双曲幾何学における構成

双曲幾何学は、ユークリッド幾何学の最初の4つの公理は維持されますが、5番目の公理である平行線公理が変更された非ユークリッド幾何学です。双曲幾何学の第5公理は、直線Lとその直線上にない点P が与えられたとき、少なくとも2本の直線がP を通りLに平行であると述べています。^[1]ユークリッド幾何学では、古代ギリシャの数学者はコンパスと理想的な定規を使用して長さ、角度、その他の幾何学的図形を構築しましたが、双曲幾何学でも構築を行うことができます。

双曲幾何学にはいくつかのモデルがあり、それらを使用すると、構築の実行と視覚化が容易になります。双曲面の一部を擬似球面に配置して角度と双曲距離を維持するだけでなく、擬似球面の周りで曲げてもその特性を維持できます。^[2]ただし、双曲面全体をモデルとして擬似球面上に配置することはできず、双曲面の一部のみを配置できます。^[2]

双曲面全体をポアンカレ円板上に配置して角度を維持することもできます。ただし、線は円弧に変わり、歪んでしまいます。^[2]

双曲幾何学では、ユークリッド平面幾何学でよく使用される標準的な定規とコンパスを使用できます。ただし、双曲作図用に開発されたさまざまなコンパスと定規があります。

ハイパーコンパスは、中心線と半径が与えられればハイパーサイクルを構築するために使用できます。 ^[3]ホロコンパスは、直径と方向も与えられれば、特定の点を通るホロサイクルを構築するために使用できます。これらには、標準定規のような直線も必要です。^[3]双曲幾何学で構築を行うときは、構築に適切な定規を使用している限り、3つのコンパス（ホロコンパス、ハイパーコンパス、標準コンパス）はすべて同じ構築を実行できます。^[3]

平行定規は、与えられた点Aを通り、与えられた光線aに平行な線を引くために使用できます^[3] 。任意の2本の線に対して、双曲定規を使用して、最初の線に平行で2番目の線に垂直な線を描くことができます。^[3]

定規の使用に関する注意事項は次のとおりです。

• 平行定規は、標準的な定規と3つのコンパスで作れるものなら何でも作ることができます^[3]
• 平行定規はユークリッド幾何学の定規として機能することができる^[3]
• 双曲定規ではユークリッド幾何学の構築はできない^[3]
• 双曲幾何学では、上記の3つのコンパスのいずれかと平行定規を使用して行うことができる作図は、双曲定規を使用して行うこともできます^[3]

与えられた角度 ᗉ IAI' ≠  π /2 ラジアンの二等分線を求めることを考えてみましょう。この結果、ᗉ IAI' <  π /2 ラジアンまたは ᗉ IAI' >  π /2 ラジアンの 2 つの異なるケースが考えられます。^{[3]どちらの場合も、BI' が AI に}垂直で AI' に平行な直線 BI' を描くには双曲定規が必要です。また、B'I が AI' に垂直で AI に平行な直線 B'I も描きます。^[3]

ケース 1: ᗉ IAI'< π /2 ラジアン

CをBI'とB'Iの交点とします。この結果、線分ACはᗉIAI'を二等分することになります。^[3]

ケース 2: ᗉ IAI' >  π /2 ラジアン

このケースはさらに 3 つのサブケースに分類されます。

• ケース2a: IB'がI'Bと交差する
  • A'をIB'とI'Bの交点とすると、AA'はᗉIAI'の角の二等分線となる。^[3]
• ケース2b: IB'はI'Bと平行である
  • 線分BB'を描き、双曲定規を使って線分OI"を描きます。OI"はBB'に垂直で、B'I"に平行です。すると、線分OAはᗉIAI'の角の二等分線になります。^[3]
• ケース 2c: IB' はI'B に対して 超平行です。
  • 超平行定理を用いて、IB'とI'Bの共通垂線CC'を構築します。CB"とBC'の交点をDとします。結果として、ADはᗉBDB'の角の二等分線になります。次に、ODを通る線はᗉIAI'の角の二等分線でもあることがわかります。^[3]

与えられた2本の直線aとa'に平行な直線を見つける問題を考えます。aとa'が 点Oで交差する場合、aとa'が互いに平行である場合、aとa'が互いに超平行である場合の3つのケースがあります。^[3]

ケース1: aとa'が点Oで交差し、

これら2本の直線が作る角の1つを二等分し、その角を二等分線bと名付けます。双曲定規を使用して、bに垂直でaに平行な線cを描きます。その結果、cはa 'にも平行になり、 cは線aとa'に共通の平行線になります。 ^[3]

ケース2: aとa'は互いに平行である

双曲定規を使用して、AI' を作図します。AI' はa'に平行で、aに垂直です。別の線 A'I を作図します。A'I はaに平行で、a'に垂直です。AI' と A'I の交点を B とします。ᗉ IBI' >  π /2 ラジアンであるため、ケース 1 と同様に展開され、BI と BI' に共通の平行線を作図できます。^[3]

ケース3: aとa'は互いに超平行である

双曲定規を使用して、BI' がaに垂直でa'に平行になるように BI' を作成し、B'I がa'に垂直でaに平行になるように線分 B'I を作成します。このとき、BI' と B'I はaとa'に対する共通垂線の同じ側に配置されます。これは超平行定理を使用して見つけることができます。BI' と B'I の交点を C とします。すると、ᗉ ICI' ≠  π /2 ラジアンとなり、他の 2 つのケースと同様に作成を完了できます。^[3]

直線aとその直線上の点Aがあり、aに垂直でAを通る直線を描きたいとします。a 'をAを通る直線とし、aとa'は2つの異なる直線とします。この場合、2つのケースのいずれかになります。^[3]

ケース1: aはa'に垂直である

この場合、 Aを通るaに垂直な線がすでに存在します。^[3]

ケース2: aとa'は互いに垂直ではない

双曲定規を使用して、BI がaに垂直で a'に平行な直線 BI を作成します。また、CI' がaに垂直でa'に平行で BI とは反対方向にある直線 CI' を作成します。次に、II" が BI と I'C に共通する平行線になるように直線 II" を作成します。超平行定理により、II" とaに共通する垂線を作成できます。これは、これら 2 つの直線が超平行であるためです。この共通垂線は、 aに垂直で A を通る直線になります。 ^[3]

線分 AB の中点を見つけようとしているとします。次に、線分 AI を、AI が A を通り AB に垂直になるように作図します。また、線分 BI' を、BI' が AB と B で交差し、AB に垂直になるように作図します。次に、線分 II' を、II' が AI と BI' に共通する平行線になるように作図します。^[3] II' と AB に共通する垂線を作図します。II ' と AB は互いに超平行であるため、超平行定理を使用して行うことができます。この線分を CC' と名付けます。これで、C が AB の中点になります。^[3]

以下の定義では、双曲幾何学では通常ありえない以下の仮定が立てられる。

• 3つの異なる点がユニークな円を形成する^[4]
• 任意の2本の直線は、1つの点で交わる^[4]（通常、これは双曲幾何学の平行公理に矛盾する。なぜなら、同じ直線に平行な直線は複数存在する可能性があるからである^[1]）。
• 角度の測定には符号があります。ここでは、次のように定義します。三角形 XYZ を考えます。角度 ᗉ XYZ の符号は、辺 XY から辺 YZ への最短円弧に沿った経路の方向が反時計回りの場合にのみ正になります。右の三角形の図はこれを説明しています。比較すると、単位円で作業する場合、角度の測定は反時計回りのときに正になり、時計回りのときに負になります。^[4]

四辺形は、向かい合う2つの頂点の合計がπラジアン、つまり180度になる場合、循環的である。 ^[4]また、四辺形が円に内接し、そのすべての頂点が円上にある場合、循環的である。^[5]

三角形 ABC を考えてみましょう。ここでは、すべての角度が正になるように、点が時計回りにラベル付けされています。X は、BC に沿って B から C に移動する点です。X が C に近づくにつれて、角度 ᗉAXB は減少し、角度 ᗉAXC は増加します。X が B に十分近い場合、ᗉAXB > ᗉAXC です。X が C に十分近い場合、ᗉAXB < ᗉAXC です。これは、ある時点で、X が ᗉAXB = ᗉAXC の位置にあることを意味します。X がこの位置にある場合、頂点 A からの疑似高度の足として定義されます。^[4]疑似高度は、線分 AX になります。^[4]

d _E (A,B) は与えられた双曲線分 AB の擬似長さを表すものとする。変換により A が半径 1 のポアンカレ円の中心に移動するものとする。擬似長さ d _E (A,B) はユークリッド幾何学におけるこの線分の長さである。^[4]

点P、点A（Aは相似の中心）、および相似比を表す数値kが与えられた場合、相似とは、Pを点P'に移動する変換であり、P'は光線AP上にあり、d _E (A,P') = k·d _E (A,P)である。^[4]

共通平面にある3 つの円ω ₁、ω ₂、ω _{3を考えます。 P 1 を}ω ₂とω ₃の 2 つの外接線の交点とします。 P ₂と P ₃も同様の方法で求められます。 3 つの愚か者の帽子定理によれば、 P ₁、 P ₂、 P ₃はすべて同じ線上にあります。^[4]

証明:各円の上に球面を描き、これら3つの球面に接する平面を描きます。この平面は、円が置かれている平面と、P ₁、P ₂、P _{3 を}含む直線で交差します。これらの点は、それらが派生した円の相似中心でもあります。^[4]

代数的には、双曲幾何学と球面幾何学は同じ構造を持っています。^[4]これにより、一方の幾何学の概念と定理をもう一方の幾何学に適用することができます。^[4]球面幾何学に双曲幾何学を適用すると、球がより具体的であるため理解しやすくなり、球面幾何学の概念化が容易になります。