双曲角

幾何学において、双曲角は、直交平面の第 1 象限のxy = 1の対応する双曲セクターの面積によって決定される実数です。双曲角は、座標として双曲関数を持つ単位双曲線をパラメータ化します。数学において、双曲角は双曲回転の下で保存されるため、不変の尺度です。

双曲線xy = 1 は長半径 を持つ長方形で、これは円角が半径 の円内の扇形の面積に等しいことに似ています。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

双曲角は、双曲関数sinh、cosh、tanhの独立変数として使用されます。これは、これらの関数が、双曲角を双曲三角形を定義するものと見なすことによって、対応する円 (三角) 関数に対する双曲類似性を前提としているためです。したがって、このパラメータは、実変数の計算で最も有用なパラメータの 1 つになります。

直角双曲線 を考え、（慣例により）枝に特に注意を払います。 ${\displaystyle \textstyle \{(x,{\frac {1}{x}}):x>0\}}$ ${\displaystyle x>1}$

まず定義します:

• 標準位置での双曲角は、 から への光線と から への光線の間の角度です( ) 。${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (1,1)}$${\displaystyle \textstyle (x,{\frac {1}{x}})}$${\displaystyle x>1}$
• この角度の大きさは、対応する双曲扇形の面積であり、 となります。${\displaystyle \operatorname {ln} x}$

自然対数が果たす役割により、次の点に注意してください。

• 円角とは異なり、双曲角は無限大です(無限大であるため)。これは調和級数が無限大であるという事実と関連しています。${\displaystyle \operatorname {ln} x}$
• 角度の大きさの公式は、 の場合、双曲角は負になるはずであることを示唆しています。これは、定義されているように、角度が に向けられているという事実を反映しています。${\displaystyle 0<x<1}$

最後に、双曲角の定義を、双曲線上の任意の区間によって囲まれる範囲に拡張します。 が正の実数で および であるとすると、 およびは双曲線上の点であり、その上の区間が決定されます。次に、スクイーズ マッピングにより、角度 が標準位置角にマッピングされます。Gregoire de Saint-Vincentの結果により、これらの角度によって決定される双曲セクターは同じ面積を持ち、これが角度の大きさとみなされます。この大きさは です。 ${\displaystyle a,b,c,d}$${\displaystyle ab=cd=1}$${\displaystyle c>a>1}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle (c,d)}$${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \textstyle f:(x,y)\to (bx,ay)}$${\displaystyle \angle \!\left((a,b),(0,0),(c,d)\right)}$${\displaystyle \angle \!\left((1,1),(0,0),(bc,ad)\right)}$${\displaystyle \operatorname {ln} {(bc)}=\operatorname {ln} (c/a)=\operatorname {ln} c-\operatorname {ln} a}$

単位円は、 ラジアン単位の円角の半分の面積を持つ円弧です。同様に、単位双曲線は、双曲角の半分の面積を 持つ双曲弧です。${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$

円の場合と双曲の場合の間にも射影分解があります。どちらの曲線も円錐曲線なので、射影幾何学では射影範囲として扱われます。これらの範囲の 1 つに原点があるとすると、他の点は角度に対応します。科学の基本である角度の加算という考え方は、次のようにこれらの範囲の 1 つにある点の加算に対応します。

円角は、2 本の弦 P ₀ P ₁とP ₀ P _{2 が}円の中心で角度L ₁とL _{2を囲む場合、それらの合計}L ₁ + L ₂が弦P ₀ Qによって囲まれる角度であり、P ₀ Q はP ₁ P ₂と平行である必要がありますという特性によって幾何学的に特徴付けることができます。

同じ構成は双曲線にも適用できます。P ₀を点(1, 1)、P _{1 を}点( x ₁ , 1/ x ₁ )、P _{2 を}点( x ₂ , 1/ x ₂ )とすると、平行条件によりQ は点( x ₁ x ₂ , 1/ x ₁ 1/ x ₂ )になります。したがって、 P _{0から曲線上の任意の点までの双曲線角を、その点の}xの値の対数関数として定義することは理にかなっています。^{[1] [2]}

ユークリッド幾何学では原点からの光線に直交する方向に着実に移動すると円が描かれますが、擬似ユークリッド平面では原点からの光線に直交する方向に着実に移動すると双曲線が描かれます。ユークリッド空間では、与えられた角度の倍数は円の周りで等距離を描きますが、双曲線上では指数距離を描きます。^[3]

円角と双曲角はどちらも不変測度のインスタンスを提供します。円上の角度の大きさを持つ弧は、円が回転しても大きさが変化しない、円上の特定の測定可能なセットの測度を生成します。双曲線の場合、回転は圧縮マッピングによって行われ、平面がマッピングによって圧縮されても双曲角の大きさは同じままです。

( x , y ) ↦ ( rx , y / r )、ただしr > 0 。

双曲角とミンコフスキー空間で定義された計量にも興味深い関係がある。2次元ユークリッド幾何学がその線要素を次のように定義するのと同様に、

${\displaystyle ds_{e}^{2}=dx^{2}+dy^{2},}$

ミンコフスキー空間上の線要素は^[4]

${\displaystyle ds_{m}^{2}=dx^{2}-dy^{2}.}$

2次元ユークリッド空間に埋め込まれた曲線を考える。

${\displaystyle x=f(t),y=g(t).}$

ここで、パラメータは、と( )の間の実数です。ユークリッド空間におけるこの曲線の弧長は次のように計算されます。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a\leqslant t<b}$

${\displaystyle S=\int _{a}^{b}ds_{e}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}dt.}$

が単位円を定義する場合、この方程式に設定される単一のパラメータ化された解はおよびです。 として、弧長を計算するとが得られます。ここで、ユークリッド要素をミンコフスキー線要素に置き換えて同じ手順を実行します。 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$${\displaystyle x=\cos t}$${\displaystyle y=\sin t}$${\displaystyle 0\leqslant t<\theta }$${\displaystyle S}$${\displaystyle S=\theta }$

${\displaystyle S=\int _{a}^{b}ds_{m}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}-\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}dt,}$

単位双曲線を、対応するパラメータ化された解の集合およびとして定義し、 (双曲角)とすることで、結果 に到達します。ユークリッド計量を使用した場合、円角が円弧の長さであるのと同様に、ミンコフスキー計量を使用した場合、双曲角は双曲弧の長さです。 ${\displaystyle y^{2}-x^{2}=1}$${\displaystyle y=\cosh t}$${\displaystyle x=\sinh t}$${\displaystyle 0\leqslant t<\eta }$${\displaystyle S=\eta }$

双曲線の求積法は、双曲扇形の面積の評価です。漸近線に対する対応する面積に等しいことが示されます。求積法は、1647 年にグレゴワール ド サン ヴァンサンがOpus geometicum quadrature circuli et sectionum coniで初めて達成しました。歴史家は次のように表現しています。

[彼は]双曲線の漸近線への求積法を作成し、面積が等差級数で増加すると横座標は等比級数で増加することを示した。^[5]

AA de Sarasa は求積法を対数として解釈したため、幾何学的に定義された自然対数(または「双曲対数」) は、 x = 1の右側のy = 1/ xの下の領域として理解されます。超越関数の例として、対数はその根拠となる双曲角よりもよく知られています。それでも、双曲角は、スクイーズ マッピングを使用してSaint-Vincent の定理を展開するときに役割を果たします。

円三角法は、オーガスタス・ド・モルガンの教科書『 三角法と二重代数』で双曲線に拡張されました。^[6] 1878年にWKクリフォードは双曲角を使用して単位双曲線をパラメータ化し、「準調和運動」と表現しました。

1894年、アレクサンダー・マクファーレンは、双曲角を使って双曲バーソルを生成するエッセイ「代数の虚数」を著書「空間解析論文」に掲載した。^[7]翌年、アメリカ数学会報はメレン・W・ハスケルの双曲関数の概要を出版した。^[8]

ルドヴィク・シルバーシュタインが1914年に新しい相対性理論に関する人気のある教科書を執筆したとき、彼は双曲角aに基づくラピディティ概念を使用しました。ここで、tanh a = v / cは速度vと光速の比です。彼は次のように書いています。

単位のラピディティには光速の 3/4 に相当する巨大な速度が対応していることは言及する価値があると思われます。より正確には、 a = 1の場合、v = (.7616) c となります。

[...] 急速度a = 1 、[...] は、結果として、水中の光速度よりわずかに速い速度 .76 cを表します 。

シルバーシュタインはロバチェフスキーの平行角Π( a )の概念も用いてcosΠ( a ) = v / cを得ている。^[9]

双曲角はしばしば虚数のように表現され、双曲関数coshとsinhは円関数を通して表現される。しかしユークリッド平面では円角の尺度を虚数、双曲角の尺度を実スカラーと見なすこともできる。${\textstyle \cos ix=\cosh x}$${\textstyle \sin ix=i\sinh x,}$${\textstyle \cosh ix=\cos x}$${\textstyle \sinh ix=i\sin x.}$

これらの関係は指数関数の観点から理解することができ、複素引数の場合はそれぞれ偶数部分と奇数部分に分解できます。 ${\textstyle z}$ ${\textstyle \cosh z={\tfrac {1}{2}}(e^{z}+e^{-z})}$${\textstyle \sinh z={\tfrac {1}{2}}(e^{z}-e^{-z}),}$

$${\displaystyle e^{z}=\cosh z+\sinh z=\cos(iz)-i\sin(iz),}$$

あるいは、引数が実部と虚部に分かれている場合、指数関数はスケーリングと回転の積に分割できる。${\textstyle z=x+iy,}$${\textstyle e^{x}}$${\textstyle e^{iy},}$

$${\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=(\cosh x+\sinh x)(\cos y+i\sin y)。}$$

無限級数として、

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}e^{z}&=\,\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}&&=1+z+{\tfrac {1}{2}}z^{2}+{\tfrac {1}{6}}z^{3}+{\tfrac {1}{24}}z^{4}+\dots \\\cosh z&=\sum _{k{\text{ even}}}{\frac {z^{k}}{k!}}&&=1+{\tfrac {1}{2}}z^{2}+{\tfrac {1}{24}}z^{4}+\dots \\\sinh z&=\,\sum _{k{\text{ odd}}}{\frac {z^{k}}{k!}}&&=z+{\tfrac {1}{6}}z^{3}+{\tfrac {1}{120}}z^{5}+\dots \\\cos z&=\sum _{k{\text{ even}}}{\frac {(iz)^{k}}{k!}}&&=1-{\tfrac {1}{2}}z^{2}+{\tfrac {1}{24}}z^{4}-\dots \\i\sin z&=\,\sum _{k{\text{ odd}}}{\frac {(iz)^{k}}{k!}}&&=i\left(z-{\tfrac {1}{6}}z^{3}+{\tfrac {1}{120}}z^{5}-\dots \right)\\\end{alignedat}}}$$

cos の無限級数は、cosh を交代級数に変換することで得られ、sin の級数は sinh を交代級数に変換することで得られます。

• 超越角

ウィキブック微積分学には、双曲角に関するページがあります。

• Janet Heine Barnett (2004)「舞台の中心に登場：双曲関数の初期のドラマ」、(a) Mathematics Magazine 77(1):15–30 または (b) RE Bradley、LA D'Antonio、CE Sandifer 編著『 Euler at 300』第7 章、Mathematical Association of America ISBN 0-88385-565-8で入手可能。 
• アーサー・ケネリー(1912) 双曲関数の電気工学問題への応用
• ウィリアム・ミューラー、「初等微積分の探求」、§ 数 e、双曲三角法。
• John Stillwell (1998) Numbers and Geometry exercise 9.5.3、p. 298、Springer-Verlag ISBN 0-387-98289-2。