超平行定理

双曲幾何学では、2つの直線が交わらず、かつ極限的に平行でない場合、それらは超平行であると言われます。

超平行線定理とは、（異なる）超平行線の任意のペアには、一意の共通垂線（両方の線に垂直な双曲線）が存在するという定理である。

rとsを2本の超平行線とする。

s 上の任意の2 つの異なる点AとCから、 rに垂直なABとCB' を、 r上の点B とB 'に引きます。

AB = CB' となる場合、求める共通の垂線は AC と BB' の中点を結びます (サッケリ四角形ACB'B の対称性による)。

そうでない場合は、一般性を失うことなく AB < CB' と仮定します。E を、C から A の反対側にある直線 s 上の点とします。A' を CB' 上に取り、A'B' = AB とします。A' を通って、E に近い側に直線 s' (A'E') を引き、角 B'A'E' が角 BAE と同じになるようにします。すると、s' は s と通常の点 D' で交わります。AD = A'D' となるように、半直線 AE 上に点 D を作図します。

すると D' ≠ D となります。これらは r から同じ距離にあり、両方とも s 上にあります。したがって、D'D (s の線分) の垂直二等分線も r に垂直です。^{[ 1 ]}

（もしrとsが超平行ではなく漸近的に平行であった場合、s'がsと交わらないため、この構成は成り立たない。むしろs'はsとrの両方に平行な極限となる。）

させて

${\displaystyle a<b<c<d}$

をデカルト座標平面上の4つの異なる点とする。${\displaystyle p}$そして${\displaystyle q}$横軸の上にある直径を持つ半円${\displaystyle ab}$そして${\displaystyle cd}$それぞれ。次に、ポアンカレ半平面モデルHPでは、${\displaystyle p}$そして${\displaystyle q}$超平行線を表す。

次の2つの双曲線運動を作図しなさい。

${\displaystyle x\to xa}$

$単位半円における反転。$

それから${\displaystyle a\to \infty ,\quad b\to (ba)^{-1},\quad c\to (ca)^{-1},\quad d\to (da)^{-1}.}$

それでは、次の2つの双曲線運動を続けてください。

${\displaystyle x\to x-(ba)^{-1}}$

${\displaystyle x\to \left[(ca)^{-1}-(ba)^{-1}\right]^{-1}x}$

それから${\displaystyle a}$滞在先${\displaystyle \infty }$、${\displaystyle b\to 0}$、${\displaystyle c\to 1}$、${\displaystyle d\to z}$（言う）原点を中心とする、上側の半円に垂直な、独特な半円${\displaystyle 1z}$一方の半径は他方の半径に接していなければならない。横座標と垂線半径によって形成される直角三角形の斜辺の長さは${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(z+1)}$。 以来${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(z-1)}$ 半円の半径は${\displaystyle 1z}$求められる共通の垂直線は半径の二乗を持つ

${\displaystyle {\frac {1}{4}}\left[(z+1)^{2}-(z-1)^{2}\right]=z.}$

4つの双曲線運動が生み出した${\displaystyle z}$上記はそれぞれ反転させて逆順に原点を中心とする半径の半円に適用することができる。${\displaystyle {\sqrt {z}}}$両方の超平行線に垂直な、唯一の双曲線線を生成する${\displaystyle p}$そして${\displaystyle q}$。

双曲幾何学のベルトラミ＝クラインモデルでは：

• 2本の超平行線は、2本の交差しない弦に対応する。
• これら2つの直線の極は、それぞれの弦の端点における境界円への接線の交点である。
• 直線lに垂直な線は、延長線がlの極を通る弦によってモデル化される。
• したがって、与えられた2つの直線の極を結ぶ唯一の直線を引き、それを境界円と交差させます。この交点の弦が、超平行線に共通する垂線となります。

弦の1つが直径である場合、極は存在しませんが、この場合、直径に垂直な弦はベルトラミ・クラインモデルでも垂直であるため、直径と直角に交わるもう一方の線の極を通る線を引いて、共通の垂直線を得ます。

この構成が常に可能であることを示すことで、証明は完了する。

• 両方の弦が直径である場合、それらは交差する（境界円の中心で）。
• 一方の弦のみが直径である場合、もう一方の弦は、最初の弦の内部に含まれる部分に向かって直交方向に投影され、極から直径に直交する線は、直径と弦の両方と交差する。
• 両方の線が直径でない場合、各極から引いた接線を延長して、単位円が内接する四角形を作成できます。極はこの四角形の対向する頂点であり、弦は頂点の隣接する辺を、対向する角を通って結んだ線です。四角形は凸であるため、極間の線は角を通って引かれた2つの弦の両方と交わり、弦間の線分が、他の2つの弦に垂直な必要な弦を定義します。

あるいは、超平行線の共通垂線を次のように構成することもできます。ベルトラミ・クラインモデルにおける超平行線は、互いに交わらない2本の弦です。しかし、実際には円の外側で交わります。交点の極が、求める共通垂線です。^{[ 2 ]}

• Karol Borsuk & Wanda Szmierew (1960) 『幾何学の基礎』、291 ページ。