幾何代​​数（書籍）

『幾何代数』は、エミール・アルティンによって書かれ、1957年にニューヨークのインターサイエンス出版社から出版された本です。1988年にワイリークラシックスシリーズ（ ISBN  0-471-60839-4）で再出版されました。

1962年にミシェル・ラザールによるフランス語訳『Algèbre Géométrique』がゴーティエ＝ヴィラール社から出版され、1996年に再版された。（ISBN 2-87647-089-6）1968年にはミラノでフェルトリネッリ社からイタリア語訳が出版された。^[1] 1969年にはモスクワでナウカ社からロシア語訳が出版された^[2] 

バルテル・ファン・デル・ワールデンがアルティンの講義で取ったノートを自分のバージョンとして出版した『Moderne Algebra』（1930 年）の続編として長い間待望されていた『Geometric Algebra』は、数学を学ぶ大学院生に適した研究論文です。序文より:

線型代数、位相幾何学、微分幾何学、代数幾何学は、現代の数学者にとって欠かせないツールです。これらの偉大な思想とは一線を画し、大学院の初級者や上級の学部生にさえも提供できる幾何学的な性質のコースを考案することがしばしば望まれます。本書は、1955 年にニューヨーク大学で行われたこの種のコースの講義ノートから発展したものです。このコースは、アフィン幾何学の基礎、二次形式の幾何学、一般線型群の構造を中心に展開されました。私は、射影幾何学とシンプレクティック幾何学、さらにシンプレクティック群と直交群の構造を含めて、これらのノートの内容を拡張する必要があると感じました。

この本の第 2 章では、カール・フォン・シュタウトとデイヴィッド・ヒルベルトが以前に探求した幾何学的公理から体公理への道筋をたどりながら、 6 つの幾何学的構成が図解されています。

第 1 章のタイトルは「予備概念」です。10 のセクションでは、集合論、ベクトル空間、準同型、双対性、線形方程式、群論、体論、順序体、および評価の概念について説明します。ページ vii で、Artin は「第 1 章は、特定の孤立した定理の証明の参照章として主に使用してください」と述べています。

第 2 章のタイトルは「アフィン幾何学と射影幾何学」です。Artin は、幾何学の公理から代数 (体k ) を生成するという課題を提起しています。

点の集合と直線の集合という 2 つの集合の要素をオブジェクトとする平面幾何学が与えられ、幾何学的性質の特定の公理が真であると仮定します。幾何学の点をkからの座標で記述でき、直線を線形方程式で記述できるような体k を見つけることは可能ですか?

平行性の反射的変形が呼び出されます。平行線は、すべての点が共通しているか、まったく共通していないかのどちらかです。したがって、線はそれ自身に対して平行です。

公理 1 では、異なる点の各ペアに対して一意の直線と、非平行直線の一意の交点が必要です。公理 2 は直線と点に依存しており、直線に平行で点を通る唯一の平行点が必要です。公理 3 では、3 つの非共線上の点が必要です。公理 4a では、任意の点を他の点に移動するには平行移動が必要です。公理 4b では、 3 つの点が共線上にあるときに、 Pでの拡大によってQ をRに移動する必要があります。

アルティンは、 PとQ を通る直線をP + Qと書きます。膨張を定義するために、彼は「2 つの異なる点PとQおよびそれらの像P ′ とQ ′ が与えられるものとする」と書いています。幾何学における入射の役割を示唆するために、膨張は次のような性質によって指定されます。「l ′ がP + Qに平行でP ′ を通る直線である場合、Q ′ はl ′上にあります。」もちろん、P ′ ≠ Q ′ の場合、この条件はP + Q がP ′ + Q ′に平行であることを意味するため、膨張はアフィン変換になります。

固定点のない拡大は並進であり、並進群Tは拡大群の不変部分群であることが示されます。拡大σと点Pの場合、トレースはP + σPです。トレース保存準同型であるマッピングT → Tはkの元です。まずk は1 を持つ結合環であることが示され、次に歪体であることが示されます。

逆に、任意の歪体kに基づくアフィン幾何学が存在します。公理 4a と 4b はデザルグの定理と同等です。パップスの六角形定理がアフィン幾何学で成り立つ場合、 k は可換であり、したがって体です。

第 3 章のタイトルは「シンプレクティック幾何学と直交幾何学」です。シンプレクティック幾何学と直交幾何学を定義し、それらの共通点と特殊点を説明する前に、ベクトル空間上の距離構造について説明します。有限体上および順序体上の幾何学に関するセクションもあります。

第 4 章は一般線型群についてです。まず、 Jean Dieudonneの「非可換体」(分割環) 上の行列式の理論があります。Artin は GL( n,k ) 群の構造について説明します。有限体上のベクトル空間についてさらに詳しく説明します。

第 5 章は「シンプレティック群と直交群の構造」です。楕円空間、クリフォード代数、スピノルムに関するセクションが含まれています。

アリス・T・シェーファーは「数学者は多くのページから、著者が主題を深く理解し、特にエレガントな方法で資料を提示する能力を十分に証明することを発見するだろう」と書いている。彼女はアルティンのテキストとベールの『線型代数と射影幾何学』やディウドネの『古典群の幾何学』の間に重なりがあることを指摘している。^[3]

ジャン・ディドネは『数学評論』誌でこの本を批評し、ヒルベルトの『幾何学の基礎』と同等のレベルに位置付けた。^[4]

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