幾何学の問題
点から直線までの 距離 （または 垂直距離 ） は 、ユークリッド幾何学 において、 固定された 点から固定された無限 直線 上の任意の点までの 最短 距離 です。これは、点と直線を結び、直線に 垂直な 線分 の長さです 。これを計算するための式は、いくつかの方法で導出および表現できます。
ある点からある線までの最短距離を知ることは、さまざまな状況で役立ちます。たとえば、道路までの最短距離を調べたり、グラフ上の散布を定量化したりする場合などです。 線形曲線フィッティングの一種であるデミング 回帰では、従属変数と独立変数の分散が等しい場合、 直交回帰 となり、各データ ポイントのフィッティングの不完全さの度合いが、回帰線からの点の垂直距離として測定されます。
デカルト座標
方程式で定義された線 平面上の直線が方程式ax + by + c = 0 で与えられる場合 （ a 、 b 、 cは 実 定数 で、 a と bは 両方とも0ではない）、直線から点（ x 0 、 y 0 ）までの距離は [1] [2] : p.14
距離 （ 1つの x + b ええ + c = 0 、 （
x
0
、
ええ
0
） ） =
|
1つの
x
0
+ b
ええ
0
+ c
|
1つの
2
+
b
2
。
{\displaystyle \operatorname {距離} (ax+by+c=0,(x_{0},y_{0}))={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}
この直線上で（ x 0 、 y 0 ）に最も近い点の座標は次のようになる： [3]
x =
b （ b
x
0
− 1つの
ええ
0
） − 1つの c
1つの
2
+
b
2
そして
ええ =
1つの （ − b
x
0
+ 1つの
ええ
0
） − b c
1つの
2
+
b
2
。
{\displaystyle x={\frac {b(bx_{0}-ay_{0})-ac}{a^{2}+b^{2}}}{\text{ および }}y={\frac {a(-bx_{0}+ay_{0})-bc}{a^{2}+b^{2}}}.}
水平線と垂直線
直線の一般的な方程式 ax + by + c = 0 では、 c も 0 でない限り、 a と b は 両方とも 0 にはならず、 c も 0 の場合、方程式は直線を定義しません。 a = 0 で b ≠ 0 の場合、直線は水平で、方程式 y = - c / bを持ちます。 ( x 0 、 y 0 )からこの直線までの距離は、公式に従って、長さ | y 0 - (- c / b )| = | by 0 + c | / | b |の垂直線分に沿って 測定されます。同様に、垂直線 ( b = 0) の場合、同じ点と直線の間の距離は、 水平線分に沿って測定すると、
| ax 0 + c | / | a | になります。
2点によって定義される線 直線が2点 P 1 =( x 1 , y 1 )と P 2 =( x 2 , y 2 )を通過する場合、直線からの
(x 0 ,y 0 )の距離は次のようになります。
距離 （
ポ
1
、
ポ
2
、 （
x
0
、
ええ
0
） ） =
|
（
ええ
2
−
ええ
1
）
x
0
− （
x
2
−
x
1
）
ええ
0
+
x
2
ええ
1
−
ええ
2
x
1
|
（
ええ
2
−
ええ
1
）
2
+ （
x
2
−
x
1
）
2
。
{\displaystyle \operatorname {距離} (P_{1},P_{2},(x_{0},y_{0}))={\frac {|(y_{2}-y_{1})x_{ 0}-(x_{2}-x_{1})y_{0}+x_{2}y_{1}-y_{2}x_{1}|}{\sqrt {(y_{2}-y_{ 1})^{2}+(x_{2}-x_{1})^{2}}}}.}
この式の分母は、 P 1 と P 2 の間の距離です 。分子は、3 点 (x 0 ,y 0 )、 P 1 、 P 2 を頂点とする三角形の面積の 2 倍です。参照: 三角形の面積 § 座標の使用 。この式は と同等で 、三角形の面積の標準公式を変形すると得られます。 ここで、 b は辺の長さ、 h は反対側の頂点からの垂直の高さです。
h =
2 あ
b
{\textstyle h={\frac {2A}{b}}}
あ =
1 2
b h
{\textstyle A={\frac {1}{2}}bh}
証明
代数的証明 この証明は、線が垂直でも水平でもない場合にのみ有効です。つまり、 線の方程式の
a も b もゼロではないと仮定します。
方程式ax + by + c = 0の直線の 傾きは - a / b なので、これに垂直な直線の傾きは b / a (負の逆数) になります。 直線 ax + by + c = 0 と、点 ( x 0 , y 0 )を通るそれに垂直な直線との交点を ( m , n ) とします。この 2 点を通る直線は元の直線に垂直なので、
ええ
0
− ん
x
0
− メートル
=
b 1つの
。
{\displaystyle {\frac {y_{0}-n}{x_{0}-m}}={\frac {b}{a}}.}
したがって、
この式を二乗すると次のようになります。
1つの （
ええ
0
− ん ） − b （
x
0
− メートル ） = 0 、
{\displaystyle a(y_{0}-n)-b(x_{0}-m)=0,}
1つの
2
（
ええ
0
− ん
）
2
+
b
2
（
x
0
− メートル
）
2
= 2 1つの b （
ええ
0
− ん ） （
x
0
− メートル ） 。
{\displaystyle a^{2}(y_{0}-n)^{2}+b^{2}(x_{0}-m)^{2}=2ab(y_{0}-n)(x_{0}-m).}
さて、考えてみましょう。
（ 1つの （
x
0
− メートル ） + b （
ええ
0
− ん ）
）
2
=
1つの
2
（
x
0
− メートル
）
2
+ 2 1つの b （
ええ
0
− ん ） （
x
0
− メートル ） +
b
2
（
ええ
0
− ん
）
2
= （
1つの
2
+
b
2
） （ （
x
0
− メートル
）
2
+ （
ええ
0
− ん
）
2
）
{\displaystyle (a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}=a^{2}(x_{0}-m)^{2}+2ab(y_{0}-n)(x_{0}-m)+b^{2}(y_{0}-n)^{2}=(a^{2}+b^{2})((x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2})}
上記の二乗方程式を使うと、
（ 1つの （
x
0
− メートル ） + b （
ええ
0
− ん ）
）
2
= （ 1つの
x
0
+ b
ええ
0
− 1つの メートル − b ん
）
2
= （ 1つの
x
0
+ b
ええ
0
+ c
）
2
{\displaystyle (a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}=(ax_{0}+by_{0}-am-bn)^{2}=(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}}
( m , n ) は ax + by + c = 0上にあるため 、
（
1つの
2
+
b
2
） （ （
x
0
− メートル
）
2
+ （
ええ
0
− ん
）
2
） = （ 1つの
x
0
+ b
ええ
0
+ c
）
2
{\displaystyle (a^{2}+b^{2})((x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2})=(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}}
そして、この2点によって決まる線分の長さを求める。
d =
（
x
0
− メートル
）
2
+ （
ええ
0
− ん
）
2
=
|
1つの
x
0
+ b
ええ
0
+ c
|
1つの
2
+
b
2
。
{\displaystyle d={\sqrt {(x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2}}}={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}
[4]
幾何学的証明 幾何学的証明の図 この証明は線が水平でも垂直でもない場合にのみ有効である。 [5]
座標 ( x 0 , y 0 ) の点 Pから、方程式 Ax + By + C = 0の直線に垂線を下します。 垂線の足を Rとします 。P を 通る垂直線を引き 、与えられた直線との交点を S とします。直線上の 任意の点 T に、水平線分と垂直線分の 2 辺を持ち、斜辺 TU が 与えられた直線上にあり、水平辺の長さが | B | である直角三角形 TVU を 描きます (図を参照)。直線の傾きが - A / Bであるため、 ∆ TVU の垂直辺の長さは | A |になります 。
∆ PRS と∆ TVUは ともに直角三角形 であり、平行線 PS と UV （ともに垂直線） に対する横断線の対応する角度であるため、∠ PSR ≅ ∠ TUV であるため、相似三角形です。 [6] これらの三角形の対応する辺は同じ比であるため、
|
ポ R
¯
|
|
ポ ス
¯
|
=
|
T 五
¯
|
|
T あなた
¯
|
。
{\displaystyle {\frac {|{\overline {PR}}|}{|{\overline {PS}}|}}={\frac {|{\overline {TV}}|}{|{\overline { TU}}|}}.}
点 S の 座標が ( x 0 , m ) の場合、 | PS | = | y 0 - m | となり、 点 P から直線まで
の距離は次のようになります。
|
ポ R
¯
|
=
|
ええ
0
− メートル
|
|
B
|
あ
2
+
B
2
。
{\displaystyle |{\overline {PR}}|={\frac {|y_{0}-m||B|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.}
Sは 直線上にある
ので、mの値は次のように求められます。
メートル =
− あ
x
0
− Ｃ
B
、
{\displaystyle m={\frac {-Ax_{0}-C}{B}},}
そして最終的に次のものを得る: [7]
|
ポ R
¯
|
=
|
あ
x
0
+ B
ええ
0
+ Ｃ
|
あ
2
+
B
2
。
{\displaystyle |{\overline {PR}}|={\frac {|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.}
この証明のバリエーションは、V を P に配置し、三角形 ∆ UVT の面積を 2 つの方法で計算して、 を得ることです。ここで、D は、 P から∆ UVT の斜辺まで引かれた∆ UVT
の高さです。次に、距離の公式を使用して 、、、 を P の座標と直線の方程式の係数で 表すと、示された式が得られます。 [ 引用が必要 ]
だ
|
T あなた
¯
|
=
|
五 あなた
¯
|
|
五 T
¯
|
{\displaystyle D|{\overline {TU}}|=|{\overline {VU}}||{\overline {VT}}|}
|
T あなた
¯
|
{\displaystyle |{\overline {TU}}|}
|
五 あなた
¯
|
{\displaystyle |{\overline {VU}}|}
|
五 T
¯
|
{\displaystyle |{\overline {VT}}|}
ベクトル投影の証明 ベクトル投影の証明の図 P を座標 ( x 0 , y 0 )の点とし 、 与えられた直線の方程式が ax + by + c = 0 であるとします。また、 Q = ( x 1 , y 1 ) をこの直線上の任意の点とし、 n を点 Q から始まるベクトル ( a , b ) とします 。ベクトル n は直線に垂直で、 点 Pから直線までの距離 dは n 上 の の正射影の長さに等しくなります 。この射影の長さは次のように求められます。
Q
P
→
{\displaystyle {\overrightarrow {QP}}}
d
=
|
Q
P
→
⋅
n
|
‖
n
‖
.
{\displaystyle d={\frac {|{\overrightarrow {QP}}\cdot \mathbf {n} |}{\|\mathbf {n} \|}}.}
今、
Q
P
→
=
(
x
0
−
x
1
,
y
0
−
y
1
)
,
{\displaystyle {\overrightarrow {QP}}=(x_{0}-x_{1},y_{0}-y_{1}),}
そして
Q
P
→
⋅
n
=
a
(
x
0
−
x
1
)
+
b
(
y
0
−
y
1
)
{\displaystyle {\overrightarrow {QP}}\cdot \mathbf {n} =a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})}
‖
n
‖
=
a
2
+
b
2
,
{\displaystyle \|\mathbf {n} \|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},}
したがって
d
=
|
a
(
x
0
−
x
1
)
+
b
(
y
0
−
y
1
)
|
a
2
+
b
2
.
{\displaystyle d={\frac {|a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}
Qは 直線上の点な ので 、 [8]
c
=
−
a
x
1
−
b
y
1
{\displaystyle c=-ax_{1}-by_{1}}
d
=
|
a
x
0
+
b
y
0
+
c
|
a
2
+
b
2
.
{\displaystyle d={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}
点から直線までの最短距離を求める別の式を作成することもできます。この導出では、直線が垂直でも水平でもないことも条件となります。
点 P は座標 ( ) で与えられます。直線の方程式は で与えられます 。点 P を通る直線の法線の方程式は で与えられます 。
x
0
,
y
0
{\displaystyle x_{0},y_{0}}
y
=
m
x
+
k
{\displaystyle y=mx+k}
y
=
x
0
−
x
m
+
y
0
{\displaystyle y={\frac {x_{0}-x}{m}}+y_{0}}
これら 2 本の線が交差する点は、元の線上で点 P に最も近い点です。したがって、
m
x
+
k
=
x
0
−
x
m
+
y
0
.
{\displaystyle mx+k={\frac {x_{0}-x}{m}}+y_{0}.}
この方程式をx について解くと 、
x
=
x
0
+
m
y
0
−
m
k
m
2
+
1
.
{\displaystyle x={\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}.}
交点の y 座標は、この x の値を元の直線の方程式に代入することで求められます。
y
=
m
(
x
0
+
m
y
0
−
m
k
)
m
2
+
1
+
k
.
{\displaystyle y=m{\frac {(x_{0}+my_{0}-mk)}{m^{2}+1}}+k.}
2 点間の距離を求める方程式を使用すると 、線と点の間の最短距離を求める公式は次のようになることがわかります。
d
=
(
X
2
−
X
1
)
2
+
(
Y
2
−
Y
1
)
2
{\displaystyle d={\sqrt {(X_{2}-X_{1})^{2}+(Y_{2}-Y_{1})^{2}}}}
d
=
(
x
0
+
m
y
0
−
m
k
m
2
+
1
−
x
0
)
2
+
(
m
x
0
+
m
y
0
−
m
k
m
2
+
1
+
k
−
y
0
)
2
=
|
k
+
m
x
0
−
y
0
|
1
+
m
2
.
{\displaystyle d={\sqrt {\left({{\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}-x_{0}}\right)^{2}+\left({m{\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}+k-y_{0}}\right)^{2}}}={\frac {|k+mx_{0}-y_{0}|}{\sqrt {1+m^{2}}}}.}
方程式ax + by + c = 0の直線に対して m = - a / b および k = - c / b を思い出すと 、少し代数を簡略化すると、これは標準的な表現になります。 [9]
ベクトル定式化の図解。 直線の方程式は ベクトル 形式で表すことができます。
x
=
a
+
t
n
{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} }
ここで、 a は直線上の点の位置、 n は 直線の方向の 単位ベクトル です 。スカラー t が変化すると、 x は 直線の
軌跡 を示します。
任意の点p からこの直線までの距離は 次のように与えられる。
distance
(
x
=
a
+
t
n
,
p
)
=
‖
(
a
−
p
)
−
(
(
a
−
p
)
⋅
n
)
n
‖
.
{\displaystyle \operatorname {distance} (\mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} ,\mathbf {p} )=\|(\mathbf {a} -\mathbf {p} )-((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \|.}
この式は次のように導出できる。は p から直線上の 点 a へのベクトルである。そして、 は直線上に投影された長さであり、したがって
a
−
p
{\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} }
(
a
−
p
)
⋅
n
{\displaystyle (\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} }
(
(
a
−
p
)
⋅
n
)
n
{\displaystyle ((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }
は直線へ
の 投影 であるベクトルである。したがって
a
−
p
{\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} }
(
a
−
p
)
−
(
(
a
−
p
)
⋅
n
)
n
{\displaystyle (\mathbf {a} -\mathbf {p} )-((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }
は直線に対する垂線の成分である 。点から直線までの距離は、 そのベクトルの ノルムに等しい。 [10] このより一般的な式は、2次元に限定されません。
a
−
p
{\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} }
直線（ l ）が点Aを通り、 方向ベクトルを持つ場合、点Pと直線（ l ）
の間の距離は
u
→
{\displaystyle {\vec {u}}}
d
(
P
,
(
l
)
)
=
‖
A
P
→
×
u
→
‖
‖
u
→
‖
{\displaystyle d(\mathrm {P} ,(l))={\frac {\left\|{\overrightarrow {\mathrm {AP} }}\times {\vec {u}}\right\|}{\|{\vec {u}}\|}}}
ここで は ベクトル との 外積 であり 、ここで は のベクトルノルムです 。
A
P
→
×
u
→
{\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {AP} }}\times {\vec {u}}}
A
P
→
{\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {AP} }}}
u
→
{\displaystyle {\vec {u}}}
‖
u
→
‖
{\displaystyle \|{\vec {u}}\|}
u
→
{\displaystyle {\vec {u}}}
クロス積は次元 3 と 7 にのみ存在し、次元 0 と 1 (クロス積は定数 0) には自明であることに注意してください。
参照
注記
^ ラーソン＆ホステラー 2007、452 ページ ^ スペイン 2007 ^ ラーソン＆ホステラー 2007、522 ページ ^ 確実性と不確実性の間: 5 つの単位における統計と確率、歴史的起源に関する注釈と数値例の説明 ^ Ballantine & Jerbert 1952 は論文の中でこの制限について言及していない。 ^ 2 つの三角形が線の反対側にある場合、これらの角度は交互の内角であるため一致します。 ^ バランタイン＆ジャーバート 1952 ^ アントン 1994、138-9 ページ ^ ラーソン＆ホステラー 2007、522 ページ ^ Sunday, Dan. 「線と点から線までの距離」。softSurfer 。 2013年 12月6日 閲覧 。
参考文献 アントン・ハワード（1994年）、 初等線形代数 （第7版）、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、 ISBN 0-471-58742-7 Ballantine, JP; Jerbert, AR (1952)、「直線または平面から点までの距離」、 American Mathematical Monthly 、 59 : 242–243、 doi :10.2307/2306514 ラーソン、ロン、ホステラー、ロバート（2007）、 Precalculus: A Concise Course 、Houghton Mifflin Co.、 ISBN 0-618-62719-7 スペイン、バリー（2007）[1957]、 Analytical Conics 、Dover Publications、 ISBN 0-486-45773-7
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