シュワルツ三角形

幾何学において、シュワルツの三角形は、ヘルマン・シュワルツにちなんで名付けられた球面三角形であり、その辺の反射を利用して、場合によっては重なり合いながら球をタイル張り(球面タイリング) するために使用できます。これらは、シュワルツ (1873) によって分類されました。

これらは、より一般的には、球面、ユークリッド平面、または双曲平面のモザイク分割として定義できます。球面上の各シュワルツの三角形は有限群を定義しますが、ユークリッド平面または双曲平面上では無限群を定義します。

シュワルツの三角形は、それぞれ頂点の角度を表す3 つの有理数 ( p q r )で表されます。値n ⁄ d は、頂点の角度が半円のd ⁄ nであることを意味します。「2」は直角三角形を意味します。これらが整数の場合、三角形はメビウスの三角形と呼ばれ、重複しないタイリングに対応し、対称グループは三角形グループと呼ばれます。球面には 3 つのメビウスの三角形と 1 つの 1 パラメータ ファミリがあります。平面には 3 つのメビウスの三角形がありますが、双曲空間には 3 パラメータのメビウスの三角形のファミリがあり、例外的なオブジェクトはありません。

頂点角がπ ⁄ p、π ⁄ q、π ⁄ rである基本領域三角形( pqr )は、これらの整数の逆数の合計の値に応じて異なる空間に存在することができます。

$${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}\quad {\begin{cases}>1&\implies {\text{Sphere}}\\[2pt]=1&\implies {\text{Euclidean plane}}\\[2pt]<1&\implies {\text{Hyperbolic plane}}\end{cases}}}$$

これは単に、ユークリッド空間では三角形の内角の合計はπであるのに対し、球面上ではπよりも大きな角度になり、双曲空間上では π よりも小さな角度になるということを言っているだけです。

シュワルツの三角形は、三角形のグラフで表現されます。各ノードは、シュワルツの三角形の辺（ミラー）を表します。各辺には、反射次数に対応する有理数値（π/頂点角）が付けられます。

オーダー 2 のエッジは、この図では無視できる垂直ミラーを表します。Coxeter -Dynkin 図は、オーダー 2 のエッジが非表示になっているこの三角グラフを表します。

コクセター群は、より単純な表記法として、巡回グラフの場合は( p q r )、(直角三角形)の場合は( p q 2) = [ p , q ]、( p 2 2) = [ p ]×[]として使用できます。

整数を含むシュワルツの三角形は、メビウスの三角形とも呼ばれ、1 つの 1 パラメータ ファミリと 3 つの例外的なケースが含まれます。

1. [ p ,2] または ( p 2 2) –二面体対称性、
2. [3,3] または (3 3 2) –四面体対称性、
3. [4,3] または (4 3 2) –八面体対称性、
4. [5,3] または (5 3 2) –二十面体対称性、

密度によってグループ化されたシュワルツの三角形（pqr ）：

密度1:

1. (3 3 3) – 60-60-60 (正三角形)、
2. (4 4 2) – 45-45-90 (直角二等辺三角形)
3. (6 3 2) – 30-60-90、

密度2:

1. (6 6 3/2) - 120-30-30 三角形

密度∞:

1. （4 4/3 ∞）
2. （3 3/2 ∞）
3. （6 6/5 ∞）

密度1:

• (2 3 7)、(2 3 8)、(2 3 9) ... (2 3 ∞)
• (2 4 5)、(2 4 6)、(2 4 7) ... (2 4 ∞)
• (2 5 5)、(2 5 6)、(2 5 7) ... (2 5 ∞)
• (2 6 6)、(2 6 7)、(2 6 8) ... (2 6 ∞)
• (3 3 4)、(3 3 5)、(3 3 6) ... (3 3 ∞)
• (3 4 4)、(3 4 5)、(3 4 6) ... (3 4 ∞)
• (3 5 5)、(3 5 6)、(3 5 7) ... (3 5 ∞)
• (3 6 6)、(3 6 7)、(3 6 8) ... (3 6 ∞)
• ...
• (∞ ∞ ∞)

密度2:

• (3/2 7 7)、(3/2 8 8)、(3/2 9 9) ... (3/2 ∞ ∞)
• (5/2 4 4)、(5/2 5 5)、(5/2 6 6) ... (5/2 ∞ ∞)
• (7/2 3 3)、(7/2 4 4)、(7/2 5 5) ... (7/2 ∞ ∞)
• (9/2 3 3)、(9/2 4 4)、(9/2 5 5) ... (9/2 ∞ ∞)
• ...

密度3:

• (2 7/2 7)、(2 9/2 9)、(2 11/2 11) ...

密度4:

• (7/3 3 7)、(8/3 3 8)、(3 10/3 10)、(3 11/3 11) ...

密度6:

• (7/4 7 7)、(9/4 9 9)、(11/4 11 11) ...
• (7/2 7/2 7/2)、(9/2 9/2 9/2)、...

密度10:

• (3 7/2 7)

(2 3 7) シュワルツ三角形は最小の双曲シュワルツ三角形であり、それ自体が特に興味深いものです。その三角形群 (または、より正確には、方向保存等長写像の指数 2フォン ディック群) は(2,3,7) 三角形群であり、これはすべてのフルヴィッツ群(リーマン面の等長写像の最大群) の普遍群です。すべてのフルヴィッツ群は (2,3,7) 三角形群の商であり、すべてのフルヴィッツ面は (2,3,7) シュワルツ三角形で覆われています。最小のフルヴィッツ群は位数 168 の単純群で、2 番目に小さい非可換単純群であり、 PSL(2,7)と同型であり、関連するフルヴィッツ面 (種数 3) はクラインの四次式です。

(2 3 8)三角形は、種数2の高度に対称な（しかしフルヴィッツではない） 曲面であるボルツァ曲面を敷き詰めます。

上記の非整数角を1つ持つ三角形は、アンソニー・W・ナップによって初めて分類されました。^[1] 複数の非整数角を持つ三角形のリストは、^{[2]に記載されています。}

このセクションでは、シュワルツ三角形による双曲上半平面のモザイク分割について、初等的方法を用いて論じる。「尖点」、つまり角度がゼロであるか、実軸上の頂点と同義である三角形については、Carathéodory (1954) の初等的アプローチに従う。1 つまたは 2 つの尖点を持つ三角形については、Hecke (1935) のアプローチを簡略化した Evans (1973) の初等的議論を使用する。1 つの角度がゼロで、もう 1 つの角度が直角であるシュワルツ三角形の場合、三角形の鏡映群の方向保存部分群はHecke 群である。すべての角度がゼロで、すべての頂点が実軸上にある理想的な三角形については、モザイク分割の存在は、 Hardy & Wright (2008) および Series (2015) で説明されているFarey 級数に関連付けることで確立される。この場合、モザイク分割は、リーマン球面上の 3 つの接する円に関連付けられたものと見なすことができます。これは、3 つの互いに交わらない入れ子でない円とその反射群、いわゆる「ショットキー群」に関連付けられた構成の極限ケースであり、Mumford、Series、Wright (2015) で詳しく説明されています。あるいは、理想三角形を角度 0、π /2、π /3 の 6 つの三角形に分割することにより、理想三角形によるモザイク分割は、1 つまたは 2 つの尖端を持つ三角形によるモザイク分割として理解できます。

双曲三角形Δ が角度π / a、π / b、π / cを持ち、 a、b、cが1より大きい整数であるとします。 Δ の双曲面積はπ – π / a – π / b – π / cに等しいので、

${\displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}<1.}$

テッセレーションの構築は、まずa、b、cが2より大きい場合に実行されます。^[3]

元の三角形 Δ は、 3 つの頂点を持つ凸多角形P ₁になります。3 つの頂点のそれぞれで、三角形を頂点から出ている辺を通して順次反射して、頂点の角度がπ / mである三角形の2 m 個のコピーを作成できます。三角形は辺を除いて重なることはなく、半分は向きが反転し、点の近傍をタイル張りするようにフィットします。これらの新しい三角形と元の三角形の結合により、接続された図形P _{2が形成されます。これは、辺または頂点でのみ交差する三角形で構成され、すべての角度が}π以下で、各辺が反射された三角形の辺である凸多角形を形成します。Δ の角度がπ /3に等しい場合、 P ₂の頂点の内角はπになりますが、これはP ₂の凸性には影響しません。角度πが生じるこの退化したケースでも、2 つの同一直線上のエッジは、構築の目的上は依然として別個のものとして扱われます。

P ₂の構築は、いくつかの三角形またはタイルが 2 回追加されていることに注目すると、より明確に理解できます。そのうち 3 つは、元の三角形と共通の辺を持っています。残りは、共通の頂点のみを持っています。タイリングを実行するより体系的な方法は、最初に各辺にタイルを追加し (その辺の三角形の反射)、次に各頂点のギャップを埋めることです。この結果、合計 3 + (2 a - 3) + (2 b - 3) + (2 c - 3) = 2( a + b + c ) - 6 の新しい三角形が作成されます。新しい頂点には 2 つの種類があります。元の三角形の辺に取り付けられた三角形の頂点で、Δ の 2 つの頂点に接続されている頂点です。これらの各頂点は、その頂点で交差する 3 つの新しい三角形にあります。残りは Δ の一意の頂点に接続され、共通の辺を持つ 2 つの新しい三角形に属します。したがって、3 + (2 a - 4) + (2 b - 4) + (2 c - 4) = 2( a + b + c ) - 9 個の新しい頂点があります。構築上、重複はありません。P _{2が凸であることを確認するには、新しい頂点で交わる辺の間の角度が}π以下になることを確認すれば十分です。ただし、新しい頂点は、その頂点で交わる 2 つまたは 3 つの新しい三角形内にあるため、その頂点での角度は、要求どおり 2 π /3 またはπ以下になります。

このプロセスはP ₂についても繰り返すことができ、まずP _{2の各辺にタイルを追加し、次に}P ₂の各頂点の周りのタイルを埋めることでP ₃を得ることができます。次に、このプロセスをP ₃から繰り返してP ₄を取得し、以下同様にして、P _{n – 1}からP _{n を}連続的に生成します。これらはすべて、タイルが重ならない凸多角形であることが帰納的に確認できます。実際、プロセスの最初のステップと同様に、P _{n – 1}からP _{n を}構築する際には、 P _{n – 1}の辺に取り付けられたタイルと単一の頂点に取り付けられたタイルの 2 種類のタイルがあります。同様に、頂点にも 2 種類あり、1 つは 2 つの新しいタイルが交わる頂点、もう 1 つは 3 つのタイルが交わる頂点です。したがって、タイルが重ならなければ、前の議論から、頂点の角度はπ以下であり、したがってP _{n は}凸多角形であることが示されます。^[a]

したがって、 P _{n − 1}からP _nを構築する際には次のことが検証されなければならない: ^[4]

(a) を証明するには、凸性により、多角形P _{n − 1}は、その境界を定義する完全な円弧によって定義される凸半空間の交差であることに留意してください。したがって、 P n − 1 の特定の頂点には、2_つのセクターを定義するそのような円弧が 2 つあります。1 つのセクターにはP _{n − 1}の内部が含まれ、もう 1 つのセクターには、特定の頂点の周りに追加された新しい三角形の内部が含まれます。これは、メビウス変換を使用して上半平面を単位円に、頂点を原点にマッピングすることで視覚化できます。多角形の内部と新しい三角形のそれぞれは、単位円の異なるセクターにあります。したがって、(a) は証明されます。

(c)と(b)を証明する前に、メビウス変換を適用して上半平面を単位円に、Δの内部の不動点を原点にマッピングすることができます。

(c) の証明は帰納法で進める。ちょうど 2 つの三角形 P n − 1 が頂点で交わる場合、原点と多角形 P n − 1 の頂点を結ぶ半径は、その頂点で多角形の各辺と 2 π /3 未満の角度をなす。_これは、各_三角形がその頂点でπ /3以下の角度を持つためである。3 つの三角形P _{n − 1}が頂点 Cで交わるときにこれが真であるかどうかを確認するには、中央の三角形の底辺がP _{n − 2}の辺AB上にあると仮定する。帰納法により、半径OAとOB は辺ABと 2 π /3以下の角度をなす。この場合、半径OAとOB の間の扇形で辺AB の外側の領域は、3 つの凸領域の交点として凸である。帰納法により、角度AとBはπ /3以上である 。したがって、 AとBからCへの測地線は領域内から始まります。凸性により、三角形ABC は完全に領域内にあります。四辺形OACB のすべての角度はπ未満であるため( OABは測地三角形であるため)、凸です。したがって、半径OC はC付近の三角形ABCの角度の内側にあります。したがって、 OCとC で交わるP _{n – 1}の 2 つの辺の間の角度は、主張どおりπ /3 + π /3 = 2 π /3以下です。

_{(b )}を証明するには、 Pn内の新しい三角形がどのように交差するかを調べる必要があります。

まず、 P _{n – 1}の辺に追加されたタイルを検討します。 (c) と同様の表記法を採用して、AB をタイルの底辺、C を3 番目の頂点とします。すると、半径OAとOB は辺ABと 2 π /3以下の角度をなし、 (c) の証明の推論を適用して、三角形ABC が半径OAとOBによって定義されるセクター内にあることが証明されます。これは、 P _{n – 1}の各辺に当てはまります。異なる辺によって定義されるセクターの内部は互いに素であるため、このタイプの新しい三角形は、主張されているようにのみ交差します。

次に、 P _{n – 1}の各頂点に追加されるタイルを検討します。頂点をAとすると、 P _{n – 1}の2 つの辺AB ₁とAB _2はAで交わります。C ₁とC _{2 を}、これらの辺に追加されたタイルの追加頂点とします。ここで、Aに追加されたタイルは、半径OB ₁とOB ₂で定義されるセクター内にあります。頂点C ₂ O、C ₁、および追加タイルの頂点を持つ多角形は、すべての内角がπ未満であるため凸型です。したがって、半径OC ₁とOC ₂で定義されるセクター内に完全に含まれます。これらのセクターの内部はすべて互いに素であるため、追加されたタイルがどのように交差するかに関するすべての主張が成り立ちます。

最後に、三角形の和集合によって形成されるタイリングが上半平面全体をカバーすることを証明する必要があります。タイリングによってカバーされる任意の点z は、ポリゴンP _nにあり、したがってポリゴンP _{n +1}にあります。したがって、元の三角形 Δ のコピーと、P _{n +1}に完全に含まれるP _{2のコピーの両方に存在します。 Δ と}P ₂の外部との間の双曲距離はr > 0に等しくなります。したがって、 zとタイリングによってカバーされていない点との間の双曲距離は少なくとも rです。これはタイリング内のすべての点に当てはまるため、タイリングによってカバーされる集合は閉じています。一方、タイリングはポリゴンP _nの内部の和集合と一致するため開いています。接続性により、テッセレーションは上半平面全体をカバーする必要があります。

Δの角度が直角の場合の扱い方を理解するには、不等式

${\displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}<1}$。

は、角度の 1 つが直角 (たとえばa = 2)の場合、 bとc は両方とも 2 より大きく、そのうちの 1 つ (たとえばb ) は 3 より大きくなければならないことを意味します。 この場合、三角形を辺 AB で反射すると、角度π / c、π / c、および 2 π / b を持つ二等辺双曲三角形が得られます。 2 π / b ≤ π /3、つまりbが 5 より大きい場合、2 倍になった三角形のすべての角度はπ /3 以下になります。 その場合、上記の凸多角形を増やすことによるテッセレーションの構築は、このケースに一字一句そのまま適用されます。ただし、角度 2 π / bの頂点の周りでは、頂点の近傍をタイル張りするのに三角形のbコピーのみが必要であり、 2 bコピーは必要ありません。 これは、2 倍になった三角形が二等辺三角形であるため可能です。 2倍になった三角形のタイル分割は、全ての大きな三角形を半分に切った元の三角形のタイル分割と同じになります。^[5]

残っているのは、 b が4 または 5 の場合の処理​​です。 b = 4 の場合、c ≥ 5 です。この場合、c ≥ 6 であれば、bとc を入れ替えて上記の議論を適用でき、b = 4 かつc = 5の場合が残ります。 b = 5 の場合、c ≥ 4 です。 c ≥ 6 の場合は、bとc を入れ替えることで処理できるため、唯一の余分なケースはb = 5 かつc = 5 になります。 この最後の二等辺三角形は、最初の例外的な三角形の 2 倍のバージョンであるため、三角形 Δ ₁ (角度π /2、π /4、π /5、双曲面積π /20) のみを考慮する必要があります (以下を参照)。 Carathéodory (1954) は、他の 2 つの角度がπ /4以下であるすべての直角三角形に適用される一般的な方法でこのケースを処理します。P ₂、P ₃ 、...を構築する以前の方法は、頂点で角度 3 π /2 が発生するたびに三角形を追加することによって修正されます。同じ論理が、重なりがなく、タイリングが双曲上半平面を覆っていることを証明するために適用されます。^[5]

一方、与えられた配置は算術三角形群を生じさせる。これらは Fricke & Klein (1897) で初めて研究され、広範な文献が生まれた。1977 年に Takeuchi は算術三角形群の完全な分類 (有限個しかない) を取得し、そのうちの 2 つが通約可能である場合を決定した。特定の例はBring 曲線に関連しており、算術理論は Δ ₁の三角形群が、角度π /4、π /4、π /5 の三角形 Δ ₂ の三角形群を指数 6 の非正規部分群として含むことを示唆している。 ^[6]

三角形 Δ ₁と Δ _{2 を}2 倍にすると、角度π /2、π /5、π /5 で双曲面積π /10の 6 つの三角形 Δ _{3と、角度}π /5、π /5、π /10 で双曲面積 3 π /5 の三角形 Δ ₄との間に関係があるはずです。Threlfall (1932) は、算術理論を参照することなく、完全に初等的な幾何学的手段によってこのような関係を直接確立しました。実際、下の 5 番目の図に示すように、タイプ Δ 4 の三角形の 1 辺を挟んで反射して得られる四辺形は、_{タイプΔ 3}の 12 個の三角形でタイル張りできます。タイプ Δ ₄の三角形によるタイル張りは、このセクションの主な方法で処理できます。したがって、タイプ Δ ₃と Δ ₁の三角形によるタイル張りの存在が証明されます。^[7]

1 つまたは 2 つの尖点を持つシュワルツ三角形の場合、タイリングのプロセスはより簡単になりますが、これらが双曲上半平面を使い尽くすことを証明するには、 ヘッケに遡る別の方法を使用する方が簡単です。

1 つの尖端と、角度π / a、π / b がゼロでない（ a、b は1 より大きい整数）場合、頂点が原点で角度π / aを持つ単位円板にタイリングを想定できます。タイリングは、連続的な反射によって原点の三角形の2 a – 1 個のコピーを追加することから始まります。これにより、 2 a 個の尖端と、各 2 a 個の頂点間の角度がそれぞれπ / bである多角形P _{1が生成されます。したがって、多角形は凸型です。} P ₁の非理想的な頂点ごとに、その頂点を持つ一意の三角形をその頂点の周囲に相似反射することができ、これにより、 2 b – 1 個の新しい三角形、 2 b – 1 個の新しい理想的な点、および角度π / aを持つ 2 b – 1 個の新しい頂点が追加されます。結果として得られる多角形P _{2は、 2} a (2 b – 1) 個の尖端と、それぞれ角度π / aを持つ同数の頂点から構成されるため、凸多角形となります。このプロセスは、凸多角形P ₃、P ₄などを作成するために継続することができます。多角形P _nは、 nが偶数の場合は0 からπ / aまで、 nが奇数の場合は 0からπ / bまで、交互に角度を持つ頂点を持ちます。構成上、三角形は辺または頂点でのみ重なり合うため、タイリングを形成します。^[8]

三角形に2つの尖端と1つの非ゼロ角π / aがある場合、三角形は1つの尖端と非ゼロ角π / aと π / b（b = 2）を持つ三角形の2倍であることを観察することで、1つの尖端の場合に簡略化できます。その後、タイリングは前と同じように進行します。^[9]

これらがモザイク状になることを証明するには、上半平面で作業する方が便利です。2 つの尖端の場合は、1 つの尖端と 0 以外の角度π / a および π /2 を持つ三角形を 2 倍にすることで得られるため、両方のケースを同時に扱うことができます。そこで、角度 0、 π / a 、 π / b を持ち、 a 、 b が 1 より大きい整数である、上半平面の測地三角形を考えます。このような三角形の内部は、単位円| z | ≤ 1の外側にあり、単位円上の点uとv を通る虚軸に平行な 2 本の線の間にある上半平面の領域X として実現できます。三角形の辺の 3 つの反射によって生成される三角形群を Γ とします。

三角形の連続した反射が上半平面を覆うことを証明するには、上半平面の任意のzに対して、 Γ にgが存在し、 g ( z ) がXに含まれることを示せば十分です。これは、ヘッケ群の理論から簡略化された Evans (1973) の議論によって得られます。λ = Re aおよび μ = Re bとすると、一般性を失うことなく、 λ < 0 ≤ μ となります。辺の 3 つの反射は次のように与えられます。

${\displaystyle R_{1}(z)={\frac {1}{\overline {z}}},\ R_{2}(z)=-{\overline {z}}+\lambda ,\ R_{3}(z)=-{\overline {z}}+\mu .}$

したがって、T = R ₃ ∘ R ₂は、 μ − λ による並進です。上半平面の任意のz _{1に対して、} Tによって生成された Γ のサブグループ Γ _1に、 w ₁ = g ₁ ( z ₁ ) が λ ≤ Re w ₁ ≤ μ を満たすような元g ₁が存在することになります。つまり、このストリップは、並進群 Γ _1の基本領域です。| w ₁ | ≥ 1 の場合、w _{1 は}Xにあり、結果は証明されています。それ以外の場合は、 z ₂ = R ₁ ( w ₁ ) とし、w ₂ = g ₂ ( z ₂ ) が λ ≤ Re w ₂ ≤ μ を満たすようなg ₂ Γ ₁を見つけます。| w _{2 | ≥ 1 の場合、結果は証明されています。このようにして、いずれかの}w _{n が}| w _n | ≥ 1 を満たす場合、結果は証明されています。w _n | < 1 はすべてのnに対して成り立つ。g n _{+ 1はΓ 1}に含まれ、| w _n | < 1 なので、

${\displaystyle \operatorname {Im} g_{n+1}(z_{n+1})=\operatorname {Im} z_{n+1}=\operatorname {Im} {\frac {w_{n}}{|w_{n}|{}^{2}}}={\frac {\operatorname {Im} w_{n}}{|w_{n}|{}^{2}}}.}$

特に

${\displaystyle \operatorname {Im} w_{n+1}\geq \operatorname {Im} w_{n}}$

そして

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Im} w_{n+1}}{\operatorname {Im} w_{n}}}=|w_{n}|^{-2}\geq 1.}$

したがって、上記の不等式から、点 ( w _n ) はコンパクト セット | z | ≤ 1、λ ≤ Re z ≤ μ、および Im z ≥ Im w ₁内にあります。したがって、| w _n | は 1 に近づきます。そうでない場合、無限個のmに対して| w _m | ≤ rとなるr < 1が存在することになり、上記の最後の式は Im w _{n が}無限大に近づくことを意味し、矛盾しています。

w をw _nの極限点とし、| w | = 1 とする。したがって、w はuとv の間の単位円の弧上にある。w ≠ u、vの場合、仮定に反して、n が十分に大きいと、 R ₁ w _{n は}Xに含まれる。したがって、 w = uまたはvである。したがって、n が十分に大きいと、 w _{n は}uまたはv の近くにあり、したがって、頂点uまたはv の周りの三角形の反射の 1 つに含まれる必要がある。なぜなら、これらはuとvの近傍を埋めるからである。したがって、 Γ にはg ( w _n ) がXに含まれるような要素gが存在する。構成により、w _{n は}z ₁の Γ 軌道上にあるため、要求どおり、この軌道にはXに含まれる点が存在することになる。^[10]

すべての頂点が単位円上にあり、すべての角度が 0 である理想的な三角形のモザイク分割は、1 つの尖端と 2 つのゼロ角度π /3 とπ /2 を持つ三角形のモザイク分割の特殊なケースと考えることができます。実際、理想的な三角形は、小さい三角形を角度π /3の頂点について反射して得られる 1 つの尖端を持つ三角形の 6 つのコピーで構成されています。

ただし、タイリングの各ステップは、円、または同等の実軸上の新しいカスプの位置によって一意に決定されます。これらのポイントは、Series (2015)、Hatcher (2013、pp. 20–32)、および Hardy & Wright (2008、pp. 23–31) に従って、ファレイ級数で直接理解できます。これは、理想的な三角形の 1 つの辺での反射である、テッセレーションを生成する基本ステップから始まります。反射は、射影幾何学における反転のプロセスに対応し、複比で定義できる射影調和共役を取ります。実際、p、q、r、s がリーマン球面上の異なるポイントである場合、 p、q、s をそれぞれ 0、∞、 1 にする一意の複素メビウス変換gが存在します。複比（p、q、r、s ）はg（r ）と定義され、次の式で与えられる。

${\displaystyle (p,q;r,s)={\frac {(p-r)(q-s)}{(p-s)(q-r)}}.}$

定義により、これはメビウス変換に対して不変です。a、b が実軸上にある場合、aおよびbに関するcの調和共役は、 ( a、b ; c、d ) = −1となる唯一の実数dとして定義されます。したがって、たとえばa = 1 およびb = –1 の場合、 rの共役は1/ rです。一般に、メビウス不変性を使用して、 a、b 、およびcに関してdの明示的な式を取得できます。実際、端点aとbを持つ直径の円の中心t = ( a + b )/2 を0 に変換すると、d – t は、 a - tおよびb – tに関するc – tの調和共役です。円の半径はρ = ( b – a )/2なので、( d - t )/ρは1と-1に関する ( c – t )/ρの調和共役です。したがって

${\displaystyle {\frac {d-t}{\rho }}={\frac {\rho }{c-t}}}$

となることによって

${\displaystyle d={\frac {\rho ^{2}}{r-t}}+t={\frac {(c-a)b+(c-b)a}{(c-a)+(c-b)}}.}$

ここで、そのような理想的な三角形のパラメータ化が、簡約された形式の有理数によって与えられることを示す。

${\displaystyle a={\frac {p_{1}}{q_{1}}},\ b={\frac {p_{1}+p_{2}}{q_{1}+q_{2}}},\ c={\frac {p_{2}}{q_{2}}}}$

aとc は「隣接条件」p ₂ q ₁ − q ₂ p ₁ = 1 を満たします。

中間項bは、外側の項の ファレイ和またはメディアンと呼ばれ、次のように表記されます。

${\displaystyle b=a\oplus c.}$

反射三角形の公式は

${\displaystyle d={\frac {p_{1}+2p_{2}}{q_{1}+2q_{2}}}=a\oplus b.}$

同様に、2 番目の半円の鏡像三角形は新しい頂点b ⊕ cを与えます。 aとb が隣接条件を満たしていることは、bとc がそうであるように、すぐに検証されます。

この手順を使用して、頂点 0、1、∞ を持つ基本三角形 Δ を順次鏡映して得られる三角形を追跡できます。線 Re z = 0 および 1 で鏡映を適用することによって同じ画像が平行なストリップで再現されるため、0 ≤ Re z ≤ 1 のストリップを考慮すれば十分です。頂点 0、1、∞を持つ理想的な三角形は、底辺が [0,1] の半円で頂点a = 0、b = 1/2、c = 1 の三角形に鏡映されます。したがって、a = 0/1 とc = 1/1 は隣接しており、b = a ⊕ cです。半円は、底辺が [ a、b ] と [ b、c ]の 2 つの小さな半円に分割されます。これらの各区間は同じプロセスによって 2 つの区間に分割され、結果として 4 つの区間になります。このように続けると、8、16、32 の区間に細分化されます。n 番目のステージでは、 2 ^{n + 1 個の端点を持つ 2 n 個の}隣接区間があります。上記の構成は、連続する端点が隣接条件を満たし、反射によって生じる新しい端点が Farey の合計公式によって与えられることを示しています。

タイリングが双曲平面全体をカバーすることを証明するには、[0,1] のすべての有理数が最終的に端点として現れることを示せば十分です。これを確認するにはいくつかの方法があります。最も基本的な方法の 1 つは、Graham、Knuth、Patashnik (1994) が、n番目のステージで現れる新しい有理数端点をコード化するStern-Brocot 木の理論を、連分数を使用せずに展開した際に説明されています。彼らは、すべての有理数が現れることを直接証明しています。実際、{0/1,1/1} から始めて、n番目のレベルのすべての連続する項p / q、r / sの間にFarey 和または媒介値( p + r )/( q + s )を追加することにより、レベルn +1で連続する端点が導入されます(上記のように) 。x = a / b を、 aとb が互いに素である 0 と 1 の間の有理数とします。あるレベルでx が連続する項p / q < x < r / sに挟まれていると仮定します。これらの不等式により、aq – bp ≥ 1および br – as ≥ 1が強制され、したがって、rp – qs = 1であるため、

${\displaystyle a+b=(r+s)(ap-bq)+(p+q)(br-as)\geq p+q+r+s.}$

これにより、分子と分母の合計に上限が設定されます。一方、中数( p + r )/( q + s ) を導入してx に等しくすることもできます。この場合、有理数x がこのレベルで出現します。または、中数は、分子と分母の合計が厳密に大きいx を含む新しい区間を提供します。したがって、このプロセスは最大でa + bステップ後に終了する必要があり、これによりx が出現することが証明されます。^[11]

2番目のアプローチは、モジュラー群 G = SL(2, Z )に依存する。^[12]ユークリッドのアルゴリズムは、この群が行列によって生成されることを示唆している。

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},\,\,\,T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.}$

実際、HはSとTによって生成されるGの部分群とする。

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

SL(2, Z )の元とする。したがってad − cb = 1であり、aとcは互いに素である。

${\displaystyle v={\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}},\,\,\,u={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.}$

必要に応じてSを適用すると、| a | > | c |と仮定できます（互いに素なため等号は不可能です）。0 ≤ r ≤ | c | でa = mc + rと書きます。しかし、

${\displaystyle T^{-m}{\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\\c\end{pmatrix}}.}$

このプロセスは、エントリの1つが0になるまで続けることができます。その場合、もう1つは必然的に±1になります。必要に応じてSの累乗を適用すると、 H内の任意のhに対してv = h uが成立します。したがって、

${\displaystyle h^{-1}g={\begin{pmatrix}1&p\\0&q\end{pmatrix}}}$

ここで、p、qは整数です。明らかにp = 1なので、h ⁻¹ g = T ^qとなります。したがって、g = h T ^qは要求どおり Hに含まれます。

[0,1] 内のすべての有理数が存在することを証明するには、GがΔ をモザイク状の三角形に適用することを示せば十分です。これは、まずSとT がΔ をそのような三角形に適用することに注目することによって得られます。実際、メビウス変換として、S ( z ) = –1/ zおよびT ( z ) = z + 1 であるため、これらは Δ の 2 つの辺での反射を与えます。しかし、SとT は、 Δ の辺での反射を、 Γ 内にある S Δ および T Δ の辺での反射に共役にします。したがって、GはΓを正規化します。モザイク状の三角形は、 gがΓに含まれるg Δの形をした三角形とまったく同じであるため、SとT、したがってGのすべての要素が、モザイク状の三角形を並べ替えることになります。

理想三角形の反射群とモザイクは、リーマン球面上の3つの互いに交わらない入れ子でない円に対するショットキー群の極限ケースとみなすこともできる。この群も3つの円の双曲反射によって生成される。どちらの場合も、3つの円はそれらを直交させる共通の円を持つ。メビウス変換を使用すると、それは単位円、または上半平面の実軸と同等であると想定できる。^[13]

この節では、カール・ルートヴィヒ・ジーゲルによる三角形のタイル張り定理へのアプローチについて概説する。ジーゲルのあまり初歩的ではないアプローチでは、凸性は使用せず、代わりにリーマン面、被覆空間、被覆に対するモノドロミー定理のバージョンの理論に依存する。これは、より一般的なポアンカレ多角形定理の証明を与えるために一般化されている。（内角 2 π / nの正n角形によるタイル張りの特殊なケースは、角度π / n、π / n 、およびπ /2のシュワルツ三角形によるタイル張りの直接的な結果であることに注意。）^{[14] [15]}

Γ を自由積 Z ₂ ∗ Z ₂ ∗ Z ₂とする。 Δ = ABCが角度π / a、π / b、π / c を持つシュワルツ三角形で、a、b、c ≥ 2 である場合、 Δ の辺の反射によって生成される群への Γ の自然な写像が存在する。 Γ の元は、隣接する 2 つの生成元が等しくない 3 つの生成元の積で記述される。 頂点A、B、Cでは、頂点で交わる辺の反射の積が、角度 2 π / a、 2 π / b、 2 π / cによる回転を定義する。g _A、g _B、g _{C を}、 Γ = Z ₂ ∗ Z ₂ ∗ Z ₂の生成元の対応する積とする。 Γ _{0 を}、偶数個の生成元の積である要素で構成される、 Γ の指数 2 の正規部分群とする。そして、Γ _{１ を、（} ｇ_Ａ）^ａ、（ｇ_Ｂ）^ｂ、および（ｇ_Ｃ）^ｃによって生成されるΓ の正規部分群とする。これらはΔに対して自明に作用します。Γ = Γ/Γ ₁およびΓ ₀ = Γ ₀ /Γ ₁とします。

Γの元でインデックス付けされ、辺が識別されたΔのコピーの互いに素な和集合は、リーマン面 Σ の自然な構造を持ちます。三角形の内点には、明らかなチャートが存在します。辺の内部の点として、チャートは、三角形を辺を横切って反射することによって得られます。内角π / nの三角形の頂点では、チャートは、その頂点の周りを連続的に反射することによって得られる三角形の2 n個のコピーから得られます。群Γ は、Σ のデッキ変換によって作用し、Γ ₀の元は正則写像として作用し、Γ ₀にない元は反正則写像として作用します。

Σ から双曲平面への自然な写像P が存在する。Γ内のラベルgを持つ三角形の内部はg (Δ)上に、辺は辺に、頂点は頂点に写される。辺の内部点の近傍が像の近傍に写されることも簡単に検証でき、頂点についても同様である。したがって、Pは局所的に同相写像であり、開集合を開集合に写す。したがって、像P (Σ)、すなわち平行移動g ( Δ ) の和集合は、上半平面の開集合である。一方、この集合は閉じている。確かに、点がΔに十分近い場合、その点はΔの平行移動内にある必要がある。確かに、各頂点の近傍はΔの反射で埋められ、点がこれら 3 つの近傍の外側にあるが依然としてΔに近い場合、その点はΔの 3 つの反射の両側にある必要がある 。したがって、 δ > 0 が存在し、z がΔから δ 未満の距離内にある場合、z はΔのΓ平行移動内にあります。双曲距離はΓ不変であるため、 z が Γ( Δ )から δ 未満の距離内にある場合、 zは実際に Γ( Δ ) 内にあることになり、この和集合は閉じています。接続性により、P (Σ) は上半平面全体になります。

一方、P は局所同相写像、つまり被覆写像である。上半平面は単連結なので、P は1 対 1 であり、 Δ の平行移動は上半平面をモザイク状に並べることになる。これは、リーマン面の被覆に対するモノドロミー定理の次のバージョンの結果である。Q がリーマン面 Σ 1 と Σ 2 の間の被覆写像である場合、_Σ 2_内の_任意のパスはΣ ₁内のパスに持ち上げられ、同じ端点を持つ任意の 2 つのホモトピック パスは同じ端点を持つホモトピック パスに持ち上げられる。直ちに導かれる系は、 Σ ₂が単連結である場合、Q は同相写像でなければならないということである。^[16]これを応用するには、 Σ ₁ = Σ とし、 Σ _{2 を}上半平面とし、Q = Pとする。モノドロミー定理の系により、P は1 対 1 でなければならない。

また、g がΓ ₁にある場合のみg (Δ) = Δ となり、したがってΓ ₀のメビウス群への準同型性は忠実である。

シュワルツの三角形のモザイク状配置は、ジャック・ティッツ^[17]が代数的に、アーネスト・ヴィンバーグ^[18 ]が幾何学的に開発した双曲反射群の理論に続く、無限コクセター群の理論の一般化と見ることができる。ロバチェフスキー平面または双曲平面の場合、そのアイデアは19世紀のアンリ・ポアンカレとヴァルター・フォン・ディックの研究に由来する。しかし、ジョセフ・レーナーが数学レビューで指摘したように、シュワルツの三角形の反射がモザイク状配置を生成するという厳密な証明は不完全であることが多く、1964年の彼自身の著書「不連続群と保型関数」はその一例である。^{[19] [20]}カラテオドリの1950年の教科書Funktiontheorie（1954年に英訳）における初等的な扱いと、モノドロミー原理を用いたシーゲルの1954年の説明は厳密な証明である。コクセター群を用いたアプローチは、双曲反射群の分類の一般的な枠組みの中で、ここで要約される。^[21]

r、s、tを記号とし、a 、 b 、 c≥2を整数（∞でもよい）とし、

$${\displaystyle {1 \over a}+{1 \over b}+{1 \over c}<1.}$$

Γ を、すべての反転である生成元r、s、t を持ち、次の式を満たす 表示を持つ群として定義します。 整数の 1 つが無限大の場合、積の順序は無限大になります。生成元r、s、t は単純反射と呼ばれます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}(st)^{a}&=1,\\[2pt](tr)^{b}&=1,\\[2pt](rs)^{c}&=1.\end{aligned}}}$$

集合^[22] e _r、e _s、e _{t を}、3つの対角要素が1に等しい対称 双線型形式Λ を持つ3次元実ベクトル空間Vの基底とする 。対称 双線型形式Λは、符号が(2, 1)である非退化形式である。定義: $${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\begin{cases}\cos {\frac {\pi }{a}}&{\text{if }}a\geq 2{\text{ is finite,}}\\[2pt]\cosh x,\ x>0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}\\[8pt]B&={\begin{cases}\cos {\frac {\pi }{b}}&{\text{if }}b\geq 2{\text{ is finite,}}\\[2pt]\cosh y,\ y>0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}\\[8pt]C&={\begin{cases}\cos {\frac {\pi }{c}}&{\text{if }}c\geq 2{\text{ is finite,}}\\[2pt]\cosh z,\ z>0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda (\mathbf {e} _{s},\mathbf {e} _{t})&=-A,\\[2pt]\Lambda (\mathbf {e} _{t},\mathbf {e} _{r})&=-B,\\[2pt]\Lambda (\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{s})&=-C,\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (\mathbf {v} )&=\mathbf {v} -2\Lambda (\mathbf {v} ,\mathbf {e} _{r})\mathbf {e} _{r}\\[2pt]\sigma (\mathbf {v} )&=\mathbf {v} -2\Lambda (\mathbf {v} ,\mathbf {e} _{s})\mathbf {e} _{s}\\[2pt]\tau (\mathbf {v} )&=\mathbf {v} -2\Lambda (\mathbf {v} ,\mathbf {e} _{t})\mathbf {e} _{t}\end{aligned}}}$$

定理（幾何学的表現）。 演算子 ρ、σ、τ は V上の反転であり 、それぞれの固有ベクトルはe _r、 e _s、e _tで、単純固有値は−1 です。演算子の積は上記の表現に対応する順序を持ちます（したがって、στ は順序aを持ちます、など）。演算子ρ、σ、τ は、 Λ を保存するV上のΓの表現を誘導します。

基底の 双線型形式Λは行列

$${\displaystyle M={\begin{pmatrix}1&-C&-B\\-C&1&-A\\-B&-A&1\\\end{pmatrix}},}$$

したがって、 は行列式を持ちます。 c = 2とする と、行列の固有値は です。 この条件により、Λの符号は(2, 1)でなければなりません。 したがって、一般にa、b、c ≥ 3です。 明らかに、すべてが 3 に等しい場合は不可能です。 しかし、その場合、行列の行列式は負で、そのトレースは正です。 結果として、 2 つの固有値は正で、 1 つの固有値は負です。つまり、Λの符号は(2, 1)です。 明らかに、ρ、 σ、 τ は反転であり、Λ を指定された −1 固有ベクトルで保存します。 $${\displaystyle \det(M)=1-A^{2}-B^{2}-C^{2}-2ABC.}$$${\displaystyle 1,\ 1\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}.}$${\displaystyle {\tfrac {1}{a}}+{\tfrac {1}{b}}<{\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle A^{2}+B^{2}>1,}$

στのような積の順序を確認するには、次の点に注意すれば十分です。

1. 反射σとτは有限または無限の二面体群を生成する。
2. e _sとe _tの2次元線形スパンU は、 Λ が正定値であるという制限付きで、σとτに関して不変である。
3. Uの直交補集合WはΛ上で負定値であり、 σとτ はW上で自明に作用します。

(1) は、 γ = στであればσγσ ⁻¹ = γ ⁻¹となる正規部分群を生成することから明らかである。 (2) については、Uは定義により不変であり、行列は正定値行列である。Λ はシグネチャ(2, 1)を持つため、 W内の非ゼロベクトルw はΛ( w , w ) < 0 を満たす必要がある。 定義により、σ はU上で固有値 1 と –1 を持つため、w はσによって固定される必要がある。同様に、w はτによって固定される必要があるため、 (3) が証明される。最後に (1) において ${\displaystyle 0<\cos {\tfrac {\pi }{a}}<1.}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\sigma (\mathbf {e} _{s})&=-{\mathbf {e} }_{s},&\quad \tau (\mathbf {e} _{s})&=2\cos({\tfrac {\pi }{a}})\,\mathbf {e} _{s}+\mathbf {e} _{t},\\[2pt]\sigma (\mathbf {e} _{t})&=2\cos({\tfrac {\pi }{a}})\,\mathbf {e} _{s}+\mathbf {e} _{t},&\quad \tau (\mathbf {e} _{t})&=-{\mathbf {e} }_{t},\end{alignedat}}}$$

したがって、aが有限であれば、 στの固有値は-1、ς、ς ⁻¹であり、 aが無限大であれば、固有値は-1、X、X ⁻¹であり、さらに、直接的な帰納的議論から、次のことが分かります。^[23]${\displaystyle \varsigma =e^{\frac {2\pi i}{a}};}$${\displaystyle X=e^{2x}.}$${\displaystyle \theta ={\tfrac {\pi }{a}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\sigma \tau )^{m}({\mathbf {e} }_{s})&=\left[{\frac {\sin(2m+1)\theta }{\sin \theta }}\right]{\mathbf {e} }_{s}+\left[{\frac {\sin 2m\theta }{\sin \theta }}\right]{\mathbf {e} }_{t},\\[4pt]\tau (\sigma \tau )^{m}({\mathbf {e} }_{s})&=\left[{\frac {\sin(2m+1)\theta }{\sin \theta }}\right]{\mathbf {e} }_{s}+\left[{\frac {\sin(2m+2)\theta }{\sin \theta }}\right]{\mathbf {e} }_{t},\end{aligned}}}$$

そしてx > 0ならば

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\sigma \tau )^{m}({\mathbf {e} }_{s})&=\left[{\frac {\sinh(2m+1)x}{\sinh x}}\right]{\mathbf {e} }_{s}+\left[{\frac {\sinh 2mx}{\sinh x}}\right]{\mathbf {e} }_{t},\\[4pt]\lim _{x\to 0}\ (\sigma \tau )^{m}(\mathbf {e} _{s})&=(2m+1)\mathbf {e} _{s}+2m\mathbf {e} _{t};\\[12pt]\tau (\sigma \tau )^{m}({\mathbf {e} }_{s})&=\left[{\frac {\sinh(2m+1)x}{\sinh x}}\right]{\mathbf {e} }_{s}+\left[{\frac {\sinh(2m+2)x}{\sinh x}}\right]{\mathbf {e} }_{t},\\[4pt]\lim _{x\to 0}\,\tau (\sigma \tau )^{m}(\mathbf {e} _{s})&=(2m+1)\mathbf {e} _{s}+(2m+2)\mathbf {e} _{t}.\end{aligned}}}$$

Γ _{a を}sとtによって生成されるΓの二面体部分群とし、Γ _bとΓ _cについても同様の定義とする。同様に、Γ _{r を}2 群{1, r } によって与えられるΓの巡回部分群とし、Γ _sとΓ _tについても同様の定義とする。幾何学的表現の特性から、これら 6 つの群はすべてVに忠実に作用する。特に、 Γ _{a は}σとτによって生成される群と同一視できる。上記のように、 2 次元の既約部分空間Uと 1 次元の部分空間Wの直和として、自明な作用で明示的に分解される。したがって、 σ ( w ) = wかつτ ( w ) = w を満たすW に一意のベクトルが存在する 。明示的には、 $${\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {e} _{r}+\lambda \mathbf {e} _{s}+\mu \mathbf {e} _{t}}$$$${\displaystyle \lambda ={\frac {C+AB}{1-A^{2}}},\quad \mu ={\frac {B+AC}{1-A^{2}}}.}$$

二面体群の表現に関する注意。有限次元の実内積空間では、2 つの直交反転SとT は、2 次元または 1 次元の不変空間の直交直和として分解できることはよく知られています。たとえば、これは、ポール ハルモスらの観察から、正の自己随伴演算子( S – T ) ^2がSとT の両方と可換であるという結論を得ることができます。ただし、上記のケースでは、双線型形式Λ はもはや正定値内積ではないため、別のアドホックな推論を行う必要があります。

定理 (Tits)。 コクセター群の幾何学的表現は忠実である。

この結果は1960年代初頭にティッツによって初めて証明され、多数の演習問題とともにブルバキ（1968）のテキストで初めて発表されました。テキストでは、基本チャンバーは帰納的議論によって導入されました。第5章の§4の演習8は、ヴィナイ・デオダールによって正根と負根の理論を展開するために拡張され、ティッツの元の議論を短縮しました。^[24]

X を、実数の非負の係数を持ち、すべてがゼロではない、合計κ e _r + λ e _s + μ e _tの凸錐とします。g がΓ群に属する場合、 ℓ( g )、つまり語長または長さを、g を単純な反射の順序付けられた合成として表すために必要なr、s、tからの反射の最小数と定義します。 gがΓに属する、X に含まれるベクトルg e _r、g e _s、またはg e _rを正の根と定義します。^[b]

定義から確認するのは日常的なことです^[25]

• 単純反射qに対して| ℓ( gq ) – ℓ( g ) | = 1であり、g ≠ 1の場合は常にℓ( g ) = ℓ( gq ) + 1となる単純反射qが存在する。
• Γのgとhに対して、ℓ( gh ) ≤ ℓ( g ) + ℓ( h )です。

命題。 g がΓに属し、単純な鏡映qに対してℓ( gq ) = ℓ( g ) ± 1である場合 、g e _{q は}± Xに属し、したがって符号に応じて正または負の根になります。

g をgqに置き換えると、正の符号のみを考慮する必要があります。この主張は、 ℓ( g ) = mに関する帰納法によって証明されます。m = 0の場合は自明です。 ℓ( gs ) = ℓ( g ) + 1と仮定します。ℓ( g ) = m > 0の場合、一般性を損なうことなく、 gの最小表現は...tで終わると仮定できます。sとt は二面体群Γ _{a を}生成するため、g は積g = hkとして表すことができます。ここで、k = ( st ) ⁿまたはt ( st ) ⁿであり、 hには...rで終わる最小表現がありますが、sまたはtで終わることはありません。これは、ℓ( hs ) = ℓ( h ) + 1かつℓ( ht ) = ℓ( h ) + 1であることを意味します。ℓ( h )< mなので、帰納法の仮説はh e _sとh e _tが両方ともXに含まれることを示している。したがって、 k e _sがλ e _s + μ e _tの形を持ち、λ、μ ≥ 0であり、両方とも0ではないことを示せば十分である。しかし、それはすでに上の式で検証されている。^[25]

系（ティッツの定理の証明）。 幾何学的表現は忠実である。

g がe _r、e _s、e _tを固定する場合、g = 1であることを示すだけで十分です。 g ≠ 1の最小式を考えると、条件ℓ( gq ) = ℓ( g ) + 1は、3つの単純な反射qによって同時に満たされないことは明らかです。

ティッツの定理の結果として、生成元（左）は条件（右）を満たすことに注意されたい。 これは、 Γの方向保存指数2正規部分群Γ1 の表現を与える。この表現_は、測地三角形の2辺を反射して測地平行四辺形を形成することによって得られる基本領域に対応する（ポアンカレの多角形定理の特別な場合）。^[26]$${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}(g&=st)\ \ {\text{ s.t. }}&g^{a}=1,\\[4pt](h&=tr)\ \ {\text{ s.t. }}&h^{b}=1,\\[4pt](k&=rs)\ \ {\text{ s.t. }}&k^{c}=1,\\[4pt]&&ghk=1.\end{alignedat}}}$$

さらなる結果。 根は正根と負根の互いに交わらない和集合です。単純な反射 q は e _q以外のすべての正根を置換します 。Γのgに対して、ℓ( g ) はgによって負になった正根の数です。

基本領域とティッツ円錐。^[27]

G をGL( V )のΛ を保存する3 次元閉リー部分群とする。V は符号 (2,1) を持つ 3 次元ローレンツ空間またはミンコフスキー空間と同一視できるため、群Gはローレンツ群 O(2,1)に同型であり、したがって^[c] e をXの正のルートベクトルとして選択すると、 eの安定化因子はO(2)に同型なGの最大コンパクト部分群Kである。等質空間X = G / Kは、2 次元双曲面またはロバチェフスキー平面と同一視できる、一定の負の曲率を持つ対称空間である。離散群ΓはG / Kに不連続に作用する。つまり、商空間Γ \ G / Kは、 a、b、cがすべて有限であればコンパクトであり、そうでない場合は有限面積である。ティッツ基本チャンバーに関する結果は、対応するシュワルツ三角形の観点から自然に解釈でき、これは双曲反射群Γを介した測地線三角形のモザイク分割の特性に直接変換されます。コクセター群からモザイク分割への移行は、ティッツによるブルバキ (1968) の第 V 章の §4 の演習と、岩堀 (1966) で最初に見つかりました。現在、対称空間の観点から直接表現されていない、他の同等の扱いが多数あります。 ${\displaystyle \mathrm {SL} _{\pm }(2,\mathbb {R} )\setminus \{\pm \,I\,\}.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}^{2}}$

マスクィット (1971) は双曲空間におけるポアンカレの多角形定理の一般的な証明を与えた。同様の証明はデ・ラム (1971) でも与えられた。双曲平面とシュワルツ三角形に特化することで、ベアドン (1983) とマスクィット (1988) で説明されているように、シュワルツ三角形のタイル張りの存在を証明する現代的なアプローチを与えることができる。スイスの数学者デ・ラ・ハルペ (1991) とヘフリガーは、幾何学的群論を出発点として入門的な説明を与えた。 ^[28]

• シュワルツ三角形による一様多面体の一覧
• ウィトフシンボル
• ウィトフ建設
• 均一多面体
• 非凸一様多面体
• 密度（多面体）
• グルサット四面体
• 通常の双曲タイル
• 双曲面上の均一なタイリング

• ワイスタイン、エリック・W.「シュヴァルツ・トライアングル」。マスワールド。
• Klitzing、Richard。「3D 一般シュワルツ三角形 (pqr) と対応する多面体の一般化接続行列」。