クライン群

数学において、クライン群は、3次元双曲空間H ³の向き保存等長変換群の離散部分群である。 PSL(2,  C )と同一視可能な後者は、行列式1の2 バイ 2複素行列を中心で割った商群であり、単位行列とその-1の積で構成される。PSL(2,  C )は、リーマン球面の向き保存等角変換として、およびR ³の開いた単位球B ³の向き保存等角変換として自然に表現される。メビウス変換群は、H ³の向き保存しない等長変換群PGL(2,  C )としても関連付けられる。したがって、クライン群は、これらの空間の1つに作用する離散部分群と見なすことができる。

一般クライン群の理論は、フェリックス・クライン (1883) と アンリ・ポアンカレ (1883) によって創設され、彼らはそれをフェリックス・クラインにちなんで名付けました。ショットキー群の特殊なケースは、その数年前、1877 年にショットキーによって研究されていました。

クライン群の現代的な定義の 1 つは、3 次元球体に双曲的等長変換の離散群として作用する群です。双曲的 3 次元空間には自然な境界があり、球体モデルでは、これは 2 次元球体と同一視できます。これを無限遠球と呼び、 と表記します。双曲的等長変換は、無限遠球面の等角同相写像に拡張されます (逆に、無限遠球面上のすべての等角同相写像は、ポアンカレ拡大によって球面上の双曲的等長変換に一意に拡張されます)。 複素解析の標準的な結果として、リーマン球面上の等角同相写像はまさにメビウス変換であり、これはさらに射影線型群PGL(2, C )の要素として識別できます。 したがって、クライン群は PGL(2, C )のサブグループ Γ として定義することもできます。 古典的には、クライン群はリーマン球面の空でない開部分集合上で適切に不連続に作用する必要がありましたが、現代の用法では任意の離散サブグループが許可されています。 ${\displaystyle B^{3}}$${\displaystyle S_{\infty }^{2}}$

Γ が3 次元双曲多様体の基本群 に同型である場合、商空間H ³ /Γ は多様体のクラインのモデルになります。多くの著者は、クラインのモデルとクラインの群という用語を互換的に使用し、一方が他方を表すようにしています。 ${\displaystyle \pi _{1}}$

離散性は、双曲 3 次元空間の内部の点が有限の安定点を持ち、群 Γ の下で離散軌道を持つことを意味します。一方、点pの軌道 Γ pは通常、閉じた球の境界上に蓄積されます。 ${\displaystyle {\bar {B}}^{3}}$

Γ pの集積点の集合はΓの極限集合と呼ばれ、通常は と表記されます。補集合は不連続領域、通常集合、または正則集合と呼ばれます。アルフォースの有限性定理は、群が有限生成である場合、 は有限型の リーマン面オービフォールドであることを意味します。${\displaystyle S_{\infty }^{2}}$${\displaystyle \Lambda (\Gamma )}$${\displaystyle \Omega (\Gamma )=S_{\infty }^{2}-\Lambda (\Gamma )}$${\displaystyle \Omega (\Gamma )/\Gamma }$

共形構造を持つ単位球B ^3は、双曲型3次元空間のポアンカレモデルである。これを計量的に考えると、計量

${\displaystyle ds^{2}={\frac {4\,\left|dx\right|^{2}}{\left(1-|x|^{2}\right)^{2}}}}$

これは3次元双曲空間H ³のモデルである。B 3の共形自己写像の集合は、^{この同一視の下では}H ^3の等長写像（すなわち距離保存写像）の集合となる。このような写像は、メビウス変換であるの共形自己写像に制限される。同型写像が存在する 。${\displaystyle S_{\infty }^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {Mob} (S_{\infty }^{2})\cong \operatorname {Conf} (B^{3})\cong \operatorname {Isom} (\mathbf {H} ^{3}).}$

方向保存変換からなるこれらの群の部分群はすべて、単位球面と複素射影直線P ¹ ( C )との通常の同一視により、射影行列群PSL(2, C )と同型である。

クライン群の定義にはいくつかのバリエーションがあります。クライン群は、PSL(2, C ).2 (つまり、複素共役によって拡張された PSL(2, C ) の部分群) であることが許可される場合があり、言い換えると、方向反転要素を持つことが許可される場合があり、有限生成であると仮定される場合があり、リーマン球面の空でない開部分集合上で適切に不連続に作用することが要求される場合もあります。

• クライン群は、その不連続領域が群作用の下で有限個の成分の軌道を持ち、各成分をその安定化成分で割った商が有限個の点が除去されたコンパクトなリーマン面であり、被覆が有限個の点で分岐している場合、有限型であると言われます。
• クライン群は、生成元が有限個ある場合、有限生成群と呼ばれます。アルフォース有限性定理によれば、そのような群は有限型です。
• H ³ /Γ が有限体積を持つ場合、クライン群 Γ は有限共体積を持ちます。有限共体積の任意のクライン群は有限生成です。
• クライン群は、有限個の辺を持つ基本多面体（双曲 3 次元空間内）を持つ場合、幾何学的に有限であると呼ばれます。アルフォースは、極限集合がリーマン球面全体でない場合、測度は 0 になることを示しました。
• クライン群 Γ は、ちょうど 1 つの複素数位を持つ数体k上のすべての実数位で分岐した四元数代数Aの位数の群ノルム 1 元と通約可能である場合、算術的と呼ばれます。算術クライン群は有限の共体積を持ちます。
• クライン群 Γ は、H ³ /Γ がコンパクトである場合、または同値として SL(2, C )/Γ がコンパクトである場合に、ココンパクトと呼ばれます。ココンパクトなクライン群は有限の共体積を持ちます。
• クライン群は、有限生成であり、その双曲多様体が境界を持つコンパクト多様体の内部に同相である場合に、位相的に穏やかであると呼ばれます。
• クライン群は、その端が幾何学的に有限であるか単純に退化している場合、幾何学的に穏やかであると呼ばれます(Thurston 1980)。
• クライン群は、極限集合がリーマン球面全体である場合はタイプ 1であるとされ、それ以外の場合はタイプ 2であるとされます。

• クライン群のモジュライ空間を通るマスキットスライス

ビアンキ群は、PSL(2, O _d ) の形式のクライン群であり、 はda 正の平方自由整数に対する虚数二次体の整数環です。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}$

クライン群は、その極限集合が有限である場合に基本群と呼ばれます。この場合、極限集合には 0、1、または 2 個の点があります。基本クライン群の例には、有限クライン群 (極限集合が空) や無限巡回クライン群があります。

すべての要素がリーマン球面上の共通の不動点を持つ場合、クライン群は可約であると呼ばれます。可約クライン群は基本的ですが、いくつかの基本有限クライン群は可約ではありません。

任意のフックス群（PSL(2, R )の離散部分群）はクライン群であり、逆に、実数直線を保存する任意のクライン群（リーマン球面への作用において）はフックス群である。より一般的には、リーマン球面上で円または直線を保存するすべてのクライン群はフックス群と共役である。

• クライン群Gの因子は、以下の性質に従う H最大部分群です。
  • Hは単連結不変成分Dを持つ
  • Hの元hの共形単射による共役は、 hが放物型または楕円型である場合に限り、放物型または楕円型になります。
  • Dの境界点を固定するGの任意の放物線要素はHにあります。
• クライン群のすべての因子が基本因子またはフックス因子である場合、そのクライン群はケーベ群と呼ばれます。

ジョルダン曲線を保存するクライン群は、準フックス群と呼ばれます。ジョルダン曲線が円または直線の場合、これらは共形変換の下でフックス群と共役です。有限生成の準フックス群は、準共形変換の下でフックス群と共役です。極限集合は不変ジョルダン曲線に含まれており、それがジョルダン曲線と等しい場合、その群は第 1 種、そうでない場合は第 2 種であると言われています。

C _{i を}有限個の互いに素な閉円板の集合の境界円とする。各円における反転によって生成される群は、極限集合としてカントール集合を​​持ち、商H ³ / Gは、基底空間として球を持つ鏡像オービフォールドである。これはハンドル体によって二重に覆われており、対応する指数2 の部分群は、ショットキー群と呼ばれるクライン群である。

T を双曲 3 次元空間の周期的な モザイク分割とします。モザイク分割の対称群はクライン群です。

任意の有向双曲型 3 次元多様体の基本群はクライン群です。8 の字結び目の補集合やザイフェルト・ウェーバー空間など、クライン群の例は数多くあります。逆に、クライン群に非自明な捩れ元がない場合、それは双曲型 3 次元多様体の基本群です。

クライン群は、基本群でなく、その極限集合が単連結である場合に退化していると呼ばれる。そのような群は、準フックス群の適切な極限をとって、正則点の 2 つの成分のうちの 1 つが空集合に縮退することによって構成することができ、これらの群は単退 と呼ばれる。正則集合の両方の成分が空集合に縮退する場合、極限集合は空間充填曲線になり、群は二重退化 と呼ばれる。退化クライン群の存在は、Bers (1970) によって間接的に初めて示され、最初の明示的な例は Jørgensen によって発見された。Cannon と Thurston (2007) は、擬似アノソフ写像に関連付けられた二重退化群と空間充填曲線の例を示した。

• アルフォース測度予想
• クライン群の密度定理
• 終結積層定理
• 従順定理（マーデンの予想）

• Bers, Lipman (1970)、「タイヒミュラー空間の境界とクライン群について。I」、Annals of Mathematics、第 2 シリーズ、91 (3): 570–600、doi :10.2307/1970638、ISSN  0003-486X、JSTOR  1970638、MR  0297992
• Bers, Lipman ; Kra, Irwin編 (1974)、A Crash Course on Kleinian Groups (PDF)、Lecture Notes in Mathematics、vol. 400、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、doi：10.1007/BFb0065671、hdl：10077/4140、ISBN 978-3-540-06840-2、MR  0346152
• キャノン、ジェームズ W.;サーストン、ウィリアム P. (2007) [1982]、「グループ不変ペアノ曲線」、ジオメトリとトポロジー、11 (3): 1315–1355、doi : 10.2140/gt.2007.11.1315、ISSN  1465-3060、MR  2326947
• フリッケ、ロバート。 Klein、Felix (1897)、Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen。エルスターバンド。 Die gruppentheoretischen Grundlagen (ドイツ語)、ライプツィヒ: BG Teubner、ISBN 978-1-4297-0551-6、JFM  28.0334.01
• フリッケ、ロバート。 Klein、Felix (1912)、Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen。 Zweiter Band: Die funktionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen. 1. Lieferung: E​​ngere Theorie der automorphen Funktionen (ドイツ語)、ライプツィヒ: BG Teubner.、ISBN 978-1-4297-0552-3、JFM  32.0430.01
• Harvey、William James (1978)、「Kleinian groups (a Survey)」、Séminaire Bourbaki、29e année (1976/77)、Exp. No. 491、数学講義ノート、vol. 491 677、シュプリンガー、ベルリン、30–45 ページ、土井:10.1007/BFb0070752、ISBN 978-3-540-08937-7、MR  0521758
• カポビッチ、マイケル (2009) [2001]、「双曲多様体と離散群」、モダン・バークハウザー・クラシックス、ボストン、マサチューセッツ州：バークハウザー・ボストン、doi：10.1007/978-0-8176-4913-5、ISBN 978-0-8176-4912-8、MR  1792613
• クライン、フェリックス (1883)、「Neue Beiträge zur Riemann'schen Functionentheorie」、Mathematische Annalen、21 (2): 141–218、doi :10.1007/BF01442920、ISSN  0025-5831、JFM  15.0351.01、S2CID  120465625
• Kra, Irwin (1972)、「保型形式とクライン群」、数学講義ノートシリーズ、WA Benjamin, Inc.、マサチューセッツ州レディング、ISBN 9780805323429、MR  0357775
• Krushkal, SL (2001) [1994]、「クライン群」、数学百科事典、EMS Press
• マクラクラン、コリン; リード、アラン W. (2003)、「双曲型 3 次元多様体の算術」、Graduate Texts in Mathematics、vol. 219、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、CiteSeerX  10.1.1.169.1318、doi :10.1007/978-1-4757-6720-9、ISBN 978-0-387-98386-8、MR  1937957
• マスキット、バーナード(1988)、クライン群、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [数学科学の基本原理]、vol. 287、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-17746-3、MR  0959135
• 松崎 勝彦、谷口 雅彦 (1998)、双曲多様体とクライン群、オックスフォード数学モノグラフ、クラレンドン・プレス、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-850062-9、MR  1638795
• マムフォード、デイビッド；シリーズ、キャロライン；ライト、デイビッド（2002）、インドラの真珠、ケンブリッジ大学出版局、doi：10.1017 / CBO9781107050051.024、ISBN 978-0-521-35253-6、MR  1913879
• ポアンカレ、アンリ(1883)、「Mémoire sur Les groupes kleinéens」、Acta Mathematica、3 : 49–92、doi : 10.1007/BF02422441、ISSN  0001-5962、JFM  15.0348.02
• シリーズ、Caroline (2005)、「クライン群に関する集中コース」、Rendiconti dell'Istituto di Matematica dell'Università di Trieste、37 (1): 1–38、ISSN  0049-4704、MR  2227047、オリジナルからアーカイブ2011-07-22
  • サーストン、ウィリアム (1980)、「3次元多様体の幾何学と位相」、プリンストン講義ノート
• サーストン、ウィリアム P. (1982)、「3次元多様体、クライン群、双曲幾何学」、アメリカ数学会報、新シリーズ、6 (3): 357–381、doi : 10.1090/S0273-0979-1982-15003-0、ISSN  0002-9904、MR  0648524

• (Fricke & Klein 1897、p. 418) からの準フックス群の極限集合の図。
• クライン群の極限集合の図 (Fricke & Klein 1897, p. 440)。これは極限集合の最初の図の 1 つです。同じ極限集合のコンピュータ描画
• クライン群極限集合のアニメーション
• マクマレンによるクライン群に関連する画像
• Weisstein, Eric W.「Kleinian Group」。MathWorld。