フロベニウス正規形

線型代数において、体Fを要素とする正方行列Aのフロベニウス正規形または 有理標準形は、 F上の可逆行列による共役によって得られる行列の標準形である。この形式は、ベクトル空間をAについて巡回する（つまり、何らかのベクトルとAの下でのその反復像によって張られる）部分空間に最小限分解することを反映している。与えられた行列からは 1 つの正規形しか到達できない（したがって「標準形」である）ため、行列B がAに類似するのは、それがAと同じ有理標準形を持つ場合のみである。この形式は、体F を拡張するときに変わる可能性のある操作（したがって「有理数」である）なしで、特に多項式を因数分解せずに見つけることができるため、2 つの行列が類似しているかどうかは体の拡張によって変わらないことが示される。この形式は、ドイツの数学者フェルディナント・ゲオルク・フロベニウスにちなんで名付けられている。

一部の著者は、より適切には一次有理正準形式と呼ばれるやや異なる形式に対して有理正準形式という用語を使用しています。最小数の巡回部分空間に分解する代わりに、一次形式は最大数の巡回部分空間に分解します。これもF上で定義されますが、多少異なる特性があります。形式を見つけるには多項式の因数分解が必要であり、その結果、同じ行列がFの拡大体上で考慮されると一次有理正準形式が変化する可能性があります。この記事では主に因数分解を必要としない形式を扱い、因数分解を使用する形式を意味する場合は明示的に「一次」に言及します。

2 つの正方行列AとBが類似しているかどうかを調べようとする場合、1 つの方法は、それぞれについて、ベクトル空間をできるだけ安定な部分空間の直和に分解し、これらの部分空間に対するそれぞれの作用を比較することです。たとえば、両方が対角化可能である場合、固有空間への分解(この場合の作用はスカラーによる最も単純なもの) を行うことができ、次に、固有値とその重複度を比較することで類似性を判断できます。実際には、これは非常に洞察に富んだアプローチであることが多いのですが、一般的な方法としてはさまざまな欠点があります。まず、たとえば特性多項式の根としてすべての固有値を見つける必要がありますが、それらの明示的な表現を与えることができない場合があります。次に、完全な固有値のセットは、作業している体の拡大にのみ存在する可能性があり、その場合は元の体に対する類似性の証明が得られません。最後に、AとB はこのより大きな体上でも対角化できない可能性があります。その場合、代わりに一般化固有空間への分解、場合によってはジョルダン ブロックへの分解を使用する必要があります。

しかし、このような細かい分解を得ることは、2 つの行列が類似しているかどうかを判断するためだけに必要というわけではありません。有理標準形は、代わりに直和分解をできるだけ大きな安定部分空間に使用することに基づいていますが、それでも各部分空間への作用の非常に単純な記述が可能です。これらの部分空間は、単一の非ゼロベクトルvとそのすべての像に、行列に関連付けられた線型演算子を繰り返し適用することで生成する必要があります。このような部分空間は巡回部分空間 (巡回 部分群との類推による) と呼ばれ、線型演算子の下では明らかに安定しています。このような部分空間の基底は、 vとその連続する像が線型独立である限り、それらをとることで得られます。このような基底に関する線型演算子の行列は、単項多項式のコンパニオン行列です。この多項式（部分空間に制限された演算子の最小多項式、この概念は巡回部分群の順序の概念に類似している）は、同型まで巡回部分空間上の演算子の作用を決定し、部分空間を生成するベクトルvの選択とは無関係である。

巡回部分空間への直和分解は常に存在し、それを見つけるのに多項式を因数分解する必要はありません。ただし、巡回部分空間では、より小さな巡回部分空間の直和として分解できる可能性があります (基本的に中国剰余定理による)。したがって、両方の行列について空間を巡回部分空間に分解し、対応する最小多項式を知っているだけでは、それらの類似性を判断するのに十分ではありません。類似の行列について、完全に一致する巡回部分空間への分解が得られることを保証するために、追加の条件が課されます。つまり、関連する最小多項式のリストでは、それぞれが次の多項式を割り切れる必要があります (定数多項式 1 は、自明な巡回部分空間を除外することは禁止されています)。結果として得られる多項式のリストは、行列(によって定義されるK [ X ]モジュール) の不変因子と呼ばれ、2 つの行列が類似するのは、不変因子のリストが同一である場合のみです。行列Aの有理標準形は、関連する最小多項式がAの不変因子である巡回部分空間への分解に適合した基底で表現することによって得られます。2 つの行列は、同じ有理標準形を持つ場合にのみ類似しています。

Q上の次の行列 A を考えます。

${\displaystyle \scriptstyle A={\begin{pmatrix}-1&3&-1&0&-2&0&0&-2\\-1&-1&1&1&-2&-1&0&-1\\-2&-6&4&3&-8&-4&-2&1\\-1&8&-3&-1&5&2&3&-3\\0&0&0&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&-1&0&0&0&0\\1&0&0&0&2&0&0&0\\0&0&0&0&4&0&1&0\end{pmatrix}}.}$

A は極小多項式 を持つので、単一ベクトルの反復像によって生成される部分空間の次元は最大で 6 です。特性多項式は で、これは極小多項式の因数 倍です。ベクトル は常に存在し、そのベクトルによって生成される巡回部分空間は、演算子が空間全体に対して持つのと同じ極小多項式を持ちます。実際、ほとんどのベクトルがこの特性を持ち、この場合、最初の標準基底ベクトルがそうです。つまり、のベクトルは線形独立で、極小多項式 を持つ巡回部分空間を張ります。この巡回部分空間には相補的な安定部分空間 (次元 2) が存在し、ベクトル および によって生成される空間はその一例です。実際、 が存在するので、相補部分空間は によって生成される巡回部分空間であり、極小多​​項式 を持ちます。 は空間全体の極小多項式なので、 が割り切れることは明らかです(割り切れることは簡単に確認できます)。また、 Aの不変因数および が見つかりました。すると、 Aの有理標準形は、対応する行列を対角ブロックとする ブロック対角行列となり、すなわち${\displaystyle \mu =X^{6}-4X^{4}-2X^{3}+4X^{2}+4X+1}$${\displaystyle \chi =X^{8}-X^{7}-5X^{6}+2X^{5}+10X^{4}+2X^{3}-7X^{2}-5X-1}$${\displaystyle X^{2}-X-1}$${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle A^{k}(e_{1})}$${\displaystyle k=0,1,\ldots ,5}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle v=(3,4,8,0,-1,0,2,-1)^{\top }}$${\displaystyle w=(5,4,5,9,-1,1,1,-2)^{\top }}$${\displaystyle A\cdot v=w}$${\displaystyle v}$${\displaystyle X^{2}-X-1}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle X^{2}-X-1}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle X^{2}-X-1}$${\displaystyle \mu =X^{6}-4X^{4}-2X^{3}+4X^{2}+4X+1}$

${\displaystyle \scriptstyle C={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&-1\\0&0&1&0&0&0&0&0&-4\\0&0&0&1&0&0&0&0&-4\\0&0&0&0&1&0&0&0&2\\0&0&0&0&0&1&0&4\\0&0&0&0&0&0&0&1&0\end{pmatrix}}.}$

この形式が達成される基底は、上記のベクトルと、それに続く によって形成される。これは、 に対して が明示的に意味する。 ${\displaystyle v,w}$${\displaystyle A^{k}(e_{1})}$${\displaystyle k=0,1,\ldots ,5}$

${\displaystyle \scriptstyle P={\begin{pmatrix}3&5&1&-1&0&0&-4&0\\4&4&0&-1&-1&-2&-3&-5\\8&5&0&-2&-5&-2&-11&-6\\0&9&0&-1&3&-2&0&0\\-1&-1&0&0&0&1&-1&4\\0&1&0&0&0&0&-1&1\\2&1&0&1&-1&0&2&-6\\-1&-2&0&0&1&-1&4&-2\end{pmatrix}}}$、

1つは${\displaystyle A=PCP^{-1}.}$

基底体FとF上の有限次元ベクトル空間 Vを固定します。多項式P ∈ F [ X ] が与えられると、それに関連付けられた行列C _Pの特性多項式と最小多項式の両方がPに等しくなります。

定理：V を体F上の有限次元ベクトル空間とし、A をF上の正方行列とする。すると、V（Xの作用がAによって与えられるF [ X ]加群として見ると）はF [ X ] 加群同型を 許容する。

V ≅ F [ X ]/ f ₁ ⊕ … ⊕ F [ X ]/ f _k

ここで、f _i ∈ F [ X ]は正の次数の単項式（つまりF [ X ]の非単位）とみなされ、次の関係を満たす。

f ₁ | f ₂ | … | f _k

(ここで、「a | b」は「a はbを割り切る」の表記です)。これらの条件により、多項式f _iのリストは一意になります。

証明の概要:主イデアル領域上の有限生成加群の構造定理をVに適用し、これをF [ X ] 加群と見なします。構造定理は、それぞれがF [ X ] を適切なイデアルで割ったものである巡回因子への分解を提供します。結果として得られる自由加群はFベクトル空間として無限次元になりますが、 V は有限次元であるため、零イデアルは存在できません。多項式f _iに対して、それぞれのイデアルの一意のモニック生成元を取ります。構造定理により、すべてのイデアルが前のイデアルに含まれることが保証されるため、 f _iの除算条件が得られます。詳細については [DF] を参照してください。

任意の正方行列が与えられた場合、ジョルダン正規形の構築に使用される基本因子はF [ X ]上に存在しないため、代わりに上記の不変因子f _iを使用する必要があります。これらの因子f _kの最後のものは最小多項式であり、したがってすべての不変因子で割り切れ、不変因子の積が特性多項式になります。これは、最小多項式が特性多項式を割り切れること (これは本質的にケーリー-ハミルトン定理です)、および特性多項式のすべての既約因子も最小多項式を割り切れる (重複度は低くなる可能性があります) ことを意味することに注意してください。

各不変因子f _iについて、その伴行列 C _{f i}を取り、これらのブロックから形成されるブロック対角行列は、Aの有理標準形を生成します。最小多項式が特性多項式と同一である場合 ( k  = 1 の場合)、フロベニウス正規形は特性多項式の伴行列です。有理標準形はAに関連付けられた一意の不変因子によって一意に決定され、これらの不変因子は基底に依存しないため、2 つの正方行列AとBが同じ有理標準形を持つ場合にのみ、これらが類似していることになります。

フロベニウス正規形は、たとえ基底体F上に特性多項式の因数分解が存在するとしても、その形式を反映しません。これは、 F が別の体に置き換えられても不変であることを意味します（元の行列Aの要素が含まれている限り）。一方、これによりフロベニウス正規形は、特性多項式の因数分解に依存する他の正規形、特に対角形式（ Aが対角化可能な場合）や、より一般的にはジョルダン正規形（特性多項式が線形因子に分割される場合）とはかなり異なります。たとえば、異なる対角要素を持つ対角行列のフロベニウス正規形は、その特性多項式のコンパニオン行列にすぎません。

正規形を定義する別の方法があり、フロベニウス正規形と同様に、常にAと同じ体F上で定義されますが、特性多項式（または同等の最小多項式）をF上の既約因子に因数分解する可能性を反映しており、この因数分解が線形因子（固有値に対応）のみを含む場合、ジョルダン正規形に簡約されます。この形式^[1]は、一般化ジョルダン正規形、または一次有理標準形と呼ばれることもあります。これは、ベクトル空間が（レム・デ・ノワイオー [  fr] ^[2]で述べられているように）特性多項式の異なる既約因子Pに対応する安定した部分空間の直和に標準的に分解できることに基づいています。ここで、各加数の特性多項式は、対応するPの累乗です。これらの加数は、さらに非標準的に、巡回F [ x ] 加群の直和として分解することができます (上記のフロベニウス標準形の場合と同様に)。ここで、各加数の特性多項式は依然として (一般に小さい) Pのべき乗です。主要な有理標準形は、巡回加群へのこのような分解に対応するブロック対角行列であり、対角ブロック内の特定の形式は一般化ジョルダン ブロックと呼ばれ、巡回加群の基底の特定の選択に対応しています。この一般化ジョルダン ブロックは、それ自体が次の形式の ブロック行列です。

${\displaystyle \scriptstyle {\begin{pmatrix}C&0&\cdots &0\\U&C&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &U&C\end{pmatrix}}}$

ここで、C は既約多項式Pの伴行列であり、U は右上隅に 1 がある唯一の非ゼロ要素を持つ行列である。線形既約因子P = x − λの場合、これらのブロックは単一の要素C = λおよびU = 1に縮小され 、（転置された）ジョルダンブロックが見つかる。任意の一般化されたジョルダンブロックでは、主対角線のすぐ下の要素はすべて 1 である。この形式を生成する巡回モジュールの基底は、生成ベクトルv （巡回モジュールの最小多項式がP ^kであるP ^{k −1} ( A )によって消滅しないベクトル）を選択し、基底として

${\displaystyle v,A(v),A^{2}(v),\ldots ,A^{d-1}(v),~P(A)(v),A(P(A)(v)),\ldots ,A^{d-1}(P(A)(v)),~P^{2}(A)(v),\ldots ,~P^{k-1}(A)(v),\ldots ,A^{d-1}(P^{k-1}(A)(v))}$

ここでd = deg  Pです。

• スミス正規形

• [DF] David S. Dummit と Richard M. Foote。抽象代数。第 2 版、John Wiley & Sons。pp. 442、446、452-458。ISBN 0-471-36857-1 。

• 有理標準形 (Mathworld)

• フロベニウス正規形のO(n3)アルゴリズム
• フロベニウス正規形のアルゴリズム (pdf)
• 有理標準形アルゴリズム (pdf)