直線L （地平線と直角に交わるため直線と呼ばれる）と点P によって決定されるハイパーサイクルHC を示すポアンカレ円盤 双曲幾何学 において、ハイパーサイクル 、ハイパーサークル 、または等距離曲線 とは、与えられた直線（その軸）から直交距離 が等しい点を持つ曲線 のことである。
直線Lと、 L 上にない点Pが与えられたとき、点 P と同じ側にあるすべての点Q を 、L への垂直距離が P への垂直距離に等しいものとして選択することにより、 ハイパー サイクルを構築でき ます。直線Lは、ハイパーサイクルの 軸 、中心 、または基線 と呼ばれます。L に垂直で、かつハイパーサイクルにも垂直な線は、ハイパーサイクルの法線 半径と呼ばれます。それらの共通の長さは 、ハイパーサイクルの 距離 または半径 と 呼ばれます。[ 1 ]
ある点を通るハイパーサイクルのうち、その点を通る接線を 共有するものは、それらの距離が無限大に近づくにつれて、ホロサイクルへと収束する。
ユークリッド線に類似した性質 ハイパーサイクルは、ユークリッド幾何学 における直線 と類似した性質をいくつか持っている。
平面において、軸（直線）と、その軸上にない点が与えられた場合、その点を通る、与えられた軸を持つハイパーサイクルはただ一つしか存在しない（ユークリッド幾何学におけるプレイフェアの公理 と比較せよ）。 ハイパーサイクルの3つの頂点は、いずれも円周上にはない。 ハイパーサイクルは、それに垂直な各直線に対して対称である。（ハイパーサイクルをそれに垂直な直線に関して対称にすると、同じハイパーサイクルが得られる。）
ユークリッド円と同様の性質 双曲幾何学におけるハイパーサイクルは、ユークリッド幾何学 における円 と類似した性質をいくつか持っている。
ハイパーサイクルの中点において弦に垂直な線は半径であり、弦がなす弧を二等分する。 AB M をその中点とする。対称性により、 AB M を通る直線R は軸L に直交しなければならない。したがって、R は半径である。 また、対称性により、Rは 弧AB ハイパーサイクルの軸と距離は一意に決定されます 。 ハイパーサイクルCには L 1 、L 2 前の条件を異なる弦で2回適用すると、2つの異なる半径R 1 、R 2 1 、 R 2は L 1 、L 2 から です 。 2つのハイパーサイクルが等しい距離を持つのは、それらが合同である場合に限る 。 距離が等しい場合、軸を剛体運動で一致させるだけで、すべての半径も一致します。距離が同じなので、2つのハイパーサイクルの点も一致します。 逆に、それらが合同であれば、前述の性質により距離は同じでなければならない。 直線はハイパーサイクルを最大で2点で切断する。 直線K がハイパーサイクルC を 2 点A、Bで切断するとします。これまでと同様に、 AB Mを通る C の半径R を作図できます。K は軸 L と共通の垂線 R を持つため、軸 L と超平行であることに注意してください。 また、 2つ の 超平行線は共通の垂線で最小距離を持ち、垂線から離れるにつれて単調に距離が増加します。 これは、 AB K の点は、A とBの L からの共通距離よりもL からの距離が小さく、 ABの K の点は、 Lからの距離が大きくなることを意味します。結論として、Kの他の点は C 上に存在できません。2つのハイパーサイクルは、最大で2点で交差する。 C 1 、C 2 を A、B、C で交わるハイパーサイクルとする。R 1 AB C 1 とC 2 同様に、 BC R2 を R 1 、R 2は、それぞれ C 1 、 C 2 L 1 、L 2 すでに証明したように、L 1 とL 2 すると、C 1 とC 2 は ハイパーサイクルのどの3点も同一直線上にはない。 ハイパーサイクルの点A、B、C が同一直線上にある場合、弦AB 、BC K 上にあります。AB、BC の中点を通る半径を R 1、R 2 とします。 ハイパー の 軸 Lは 、 1 、 R 2 の 共通 垂線 しかし、K は共通の垂直線 である。そうすると距離は0になり、ハイパーサイクルは直線に退化する。
その他の物件 2点間のハイパーサイクルの弧の長さは 2点間の線分の長さよりも長い、 2点間の2つのホロサイクル のうちの1つの弧の長さよりも短く、 その2点間のどの円弧よりも短い。 ハイパーサイクルとホロサイクルは、最大で2点で交差する。 sinh 2 r = 1 を満たす半径r のハイパーサイクルは、反転によって双曲平面の準対称性を誘導します。（このようなハイパーサイクルは、その軸と π/4 の角度で交わります。）具体的には、軸の開いた半平面内の点Pは、平行角が Pの 平行角 の補角であるP' に反転します。この準対称性は、より高次元の双曲空間に一般化され、双曲多様体の研究を容易にします。これは、双曲平面の円錐曲線の分類に広く使用されており、分割反転 と呼ばれています。分割反転は等角対称ですが、軸と平面の境界を交換するため、真の対称性ではなく、もちろん等長変換でもありません。
弧の長さ 定曲率 −1の双曲平面では、ハイパーサイクルの弧の長さは、半径rと法線が軸 d と交差する点間の距離から、式l = d cosh r [ 2 ]
工事 双曲平面のポアンカレ円盤モデル では、ハイパーサイクルは境界円と直角ではない角度で交わる直線と円弧で表されます。軸の表現は境界円と同じ点で交わりますが、その角度は直角です。
双曲平面のポアンカレ半平面モデル では、ハイパーサイクルは境界線と直角ではない角度で交わる直線と円弧で表されます。軸の表現は境界線と同じ点で交わりますが、その角度は直角です。
シュタイナー放物線の合同類 双曲平面におけるシュタイナー放物線の合同類は、与えられた軸の与えられた半平面H内のハイパーサイクルと 1 対 1 で対応します。入射幾何学では、 共線化 T によって生成される点Pにおける シュタイナー円錐曲線は、 P を通るすべての直線Lと T ( L ) の交点L ∩ T ( L ) の軌跡です。これは、体 上の射影平面 における円錐曲線のシュタイナーの定義の類似物です。双曲平面におけるシュタイナー円錐曲線の合同類は、 P とT ( P ) の間の距離 sと、 Tが T ( P ) の周りに誘導する回転角φ Fからの距離が直線ではない ハイパーサイクル準線 までの距離に等しい点の軌跡です。ハイパーサイクルに共通の軸があると仮定すると、 F の位置は 次のようにφ sinh s = 1 を固定すると、放物線のクラスはφ ∈ (0, π/2) と一対一に対応 します。共形円盤モデルでは、各点Pは | P | < 1 を満たす複素数です。共通軸を実数直線 とし、ハイパーサイクルがIm P > 0 を満たす半平面 H内にあると仮定します。すると、各放物線の頂点は H 内にあり、放物線は頂点を通り軸に垂直な直線に関して対称になります。ハイパーサイクルが軸から距離dにある場合、 タン d = タン ϕ 2 、 {\displaystyle \tanh d=\tan {\tfrac {\phi }{2}},} F = （ 1 − タン ϕ 1 + タン ϕ ） 私 。 {\displaystyle F=\left({\frac {1-\tan \phi }{1+\tan \phi }}\right)i.} φ = π/4 のときF = 0 となりますH は不変になります。これは調和的な 場合であり、双曲平面の任意の反転モデルにおける放物線の表現は、調和的な種数 1 の 曲線となります。
参考文献 ポアンカレ円盤モデル における交互の八角形タイル張りは、ハイパーサイクル に従うエッジシーケンスによって見ることができる。↑ マーティン、ジョージ・E. (1986).幾何学の基礎と非ユークリッド平面 (1.、スプリンガー 修正版). ニューヨーク: スプリンガー・フェルラーク. p. 371. ISBN 3-540-90694-0 。 ↑ スモゴルジェフスキー、AS (1982)。 ロバチェフスキー幾何学 。モスクワ：ミール。p. 68 。 マーティン・ガードナー著 、『非ユークリッド幾何学』 、第4章、『数学の巨大な本』 、WWノートン社、2001年、ISBN 978-0-393-02023-6 MJ グリーンバーグ著、『ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学：発展と歴史』 第 3 版、WH フリーマン、1994 年。 ジョージ・E・マーティン著『幾何学の基礎と非ユークリッド平面』 、シュプリンガー・フェルラーク、1975年。 JG ラトクリフ著『双曲多様体の基礎』 、シュプリンガー、ニューヨーク、1994年。 デイビッド・C・ロイスター著『ハイパーサイクルとホロサイクル』 J. Sarli、「双曲平面における円錐曲線：共線群に固有のもの」、J. Geom. 103: 131-138 (2012) 
