平行を制限する

中立幾何学または絶対幾何学、および双曲幾何学では、直線 上にない点を通る特定の直線に平行な直線が多数存在することがあります。ただし、平面では、2 本の平行線が他のすべての平行線よりも に近くなることがあります( の各方向に 1 本ずつ)。 ${\displaystyle l}$${\displaystyle P}$${\displaystyle R}$${\displaystyle l}$${\displaystyle R}$

したがって、中立幾何学における平行線に関する新しい定義を作成することは有用です。与えられた線に最も近い平行線がある場合、それらは極限平行線、漸近平行線、またはホロ平行線(ギリシャ語のὅριον — 境界から horo ) として知られています。

光線の場合、極限平行の関係は同値関係であり、これには共末端であるという同値関係が含まれます。

双曲三角形において、辺のペアが極限的に平行である場合、その三角形は理想三角形です。

ある光線が 他の光線の極限平行線であるとは、それらの光線が共線であるか、直線 と等しくない別々の直線上にあり、それらの光線が交わらず、角度 の内部にあるすべての光線が光線 と交わる場合をいう。^[1]${\displaystyle Aa}$${\displaystyle Bb}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle BAa}$${\displaystyle Bb}$

限界平行光線を運ぶ明確な線は交わりません。

別々の平行光線を運ぶ線が交わると仮定します。定義により、どちらか一方が にある側で交わることはできません。すると、 の反対側の 側で交わることになります。この点を と呼びます。したがって です。矛盾です。 ${\displaystyle AB}$${\displaystyle a}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle a}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \angle CAB+\angle CBA<2{\text{ 直角}}\Rightarrow \angle aAB+\angle bBA>2{\text{ 直角}}}$

• ホロサイクル、双曲幾何学において、法線が極限の平行線である曲線
• 平行角