要素は次のように表される。
A
=
(
e
i
−
f
h
)
,
D
=
−
(
b
i
−
c
h
)
,
G
=
(
b
f
−
c
e
)
,
B
=
−
(
d
i
−
f
g
)
,
E
=
(
a
i
−
c
g
)
,
H
=
−
(
a
f
−
c
d
)
,
C
=
(
d
h
−
e
g
)
,
F
=
−
(
a
h
−
b
g
)
,
I
=
(
a
e
−
b
d
)
.
{\displaystyle {\begin{alignedat}{6}A&={}&(ei-fh),&\quad &D&={}&-(bi-ch),&\quad &G&={}&(bf-ce),\\B&={}&-(di-fg),&\quad &E&={}&(ai-cg),&\quad &H&={}&-(af-cd),\\C&={}&(dh-eg),&\quad &F&={}&-(ah-bg),&\quad &I&={}&(ae-bd).\\\end{alignedat}}}
A の行列式は、次のように Sarrus の規則 を適用して計算できます 。
det
(
A
)
=
a
A
+
b
B
+
c
C
.
{\displaystyle \det(\mathbf {A} )=aA+bB+cC.}
ケーリー・ハミルトン分解は
A
−
1
=
1
det
(
A
)
(
1
2
[
(
tr
A
)
2
−
tr
(
A
2
)
]
I
−
A
tr
A
+
A
2
)
.
{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\left({\tfrac {1}{2}}\left[(\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{2})\right]\mathbf {I} -\mathbf {A} \operatorname {tr} \mathbf {A} +\mathbf {A} ^{2}\right).}
一般的な 3×3逆行列は、 外積 と 三重積 で簡潔に表すことができます 。行列 （3つの列ベクトル、、、およびからなる）が逆行列である 場合 、 その逆行列は次のように表されます
。
A
=
[
x
0
x
1
x
2
]
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{0}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}\end{bmatrix}}}
x
0
{\displaystyle \mathbf {x} _{0}}
x
1
{\displaystyle \mathbf {x} _{1}}
x
2
{\displaystyle \mathbf {x} _{2}}
A
−
1
=
1
det
(
A
)
[
(
x
1
×
x
2
)
T
(
x
2
×
x
0
)
T
(
x
0
×
x
1
)
T
]
.
{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}{(\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {x} _{2})}^{\mathrm {T} }\\{(\mathbf {x} _{2}\times \mathbf {x} _{0})}^{\mathrm {T} }\\{(\mathbf {x} _{0}\times \mathbf {x} _{1})}^{\mathrm {T} }\end{bmatrix}}.}
A の行列式 det( A ) は、 x 0 、 x 1 、 x 2 の三重積、 つまり行または列によって形成される
平行六面体 の体積に等しい。
det
(
A
)
=
x
0
⋅
(
x
1
×
x
2
)
.
{\displaystyle \det(\mathbf {A} )=\mathbf {x} _{0}\cdot (\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {x} _{2}).}
式の正しさは、交差積と三重積の性質と、群の左逆と右逆が常に一致することに注目することで確認できます。直感的には、交差積のため、 A –1の各行は A の対応しない 2 つの列と直交します (そのため、の非対角項は ゼロになります)。
I
=
A
−
1
A
{\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {A} }
det
(
A
)
=
x
0
⋅
(
x
1
×
x
2
)
{\displaystyle \det(\mathbf {A} )=\mathbf {x} _{0}\cdot (\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {x} _{2})}
I = A −1 A の対角要素 が 1 になります。たとえば、最初の対角要素は次のようになります。
1
=
1
x
0
⋅
(
x
1
×
x
2
)
x
0
⋅
(
x
1
×
x
2
)
.
{\displaystyle 1={\frac {1}{\mathbf {x_{0}} \cdot (\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {x} _{2})}}\mathbf {x_{0}} \cdot (\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {x} _{2}).}
4×4行列の反転 次元が大きくなるにつれて、 A の逆関数の表現は 複雑になります。 n = 4 の場合、ケイリー・ハミルトン法では、扱いやすい表現が得られます。
A
−
1
=
1
det
(
A
)
(
1
6
(
(
tr
A
)
3
−
3
tr
A
tr
(
A
2
)
+
2
tr
(
A
3
)
)
I
−
1
2
A
(
(
tr
A
)
2
−
tr
(
A
2
)
)
+
A
2
tr
A
−
A
3
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\Bigl (}&{\tfrac {1}{6}}{\bigl (}(\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{3}-3\operatorname {tr} \mathbf {A} \operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{2})+2\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{3}){\bigr )}\mathbf {I} \\[-3mu]&\ \ \ -{\tfrac {1}{2}}\mathbf {A} {\bigl (}(\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{2}){\bigr )}+\mathbf {A} ^{2}\operatorname {tr} \mathbf {A} -\mathbf {A} ^{3}{\Bigr )}.\end{aligned}}}
ブロック反転 行列は、次の解析的逆行列公式を使って ブロックごとに逆行列を求める こともできる。 [9]
ここで、 A 、 B 、 C および D は 、任意のサイズの行列のサブブロック です 。 ( A は 、逆行列を計算できるように正方行列でなければなりません。さらに、 A および D − CA −1 B は 非特異行列でなければなりません。 [10] ) この戦略は、 A が 対角行列であり、 D − CA −1 B ( A の シュアー補行列 ) が小さい行列である場合に特に有利です 。なぜなら、逆行列を必要とする行列はこれらだけだからです。
この手法は、測地 行列 の逆変換にこの手法を使用した ハンス・ボルツ (1923) [ 要出典 ]と、この手法を一般化してその正しさを証明した タデウシュ・バナキエヴィッチ (1937) によって、何度か再発明されました。
無効定理は、 A の 無効性が 逆行列の右下にあるサブブロックの無効性と等しく、 B の無効性が逆行列の右上にあるサブブロックの無効性と等しいことを述べています。
式（ １ ）を導く逆行列演算は、まず C と D に作用する行列ブロック演算を実行した。代わりに、 A と B が最初に演算され、 D と A − BD −1 C が非特異である場合 、 [11] 結果は次のようになる
。
式（ １ ）と式（ ２ ）を
等しくすると、
ここで式( 3 )は ウッドベリー行列の恒等式であり、 二項式逆定理 と同等である 。
A と Dが 両方とも逆行列である場合 、上記の2つのブロック行列逆行列を組み合わせて簡単な因数分解を行うことができる。
ワインスタイン・アロンザイン恒等式 により 、ブロック対角行列の 2 つの行列のうち 1 つが逆行列である場合、もう 1 つは逆行列になります。
この式は、右上のブロック行列 B が 零行列 のときに大幅に簡略化されます。この定式化は、行列 A と D が比較的単純な逆行列式（ブロックがすべて正方行列でない場合は 擬似逆行列） を持つ場合に便利です。この特殊なケースでは、上記で完全に一般化されたブロック行列の逆行列式は次のようになります。
[
A
0
C
D
]
−
1
=
[
A
−
1
0
−
D
−
1
C
A
−
1
D
−
1
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {0} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} ^{-1}&\mathbf {0} \\-\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}&\mathbf {D} ^{-1}\end{bmatrix}}.}
与えられた可逆行列が可逆ブロックA を持つ対称行列である場合、 次のブロック逆公式が成立する [12]
ここで です 。これには、半分のサイズの行列 A と S の 2 回の逆行列演算と、半分のサイズの行列の 4 回の乗算のみが必要ですが、
いくつかの加算、減算、否定、転置などの複雑さを無視できる程度に適切に構成する必要があります。任意の行列 には、 半正定値対称行列 が関連付けられています。この行列 は、 が逆行列である 場合に限り、正確に逆行列 (かつ正定値) になります 。 と書くことで、 行列の逆行列演算は、対称行列の逆行列演算と 2 回の追加の行列乗算に簡略化できます。これは、正定値 行列が 左上ブロック A の逆行列条件を満たすためです。
S
=
D
−
C
A
−
1
C
T
{\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {D} -\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {C} ^{T}}
W
1
=
C
A
−
1
,
W
2
=
W
1
C
T
=
C
A
−
1
C
T
,
W
3
=
S
−
1
W
1
=
S
−
1
C
A
−
1
,
W
4
=
W
1
T
W
3
=
A
−
1
C
T
S
−
1
C
A
−
1
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {W} _{1}&=\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1},\\[3mu]\mathbf {W} _{2}&=\mathbf {W} _{1}\mathbf {C} ^{T}=\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {C} ^{T},\\[3mu]\mathbf {W} _{3}&=\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {W} _{1}=\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1},\\[3mu]\mathbf {W} _{4}&=\mathbf {W} _{1}^{T}\mathbf {W} _{3}=\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {C} ^{T}\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1},\end{aligned}}}
M
{\displaystyle \mathbf {M} }
M
T
M
{\displaystyle \mathbf {M} ^{T}\mathbf {M} }
M
{\displaystyle \mathbf {M} }
M
−
1
=
(
M
T
M
)
−
1
M
T
{\displaystyle \mathbf {M} ^{-1}=\left(\mathbf {M} ^{T}\mathbf {M} \right)^{-1}\mathbf {M} ^{T}}
M
T
M
{\displaystyle \mathbf {M} ^{T}\mathbf {M} }
これらの式を組み合わせることで、 関連する対称行列のブロック反転を使用して、 内部で使用される 行列乗算アルゴリズムと同じ時間計算量で行列を反転する 分割統治アルゴリズムを構築できます。 [12] 行列乗算の計算量に関する研究では、計算量が O ( n 2.371552 ) 回の行列乗算アルゴリズムが存在することが示されています が、最も証明された下限は Ω ( n 2 log n ) です。 [13]
ノイマンシリーズ 行列 Aが 次のような性質を持つ
場合
lim
n
→
∞
(
I
−
A
)
n
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }(\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{n}=0}
すると Aは 非特異であり、その逆はノイマン級数 で表すことができる ： [14]
A
−
1
=
∑
n
=
0
∞
(
I
−
A
)
n
.
{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }(\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{n}.}
和を切り捨てると「近似的な」逆行列が得られ、これは 前処理として役立つかもしれない。ノイマン級数は 幾何和である ことに着目すると、切り捨てられた級数は指数的に加速できることに注意する。したがって、
ノイマン級数は次式を満たす。
∑
n
=
0
2
L
−
1
(
I
−
A
)
n
=
∏
l
=
0
L
−
1
(
I
+
(
I
−
A
)
2
l
)
{\displaystyle \sum _{n=0}^{2^{L}-1}(\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{n}=\prod _{l=0}^{L-1}\left(\mathbf {I} +(\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{2^{l}}\right)}
。 したがって、 合計の
2 L 項を計算するには、 2 L − 2 回の 行列乗算のみが必要です。
より一般的には、 Aが 逆行列 X に
「近い」 場合、
lim
n
→
∞
(
I
−
X
−
1
A
)
n
=
0
o
r
lim
n
→
∞
(
I
−
A
X
−
1
)
n
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\mathbf {I} -\mathbf {X} ^{-1}\mathbf {A} \right)^{n}=0\mathrm {~~or~~} \lim _{n\to \infty }\left(\mathbf {I} -\mathbf {A} \mathbf {X} ^{-1}\right)^{n}=0}
すると Aは 非特異であり、その逆は
A
−
1
=
∑
n
=
0
∞
(
X
−
1
(
X
−
A
)
)
n
X
−
1
.
{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\mathbf {X} ^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {A} )\right)^{n}\mathbf {X} ^{-1}~.}
A − X がランク 1
である 場合、これは次のように単純化されます。
A
−
1
=
X
−
1
−
X
−
1
(
A
−
X
)
X
−
1
1
+
tr
(
X
−
1
(
A
−
X
)
)
.
{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {X} ^{-1}-{\frac {\mathbf {X} ^{-1}(\mathbf {A} -\mathbf {X} )\mathbf {X} ^{-1}}{1+\operatorname {tr} \left(\mathbf {X} ^{-1}(\mathbf {A} -\mathbf {X} )\right)}}~.}
p -進近似 A が整数 または 有理数の 要素を持つ行列であり、 任意精度の 有理数で解を求める 場合 、標準の O( n 3 ) 行列乗算が使用されている と仮定すると、 p 進 近似法は O( n 4 log 2 n )で正確な解に収束します。 [15]この方法は、ディクソンの p 進近似法 (それぞれ O( n 3 log 2 n ) ) を介して n 個の線形システム を解くことに依存しており 、たとえば IML などの任意精度の行列演算に特化したソフトウェアで利用できます。 [16]
逆基底ベクトル法 n × n の正方行列 が与えられ 、 n 行が n ベクトル として解釈され （ アインシュタインの総和 を仮定）、 が ユークリッド空間 （ ） の 標準 正規直交基底である場合、 クリフォード代数 （または 幾何代数 ）を使用して逆数（ 双対 と呼ばれることもある）列ベクトルを計算します。
X
=
[
x
i
j
]
{\displaystyle \mathbf {X} =\left[x^{ij}\right]}
1
≤
i
,
j
≤
n
{\displaystyle 1\leq i,j\leq n}
x
i
=
x
i
j
e
j
{\displaystyle \mathbf {x} _{i}=x^{ij}\mathbf {e} _{j}}
e
j
{\displaystyle \mathbf {e} _{j}}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
e
i
=
e
i
,
e
i
⋅
e
j
=
δ
i
j
{\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\mathbf {e} ^{i},\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=\delta _{i}^{j}}
x
i
=
x
j
i
e
j
=
(
−
1
)
i
−
1
(
x
1
∧
⋯
∧
(
)
i
∧
⋯
∧
x
n
)
⋅
(
x
1
∧
x
2
∧
⋯
∧
x
n
)
−
1
{\displaystyle \mathbf {x} ^{i}=x_{ji}\mathbf {e} ^{j}=(-1)^{i-1}(\mathbf {x} _{1}\wedge \cdots \wedge ()_{i}\wedge \cdots \wedge \mathbf {x} _{n})\cdot (\mathbf {x} _{1}\wedge \ \mathbf {x} _{2}\wedge \cdots \wedge \mathbf {x} _{n})^{-1}}
逆行列の列として の 位置 " " は、 について上記の式のその位置から " " が削除されたことを示していることに注意してください 。すると が得られます。 ここで は クロネッカーのデルタ です 。また 、必要に応じて も得られます。ベクトルが 線形独立でない場合は となり 、行列は 逆行列を持ちません (逆行列がありません)。
X
−
1
=
[
x
j
i
]
.
{\displaystyle \mathbf {X} ^{-1}=[x_{ji}].}
(
)
i
{\displaystyle ()_{i}}
x
i
{\displaystyle \mathbf {x} _{i}}
x
i
{\displaystyle \mathbf {x} ^{i}}
X
X
−
1
=
[
x
i
⋅
x
j
]
=
[
δ
i
j
]
=
I
n
{\displaystyle \mathbf {X} \mathbf {X} ^{-1}=\left[\mathbf {x} _{i}\cdot \mathbf {x} ^{j}\right]=\left[\delta _{i}^{j}\right]=\mathbf {I} _{n}}
δ
i
j
{\displaystyle \delta _{i}^{j}}
X
−
1
X
=
[
(
e
i
⋅
x
k
)
(
e
j
⋅
x
k
)
]
=
[
e
i
⋅
e
j
]
=
[
δ
i
j
]
=
I
n
{\displaystyle \mathbf {X} ^{-1}\mathbf {X} =\left[\left(\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {x} ^{k}\right)\left(\mathbf {e} ^{j}\cdot \mathbf {x} _{k}\right)\right]=\left[\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}\right]=\left[\delta _{i}^{j}\right]=\mathbf {I} _{n}}
x
i
{\displaystyle \mathbf {x} _{i}}
(
x
1
∧
x
2
∧
⋯
∧
x
n
)
=
0
{\displaystyle (\mathbf {x} _{1}\wedge \mathbf {x} _{2}\wedge \cdots \wedge \mathbf {x} _{n})=0}
X
{\displaystyle \mathbf {X} }
逆行列の微分 逆行列 Aが パラメータ tに依存すると仮定すると、 Aの逆行列の t に関する 微分は [17] で与えられる。
d
A
−
1
d
t
=
−
A
−
1
d
A
d
t
A
−
1
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} ^{-1}}{\mathrm {d} t}}=-\mathbf {A} ^{-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{-1}.}
A の逆行列の導関数に関する上記の式を導くには 、逆行列の定義を微分し、次に A の逆行列を解きます 。
A
−
1
A
=
I
{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {A} =\mathbf {I} }
d
(
A
−
1
A
)
d
t
=
d
A
−
1
d
t
A
+
A
−
1
d
A
d
t
=
d
I
d
t
=
0
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {A} )}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} ^{-1}}{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} +\mathbf {A} ^{-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {I} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {0} .}
上記の両辺から 減算し、右側にを掛けると 、逆関数の正しい導関数の式が得られます。
A
−
1
d
A
d
t
{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}}
A
−
1
{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}
d
A
−
1
d
t
=
−
A
−
1
d
A
d
t
A
−
1
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} ^{-1}}{\mathrm {d} t}}=-\mathbf {A} ^{-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{-1}.}
同様に、が 小さい数であれ
ば
ε
{\displaystyle \varepsilon }
(
A
+
ε
X
)
−
1
=
A
−
1
−
ε
A
−
1
X
A
−
1
+
O
(
ε
2
)
.
{\displaystyle \left(\mathbf {A} +\varepsilon \mathbf {X} \right)^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}-\varepsilon \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {X} \mathbf {A} ^{-1}+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2})\,.}
より一般的に言えば、
d
f
(
A
)
d
t
=
∑
i
g
i
(
A
)
d
A
d
t
h
i
(
A
)
,
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f(\mathbf {A} )}{\mathrm {d} t}}=\sum _{i}g_{i}(\mathbf {A} ){\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}h_{i}(\mathbf {A} ),}
それから、
f
(
A
+
ε
X
)
=
f
(
A
)
+
ε
∑
i
g
i
(
A
)
X
h
i
(
A
)
+
O
(
ε
2
)
.
{\displaystyle f(\mathbf {A} +\varepsilon \mathbf {X} )=f(\mathbf {A} )+\varepsilon \sum _{i}g_{i}(\mathbf {A} )\mathbf {X} h_{i}(\mathbf {A} )+{\mathcal {O}}\left(\varepsilon ^{2}\right).}
正の整数が与えられると 、
n
{\displaystyle n}
d
A
n
d
t
=
∑
i
=
1
n
A
i
−
1
d
A
d
t
A
n
−
i
,
d
A
−
n
d
t
=
−
∑
i
=
1
n
A
−
i
d
A
d
t
A
−
(
n
+
1
−
i
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} ^{n}}{\mathrm {d} t}}&=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{i-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{n-i},\\{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} ^{-n}}{\mathrm {d} t}}&=-\sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{-i}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{-(n+1-i)}.\end{aligned}}}
したがって、
(
A
+
ε
X
)
n
=
A
n
+
ε
∑
i
=
1
n
A
i
−
1
X
A
n
−
i
+
O
(
ε
2
)
,
(
A
+
ε
X
)
−
n
=
A
−
n
−
ε
∑
i
=
1
n
A
−
i
X
A
−
(
n
+
1
−
i
)
+
O
(
ε
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {A} +\varepsilon \mathbf {X} )^{n}&=\mathbf {A} ^{n}+\varepsilon \sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{i-1}\mathbf {X} \mathbf {A} ^{n-i}+{\mathcal {O}}\left(\varepsilon ^{2}\right),\\(\mathbf {A} +\varepsilon \mathbf {X} )^{-n}&=\mathbf {A} ^{-n}-\varepsilon \sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{-i}\mathbf {X} \mathbf {A} ^{-(n+1-i)}+{\mathcal {O}}\left(\varepsilon ^{2}\right).\end{aligned}}}
一般逆 逆行列のいくつかの性質は 一般化逆行列 （例えば、 ムーア・ペンローズ逆行列）と共有されており、任意の m 行 n 列行列に対して定義することができる 。 [18]
アプリケーション ほとんどの実用的なアプリケーションでは、 線形方程式系を 解くために行列を逆行列化する必要は ありません 。ただし、一意の解を得るには、 関係する行列が逆行列化可能である必要
があります。
LU 分解 などの分解手法は 逆変換よりもはるかに高速であり、特殊なクラスの線形システム用のさまざまな高速アルゴリズムも開発されています。
回帰/最小二乗法 明示的な逆行列は未知数のベクトルを推定するのに必ずしも必要ではないが、その精度を推定する最も簡単な方法であり、逆行列の対角成分（未知数のベクトルの事後共分散行列）に見られる。しかし、多くの場合、逆行列の対角成分のみを計算するより高速なアルゴリズムが知られている。 [19]
リアルタイムシミュレーションにおける逆行列 行列反転は、コンピュータ グラフィックス 、特に 3D グラフィックスの レンダリングと 3D シミュレーションにおいて重要な役割を果たします 。例としては、スクリーンからワールドへの レイ キャスティング 、ワールドからサブスペース、そしてワールドへのオブジェクト変換、物理シミュレーションなどがあります。
MIMO無線通信における行列の逆行列 逆行列は、 無線通信における MIMO (Multiple-Input, Multiple-Output) 技術でも重要な役割を果たします 。MIMO システムは、 N 本の 送信アンテナと M 本の 受信アンテナで構成されます。同じ 周波数帯域を占める固有の信号が N 本の 送信アンテナを介して送信され、 M 本 の受信アンテナを介して受信されます 。各受信アンテナに到着する信号は、 N × M の 送信行列 Hを形成する N 個 の送信信号 の 線形結合 になります。受信機が送信された情報を理解できるようにするには、
行列 H が逆行列であることが重要です。
参照
参考文献
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さらに読む
外部リンク サンダーソン、グラント（2016年8月15日）。「逆行列、列空間、ヌル空間」。 線形代数のエッセンス 。2021年11月3日時点のオリジナルよりアーカイブ – YouTube 経由。 Strang, Gilbert. 「逆行列に関する線形代数の講義」。MIT OpenCourseWare 。 ムーア・ペンローズ逆行列
![{\displaystyle \left[\Lambda ^{-1}\right]_{ii}={\frac {1}{\lambda _{i}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/839af615243151e8666a32caa26ab67108145c32)
![{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}\left[\left(\operatorname {tr} \mathbf {A} \right)\mathbf {I} -\mathbf {A} \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6a9c4572ae4bc8d969f0b14145493efd4791a32)
![{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\left({\tfrac {1}{2}}\left[(\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{2})\right]\mathbf {I} -\mathbf {A} \operatorname {tr} \mathbf {A} +\mathbf {A} ^{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc10af816c89a710029a19ba88348fb4a5461127)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\Bigl (}&{\tfrac {1} {6}}{\bigl (}(\演算子名 {tr} \mathbf {A} )^{3}-3\演算子名 {tr} \mathbf {A} \演算子名 {tr} (\mathbf {A} ^{2})+2\演算子名 {tr} (\mathbf {A} ^{3}){\bigr )}\mathbf {I} \\[-3mu]&\ \ \ - {\tfrac {1}{2}}\mathbf {A} {\bigl (}(\演算子名 {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{2}){\bigr )}+\mathbf {A} ^{2}\operatorname {tr} \mathbf {A} -\mathbf {A} ^{3}{\Bigr )}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9859ab9c4addcbf0bb057937445ed9c9e092182)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {W} _{1}&=\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1},\\[3mu]\mathbf {W} _{2} &=\mathbf {W} _{1}\mathbf {C} ^{T}=\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {C} ^{T},\\[3mu]\mathbf {W} _{3}&=\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {W} _{1}=\mathbf {S} ^{-1 }\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1},\\[3mu]\mathbf {W} _{4}&=\mathbf {W} _{1}^{T}\mathbf {W} _{3}=\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {C} ^{T}\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ada99a4424fbb8a19739c81f545835834a1c27f3)
![{\displaystyle \mathbf {X} =\left[x^{ij}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bcdbd40b9ad9e18e49f3dbee92a5f67de48c667)
![{\displaystyle \mathbf {X} ^{-1}=[x_{ji}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78d43f884ab940a905153b017d09490e0ed6a6e9)
![{\displaystyle \mathbf {X} \mathbf {X} ^{-1}=\left[\mathbf {x} _{i}\cdot \mathbf {x} ^{j}\right]=\left[\デルタ _{i}^{j}\right]=\mathbf {I} _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3b784769b878e5e00d9c003037c0e0aa44dd292)
![{\displaystyle \mathbf {X} ^{-1}\mathbf {X} =\left[\left(\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {x} ^{k}\right)\left (\mathbf {e} ^{j}\cdot \mathbf {x} _{k}\right)\right]=\left[\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}\right]=\left[\delta _{i}^{j}\right]=\mathbf {I} _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8b3a1a25ab9213ccc1996b44c9dbc688c4b4068)
