アペイロゴン

アペイロゴン（通常）
アペイロゴン（通常）
エッジと頂点	∞
シュレーフリ記号	{∞}
コクセター・ディンキン図
内角（度）	180°
デュアルポリゴン	自己双対

幾何学において、アペイロゴン（古代ギリシャ語のἄπειρος apeiros 「無限の、限りない」とγωνία gonia 「角度」に由来）または無限多角形は、辺の数が無限の多角形である。アペイロゴンは、無限多面体の階数2の場合である。文献によっては、「アペイロゴン」という用語は、対称性の無限二面体群を持つ正アペイロゴンのみを指す場合がある。^[1]

定義

幾何学的アペイロゴン

ユークリッド空間内の点A ₀と平行移動Sが与えられたとき、点A _{i を}平行移動SをA ₀にi 回適用して得られる点と定義します。つまり、A _i = S ⁱ ( A _{0 ) です。}iが任意の整数である頂点A _iの集合と、隣接する頂点を結ぶ辺は、長さが等しい線分の列であり、HSM Coxeterによって定義された正則アペイロゴンと呼ばれます。^[1]

正多角形は、ユークリッド直線E ¹を無限個の等しい長さの線分に分割したものとして定義できます。これは、円S ^{1を有限個}の等しい長さの線分に分割したものとして定義できる正n角形を一般化したものです。 ^[2]

双曲擬角形

正則擬似角形は、正則アペイロゴンの類似物として、双曲直線H ¹（ユークリッド直線の代わりに）を長さ2λの線分に分割したものである。^[2]

抽象アペイロゴン

抽象多面体とは、凸多面体の面の包含の性質をモデル化した、部分的に順序付けられた集合 P (その要素は面と呼ばれる) である。抽象多面体の階数(または次元) は、その面の最大順序付き連鎖の長さによって決定され、階数nの抽象多面体は抽象n多面体と呼ばれる。^[3]^{: 22–25}

階数2の抽象多面体の場合、これは次のことを意味します。A) 部分順序集合の要素は、頂点が0個（空集合）、頂点が1個、頂点が2個（辺）、または頂点集合全体（2次元面）のいずれかで、集合の包含順に順序付けられた頂点の集合です。B) 各頂点はちょうど2つの辺に属します。C)頂点と辺によって形成される無向グラフは連結されています。 ^[3]^{: 22–25}^[4]^{: 224}

抽象多面体は、それが無限個の要素を持つ場合、抽象アペイロトープと呼ばれます。抽象2-アペイロトープは抽象アペイロゴンと呼ばれます。^[3]^{: 25}

抽象多面体の実現とは、その頂点を幾何学的空間（典型的にはユークリッド空間）上の点に写像したものである。^[3]^{: 121}忠実な実現とは、頂点写像が単射となるような実現である。^[3]^{: 122}^{[注 1]}すべての幾何学的アペイロゴンは抽象アペイロゴンの実現である。

対称性

正則幾何学的アペイロゴンの対称性の無限二面体群G は、2 回の反射によって生成され、その積はPの各頂点を次の頂点に平行移動します。^[3]^{: 140–141}^[4]^{: 231} 2 回の反射の積は、非ゼロの平行移動、有限回の回転、およびおそらく自明な反射の積として分解できます。^[3]^{: 141}^[4]^{: 231}

抽象多面体において、旗は各次元の1つの面の集合であり、すべてが互いに接している（つまり、半順序で比較可能である）。抽象多面体は、任意の旗を他の任意の旗に導く対称性（その要素の構造保存順列）を持つ場合、正則であると呼ばれる。2次元抽象多面体の場合、これは自動的に真であり、アペイロゴンの対称性は無限二面体群を形成する。^[3]^{: 31}

抽象アペイロゴンの対称的実現は、その頂点から有限次元幾何学的空間（典型的にはユークリッド空間）への写像として定義され、抽象アペイロゴンのあらゆる対称性は写像の像の等長写像に対応する。 ^[3]^{: 121}^[4]^{: 225}

モジュライ空間

一般に、抽象多面体の忠実な実現のモジュライ空間は無限次元の凸錐である。^[3]^{: 127}^[4]^{: 229–230}抽象アペイロゴンの実現錐は無限の代数的次元を持ち、ユークリッド位相で閉じることができない。^[3]^{: 141}^[4]^{: 232}

ユークリッドのアペイロゴンの分類

2 次元を超えるユークリッド空間内の任意の正多角形の対称実現は、簡約可能であり、2 つの低次元多角形のブレンドとして作成できることを意味します。^[3]この正多角形の特徴は、当然、正アペイロゴンにも当てはまります。離散アペイロゴンは、1 次元アペイロゴンと他の多角形をブレンドした結果です。^[4]^{: 231}すべての多角形はアペイロゴンの商であるため、任意の多角形とアペイロゴンをブレンドすると、別のアペイロゴンが生成されます。^[3]

2次元では、離散正多角形は無限ジグザグ多角形であり、^[5] 1次元のアペイロゴンと二角形を融合したもので、シュレーフリ記号 ${\infty}#{2}$ 、 ${\infty}#{}$ 、またはで表される。^[3] $\left\{{\dfrac {2}{0,1}}\right\}$

3次元では、離散正則アペイロゴンは無限螺旋多角形であり、^[5]頂点は螺旋に沿って均等に配置されています。これらは、1次元アペイロゴンと2次元多角形 ${\infty}#{p / q}$ または^[3]をブレンドした結果です。 $\left\{{\dfrac {p}{0,q}}\right\}$

一般化

上位ランク

アペイロヘドラはアペイロゴンの3次元類似体であり、多面体の無限類似体である。^[6]より一般的には、n-アペイロトープまたは無限n-多面体はアペイロゴンのn次元類似体であり、n-多面体の無限類似体である。[ 3 ] ^:^22–25

参照

非楕円形タイリング
非等角柱
非等角反プリズム
テラゴン、これも無限の辺を持つフラクタル一般多角形

注記

^ McMullen & Schulte (2002) はより厳密な定義を提供し、高階面上の誘導写像も単射であることを求めています。しかし、正多面体は退化しており、忠実な実現がまったくないか、すべての頂点忠実な実現が忠実であるかのどちらかです。アペイロゴンは退化していないため、この条件はアペイロゴンの実現が忠実であることを示すのに十分です。

参考文献

^ ab Coxeter, HSM (1948). Regular polytopes . ロンドン: Methuen & Co. Ltd. p. 45.
^ ab ジョンソン、ノーマン W. (2018)。「11: 有限対称群」。幾何学と変換。ケンブリッジ大学出版局。p. 226。ISBN 9781107103405。
^ abcdefghijklmnop McMullen, Peter ; Schulte, Egon (2002年12月). Abstract Regular Polytopes (第1版). Cambridge University Press . ISBN 0-521-81496-0。
^ abcdefg McMullen、Peter (1994)、「正則アペイロトープの実現」、Aequationes Mathematicae、47 (2–3): 223–239、doi :10.1007/BF01832961、MR 1268033、S2CID 121616949
^ ab グリュンバウム、B. (1977)。「正多面体 – 古くて新しい」。数学の方程式。16：1～20。土井：10.1007/BF01836414。S2CID 125049930。
^ Coxeter, HSM (1937). 「3次元および4次元の正則歪曲多面体」. Proc. London Math. Soc . 43 : 33–62.

外部リンク

ラッセル、ロバートA. 「アペイロゴン」。マスワールド。
Olshevsky, George. 「Apeirogon」。Hyperspace の用語集。2007 年 2 月 4 日時点のオリジナルよりアーカイブ。

[5] McMullen & Schulte (2002) はより厳密な定義を提供し、高階面上の誘導写像も単射であることを求めています。しかし、正多面体は退化しており、忠実な実現がまったくないか、すべての頂点忠実な実現が忠実であるかのどちらかです。アペイロゴンは退化していないため、この条件はアペイロゴンの実現が忠実であることを示すのに十分です。

[Coxeter-1] Coxeter, HSM (1948). Regular polytopes . ロンドン: Methuen & Co. Ltd. p. 45.

[Johnson-2] ジョンソン、ノーマン W. (2018)。「11: 有限対称群」。幾何学と変換。ケンブリッジ大学出版局。p. 226。ISBN 9781107103405。

[McMullen-Schulte-3] McMullen, Peter ; Schulte, Egon (2002年12月). Abstract Regular Polytopes (第1版). Cambridge University Press . ISBN 0-521-81496-0。

[McMullen-4] McMullen、Peter (1994)、「正則アペイロトープの実現」、Aequationes Mathematicae、47 (2–3): 223–239、doi :10.1007/BF01832961、MR 1268033、S2CID 121616949

[Grünbaum-6] グリュンバウム、B. (1977)。「正多面体 – 古くて新しい」。数学の方程式。16：1～20。土井：10.1007/BF01836414。S2CID 125049930。

[7] Coxeter, HSM (1937). 「3次元および4次元の正則歪曲多面体」. Proc. London Math. Soc . 43 : 33–62.