ポアンカレ円板モデル

幾何学において、ポアンカレ円板モデルは共形円板モデルとも呼ばれ、すべての点が単位円板の内側にあり、直線は円板内に含まれる単位円に直交する円弧か、単位円の直径である 2 次元双曲幾何学のモデルです。

ディスクモデルの方向保存等長変換群は、射影特殊ユニタリー群PSU(1,1)、すなわち特殊ユニタリー群SU(1,1)をその中心{ I ,−I }で割った商によって与えられる。

クラインの模型やポアンカレ半空間模型とともに、これはエウジェニオ・ベルトラミによって提唱され、彼はこれらのモデルを使用して双曲幾何学がユークリッド幾何学と等価であることを示した。14年後にこの表現を再発見したアンリ・ポアンカレの名がベルトラミの元の研究よりも有名になったため、この表現はアンリ・ポアンカレにちなんで名付けられた。^[1]

ポアンカレ球モデルは、幾何学の点がn次元単位球内にある3 次元またはn次元双曲幾何学の同様のモデルです。

ディスクモデルは、ベルンハルト・リーマンが1854年の講義（1868年に出版）で初めて説明し、エウジェニオ・ベルトラミの1868年の論文に影響を与えました。^[2]アンリ・ポアンカレは、1882年に双曲型、放物型、楕円型関数を扱う際にこのモデルを採用しましたが、^[3]ポアンカレが1905年に哲学論文「科学と仮説」で発表したことで広く知られるようになりました。^[4]そこで彼は、現在ポアンカレディスクとして知られる世界を説明しており、その世界では空間はユークリッド空間ですが、そこに住む人々にとっては双曲幾何学の公理を満たしているように見えます。

「例えば、大きな球体に囲まれ、以下の法則に従う世界を想定してください。温度は均一ではありません。中心で最高で、球体の円周に向かって徐々に下がり、円周で絶対零度になります。この温度の法則は次のとおりです。が球体の半径で、中心から考慮する点までの距離が である場合、絶対温度は に比例します。さらに、この世界ではすべての物体が同じ膨張係数 を持っていると仮定します。したがって、どの物体の線形膨張もその絶対温度に比例します。最後に、物体をある点から別の温度の異なる点に移動させると、その物体は新しい環境と瞬時に熱平衡状態になります。... 彼らが幾何学を構築する場合、それは私たちのものとは異なります。私たちの不変の固体の動きを研究するものです。それは彼らが区別した位置の変化を研究するもので、「非ユークリッド変位」であり、これは次のようになります。非ユークリッド幾何学。したがって、そのような世界で教育を受けた私たちのような存在は、私たちと同じ幾何学を持たないでしょう。」^[4] (pp.65-68)${\displaystyle R}$${\displaystyle r}$${\displaystyle R^{2}-r^{2}}$

ポアンカレの円板は、空間幾何学の選択は事実ではなく慣習であるという仮説の重要な証拠であり、特にルドルフ・カルナップ^[5]やハンス・ライヘンバッハ^[6]の影響力のある哲学的議論において重要な役割を果たした。

双曲直線または測地線は、ディスクの境界に 直交するディスク内に含まれるユークリッド円のすべての弧と、ディスクのすべての直径で構成されます。

このモデルの距離はケイリー・クライン計量です。円板内部に 2 つの異なる点pとq がある場合、これらを結ぶ唯一の双曲線は、 2 つの理想的な点aとbで境界と交差します。点が順にa、p、q、b 、つまり| aq | > | ap |かつ| pb | > | qb |となるようにラベルを付けます。

pとqの間の双曲線距離は^[7]

$${\displaystyle d(p,q)=\ln {\frac {\left|aq\right|\,\left|pb\right|}{\left|ap\right|\,\left|qb\right|}}.}$$

縦棒は、モデル内の点と点を結ぶ線分のユークリッド長さを示します（円弧に沿ったものではありません）。ln は自然対数です。

同様に、uとvが通常のユークリッドノルムを持つ実n次元ベクトル空間R ⁿ上の2つのベクトルで、そのノルムが両方とも1未満である場合、等長不変量を次のように 定義できます。

${\displaystyle \delta (u,v)=2{\frac {\lVert uv\rVert ^{2}}{(1-\lVert u\rVert ^{2})(1-\lVert v\rVert ^{ 2})}}\,,}$

ここで は通常のユークリッドノルムを表す。距離関数は ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$

${\displaystyle {\begin{aligned}d(u,v)&=\operatorname {arcosh} (1+\delta (u,v))\\&=2\operatorname {arsinh} {\sqrt {\frac { \delta (u,v)}{2}}}\\\,&=2\ln {\frac {\lVert uv\rVert +{\sqrt {\lVert u\rVert ^{2}\lVert v\rVert ^{2}-2u\cdot v+1}}}{\sqrt {(1-\lVert u\rVert ^{2})(1-\lVert v\ rVert ^{2})}}}.\end{aligned}}}$

このような距離関数は、ノルムが 1 未満の任意の 2 つのベクトルに対して定義され、そのようなベクトルの集合を、定曲率 -1 の双曲空間のモデルである距離空間にします。このモデルには、双曲空間で交差する 2 つの曲線間の角度がモデル内の角度と同じであるという共形特性があります。

点の 1 つが原点であり、点間のユークリッド距離がrである場合に特化すると、双曲距離は次のようになります。 ここで、 は双曲正接の逆双曲関数です。2 つの点が同じ半径上にあり、点 が原点と点 の間にある場合、それらの双曲距離は次のようになります。 の場合、これは前の特殊なケースに簡略化されます。 $${\displaystyle \ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\right)=2\operatorname {artanh} r}$$${\displaystyle \operatorname {artanh} }$${\displaystyle x'=(r',\theta )}$${\displaystyle x=(r,\theta )}$$${\displaystyle \ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\cdot {\frac {1-r'}{1+r'}}\right)=2(\operatorname {artanh} r-\operatorname {artanh} r').}$$${\displaystyle r'=0}$

ポアンカレ円板モデルの関連する計量テンソルは^{[8]で与えられる。}

${\displaystyle ds^{2}=4{\frac {\sum _{i}dx_{i}^{2}}{\left(1-\sum _{i}x_{i}^{2}\right)^{2}}}={\frac {4\,\lVert d\mathbf {x} \rVert {\vphantom {l}}^{2}}{{\bigl (}1-\lVert \mathbf {x} \rVert {\vphantom {l}}^{2}{\bigr )}^{2}}}}$

ここで、x _{i は}周囲のユークリッド空間の直交座標です。

このリーマン計量に関する正規直交フレームは次のように与えられる。

${\displaystyle e_{i}={\frac {1}{2}}{\Bigl (}1-|\mathbf {x} |^{2}{\Bigr )}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}},}$

1-形式の双対コフレームを持つ

${\displaystyle \theta ^{i}={\frac {2}{1-|\mathbf {x} |{\vphantom {l}}^{2}}}\,dx^{i}.}$

2次元では、これらのフレームとレヴィ・チヴィタ接続に関して、接続形式は、ねじれのない、つまり行列方程式を満たす、1形式の唯一の歪対称行列によって与えられます。この方程式を について解くと、次の式が得られます 。${\displaystyle \omega}$${\displaystyle 0=d\theta +\omega \wedge \theta }$${\displaystyle \omega}$

${\displaystyle \omega ={\frac {2(y\,dx-x\,dy)}{1-|\mathbf {x} |{\vphantom {l}}^{2}}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},}$

ここで曲率行列は

${\displaystyle \Omega =d\omega +\omega \wedge \omega =d\omega +0={\frac {-4\,dx\wedge dy}{{\bigl (}1-|\mathbf {x} |{\vphantom {l}}^{2}{\bigr )}^{2}}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}.}$

したがって、双曲円板の曲率は

${\displaystyle K=\オメガ _{2}^{1}(e_{1},e_{2})=-1.}$

境界円の直径上ではなく、2 点を通る唯一の双曲線は、次のように作成できます。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

• 点の境界円における反転を${\displaystyle P'}$${\displaystyle P}$
• 点の境界円における反転を${\displaystyle Q'}$${\displaystyle Q}$
• を線分の中点とする${\displaystyle M}$${\displaystyle PP'}$
• を線分の中点とする${\displaystyle N}$${\displaystyle QQ'}$
• 線分に垂直な線を引く${\displaystyle m}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle PP'}$
• 線分に垂直な線を引く${\displaystyle n}$${\displaystyle N}$${\displaystyle QQ'}$
• 線と線が交差する場所をとします。${\displaystyle C}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$
• 中心を持ち、 (および)を通る円を描きます。${\displaystyle c}$${\displaystyle C}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$
• 円盤の内側にある円の部分は双曲線です。${\displaystyle c}$

P と Q が境界円の直径上にある場合、その直径は双曲線になります。

別の方法は次のとおりです。

• を線分の中点とする${\displaystyle M}$${\displaystyle PQ}$
• 線分に垂直な線分mを引く${\displaystyle M}$ ${\displaystyle PQ}$
• 点の境界円における反転を${\displaystyle P'}$${\displaystyle P}$
• を線分の中点とする${\displaystyle N}$${\displaystyle PP'}$
• 線分に垂直な線を引く${\displaystyle n}$${\displaystyle N}$${\displaystyle PP'}$
• 線と線が交差する場所をとします。${\displaystyle C}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$
• 中心を持ち、 (および)を通る円を描きます。${\displaystyle c}$${\displaystyle C}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$
• 円盤の内側にある円の部分は双曲線です。${\displaystyle c}$

解析幾何学の基本的な構成は、与えられた2点を通る直線を見つけることである。ポアンカレ円板モデルでは、平面上の直線は、次の形式の方程式を持つ円の部分によって定義される。

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+ax+by+1=0\,,}$

これは単位円に直交する円の一般的な形、または直径によって表される。円板上の直径上にない2点u = (u ₁ ,u ₂ )とv = (v ₁ ,v ₂ )が与えられた場合、この形の円を解くと、両点を通る円が得られる。

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&{}+{\frac {u_{2}(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+1)-v_{2}(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+1)}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}x\\[8pt]&{}+{\frac {v_{1}(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+1)-u_{1}(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+1)}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}y+1=0\,.\end{aligned}}}$

点uとvが円板の境界上の点であり、直径の端点に位置していない場合、上記は次のように簡略化される。

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+{\frac {2(u_{2}-v_{2})}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}x+{\frac {2(v_{1}-u_{1})}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}y+1=0\,.}$

端点（理想点）が単位ベクトルuとvで与えられる円弧と、端点がsとtである円弧の間の角度を、式で計算することができます。理想点はクラインモデルとポアンカレ円板モデルで同じなので、式は各モデルで同一です。

両方のモデルの線が直径で、v = − uかつt = − sである場合、2つの単位ベクトル間の角度を求めているだけであり、角度θの式は次のようになります。

${\displaystyle \cos(\theta )=u\cdot s\,.}$

v = − uだがt = − sでない場合、式はウェッジ積（）を用いて次のように表される。 ${\displaystyle \wedge }$

${\displaystyle \cos ^{2}(\theta )={\frac {P^{2}}{QR}},}$

どこ

${\displaystyle P=u\cdot (s-t)\,,}$

${\displaystyle Q=u\cdot u\,,}$

${\displaystyle R=(s-t)\cdot (s-t)-(s\wedge t)\cdot (s\wedge t)\,.}$

両方の弦が直径でない場合、一般式は次のようになる。

${\displaystyle \cos ^{2}(\theta )={\frac {P^{2}}{QR}}\,,}$

どこ

${\displaystyle P=(u-v)\cdot (s-t)-(u\wedge v)\cdot (s\wedge t)\,,}$

${\displaystyle Q=(u-v)\cdot (u-v)-(u\wedge v)\cdot (u\wedge v)\,,}$

${\displaystyle R=(s-t)\cdot (s-t)-(s\wedge t)\cdot (s\wedge t)\,.}$

ビネ・コーシー恒等式とこれらが単位ベクトルであるという事実を用いて、上記の式を純粋にドット積で書き直すと、

${\displaystyle P=(u-v)\cdot (s-t)+(u\cdot t)(v\cdot s)-(u\cdot s)(v\cdot t)\,.}$

${\displaystyle Q=(1-u\cdot v)^{2}\,,}$

${\displaystyle R=(1-s\cdot t)^{2}\,.}$

ユークリッド平面では、一般化された円(一定の曲率を持つ曲線) は直線と円です。球面上では、大円と小円です。双曲面には、円、ホロサイクル、ハイパーサイクル、測地線 (または「双曲線」) という 4 つの異なる種類の一般化された円またはサイクルがあります。ポアンカレ ディスク モデルでは、これらすべてが直線または円で表されます。

ユークリッド円:

• 完全に円板の内側にあるものは双曲円です。
• ディスクの内側にあり、境界に接する円はホロサイクルです。
• 境界線と直交する線は双曲線であり、
• 境界と非直交に交差する曲線はハイパーサイクルです。

境界円の ユークリッド弦:

• 中心を通る線は双曲線であり、
• 中心を通らないものはハイパーサイクルです。

円(平面上の、ある点 (その中心) からある距離にあるすべての点の集合)は、円盤の境界に触れたり交差したりすることなく、円盤の内側に完全に含まれる円です。モデル内の円の双曲中心は、一般に円のユークリッド中心とは一致しませんが、ポアンカレ円盤の同じ半径上にあります。(ユークリッド中心は常に双曲中心よりも円盤の中心に近いです。)

ハイパーサイクル(平面上で、特定の線 (軸) から特定の距離にあるすべての点の集合) は、境界円と正の角度で交差するユークリッド円弧または境界円の弦です。その軸は、同じ 2 つの理想的な点を共有する双曲線です。これは等距離曲線とも呼ばれます。

ホロサイクル(法線または垂直測地線が極限平行線で、すべてが同じ理想点に漸近的に収束する曲線) は、ディスクの境界円に接するディスク内部の円です。境界円に接する点はホロサイクルの一部ではありません。これは理想点であり、ホロサイクルの双曲中心です。また、すべての垂直測地線が収束する点でもあります。

ポアンカレ円板モデルでは、ホロサイクルの反対側の「端」を表すユークリッド点は境界円の中心に収束しますが、双曲面ではホロサイクルのすべての点がその中心から無限に離れており、ホロサイクルの反対側の端は接続されていません。(モデルのスケールが境界円で無限に増加するため、ユークリッドの直感は誤解を招く可能性があります。)

ベルトラミ・クラインモデル（またはクラインディスクモデル）とポアンカレディスクは、どちらも双曲面全体をディスクに投影するモデルです。この 2 つのモデルは、半球モデルへの投影または半球モデルからの投影によって関連しています。クラインディスクモデルは半球モデルへの正射影であり、ポアンカレディスクモデルは立体射影です。

クラインの円板モデルの利点は、このモデル内の線がユークリッドの直線弦であることです。欠点は、クラインの円板モデルが共形ではない(円と角度が歪んでいる) ことです。

両方のモデルの同じ線を 1 つのディスクに投影すると、両方の線は同じ 2 つの理想点を通過します(理想点は同じ場所に残ります)。また、クライン ディスク モデルの弦の極は、ポアンカレ ディスク モデルの 弧を含む円の中心です。

ポアンカレ円板モデル内の点 ( x , y ) は、クラインモデル内の点にマッピングされます。 ${\textstyle \left({\frac {2x}{1+x^{2}+y^{2}}}\ ,\ {\frac {2y}{1+x^{2}+y^{2}}}\right)}$

クラインモデル内の点 ( x , y ) は、ポアンカレディスクモデル内の点にマッピングされます。 ${\textstyle \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}}}\ ,\ \ {\frac {y}{1+{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}}}\right)}$

理想的な点と式では、点が固定されます。 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$${\displaystyle x=x\ ,\ y=y}$

がポアンカレ円板モデルの点を表す 1 未満のノルムのベクトルである 場合、対応するクライン円板モデルの点は次のように与えられます。${\displaystyle u}$$${\displaystyle s={\frac {2u}{1+u\cdot u}}.}$$

逆に、ベルトラミ・クラインモデルの点を表すノルムが 1 未満の ベクトルから、ポアンカレディスクモデルの対応する点は次のように表されます。${\displaystyle s}$$${\displaystyle u={\frac {s}{1+{\sqrt {1-s\cdot s}}}}={\frac {\left(1-{\sqrt {1-s\cdot s}}\right)s}{s\cdot s}}.}$$

ポアンカレ円板モデルとポアンカレ半平面モデルはどちらもアンリ・ポアンカレにちなんで名付けられました。

がポアンカレ円板モデルの点を表すノルムが 1 未満の複素数である 場合、半平面モデルの対応する点はケーリー変換の逆変換によって与えられます。${\displaystyle u}$$${\displaystyle s={\frac {u+i}{iu+1}}.}$$

ディスクモデル内の点( x , y )は半平面モデル内の点にマッピングされる。^[9]${\textstyle \left({\frac {2x}{x^{2}+(1-y)^{2}}}\ ,\ {\frac {1-x^{2}-y^{2}}{x^{2}+(1-y)^{2}}}\right)\,}$

半平面モデル内の点 ( x , y ) は、ディスクモデル内の点にマッピングされます。 ${\textstyle \left({\frac {2x}{x^{2}+(1+y)^{2}}}\ ,\ {\frac {x^{2}+y^{2}-1}{x^{2}+(1+y)^{2}}}\right)\,}$

ポアンカレ円板モデルは、クラインモデルと同様に、双曲面モデルと 射影的に関連しています。双曲面モデルの双曲面の上側シート上に点 [ t ,  x ₁ , ...,  x _n ] があり、それによって双曲面モデル内の点が定義されている場合、それを [−1, 0, ..., 0] を通る線と交差させることで超平面t  = 0 に射影できます。結果は、ポアンカレ円板モデルの対応する点です。

双曲面上の直交座標( t、  x _i ) と平面上の直交座標 ( y _i )の場合、変換式は次のようになります。 $${\displaystyle y_{i}={\frac {x_{i}}{1+t}}}$$ $${\displaystyle (t,x_{i})={\frac {\left(1+\sum {y_{i}^{2}},\,2y_{i}\right)}{1-\sum {y_{i}^{2}}}}\,.}$$

球と平面の間の 立体投影の公式を比較します。

MCエッシャーは、 2次元平面上で無限大を表現するという概念を探求した。1956年頃のカナダの数学者HSMコクセターとの議論が、双曲平面の規則的なタイル張りである双曲タイル張りに対するエッシャーの興味を刺激した。エッシャーの木版画「円の極限I～IV」は1958年から1960年にかけてこの概念を示しており、最後の作品は1960年の「円の極限IV：天国と地獄」である。 ^{[10]ブルーノ・エルンストによると、その中で最も優れたものは}「円の極限III」である。

ローグライク ゲームのHyperRogue では、世界幾何学に双曲面を使用し、ポアンカレ ディスク モデルも使用します。

• 双曲幾何学
• ベルトラミ・クラインモデル
• ポアンカレ半平面モデル
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• 擬似球
• 双曲面モデル
• 逆幾何学
• 双曲面上の均一なタイリング

• James W. Anderson、「双曲幾何学」、第 2 版、Springer、2005 年。
• エウジェニオ・ベルトラミ、テオリア・フォンダメンタル・デグリ・スパジイ・ディ・カーヴァトゥーラ・コスタンテ、アンナリ。 di Mat.、シリーズ II 2 (1868)、232–255。
• ソール・スタール『ポアンカレ半平面』、ジョーンズ＆バートレット社、1993年。

• ウィキメディア・コモンズのポアンカレ円板モデルに関連するメディア