交差比率

幾何学において、交差比（二重比、非調和比とも呼ばれる）は、特に射影直線上の4つの共線点のリストに関連付けられた数値である。直線上の4点A、B、C、Dが与えられた場合、それらの交差比は次のように定義される。

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC\cdot BD}{BC\cdot AD}}}$

ここで、直線の向きによって各距離の符号が決まり、距離はユークリッド空間に投影されたものとして測定されます。（4 つの点のうちの 1 つが直線の無限遠点である場合、その点を含む 2 つの距離は式から除外されます。）点Dは、4 組の交差比が−1である場合に限り、 AとBに関してCの調和共役となります。この −1 を調和比と呼びます。したがって、交差比は、この比からの 4 組のずれを測定するものと考えることができます。これが非調和比という名前の由来です。

交差比は線形分数変換によって保存される。これは本質的に、共線点の4つ組の唯一の射影不変量であり、これが射影幾何学におけるその重要性の根拠となっている。

交差比は、おそらくユークリッドによって既に古代に定義されており、パップスによって考察され、その重要な不変性が指摘された。19世紀には広く研究された。^{[ 1 ]}

この概念の変形は、射影平面上の4本の共線とリーマン球面上の4点にも存在する。双曲幾何学のケイリー＝クラインモデルでは、点間の距離はある特定の交差比で表される。

アレクサンドリアのパップスは、彼の著作集第7巻で交差比に相当する概念を暗黙のうちに用いていた。パップスの著作を初期に利用した人物には、アイザック・ニュートン、ミシェル・シャール、ロバート・シムソンなどがいる。1986年、アレクサンダー・ジョーンズはパップスの原著を翻訳し、パップスの補題が現代の用語とどのように関連しているかについての解説を書いた。^{[ 2 ]}

射影幾何学における交差比の現代的な使用は、 1803年にラザール・カルノーが著書『位置の幾何学』を発表したことから始まった。^{[ 3 ]}シャールは1837年にフランス語で「非調和比」という用語を作り出した。 ^{[ 4 ]}ドイツの幾何学者はこれを「二重比」と呼ぶ。

カール・フォン・シュタウトは、ユークリッド距離の代数的操作に依存する従来の交差比の定義が、純粋に総合的な射影幾何学の概念に基づいていないことに不満を抱いていた。1847年、フォン・シュタウトは、射影調和共役の構成に基づく代数を構築することで、代数構造が射影幾何学に内在していることを示した。彼はこれを「スロー」（ドイツ語: Wurf）と呼んだ。直線上の3点が与えられたとき、調和共役とは、交差比を-1に等しくする4点目の点である。彼のスロー代数は、通常は公理として扱われるが、射影幾何学で証明される数値命題へのアプローチを提供する。^{[ 5 ]}

英語の用語「cross-ratio」は、1878年にウィリアム・キングドン・クリフォードによって導入されました。^{[ 6 ]}

A、B、C、Dが向き付けられたアフィン直線上の4点である場合、それらの交差比は次のようになります。

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC:BC}{AD:BD}},}$

表記法を用いて${\displaystyle WX:YZ}$これは、 WからXへの変位とYからZへの変位の符号付き比を意味すると定義されます。同一直線上の変位の場合、これは無次元量です。

変位自体を符号付き実数とみなすと、点間の交差比は次のように表せる。

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC}{BC}}{\bigg ＊\frac {AD}{BD}}={\frac {AC\cdot BD}{BC\cdot AD}}.}$

もし$\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{\infty \}}$は射影的に拡張された実数直線であり、4つの異なる数の交差比である。${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$で${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$は

${\displaystyle (x_{1},x_{2};x_{3},x_{4})={\frac {x_{3}-x_{1}}{x_{3}-x_{2}}}{\bigg ⋆\frac {x_{4}-x_{1}}{x_{4}-x_{2}}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{4}-x_{2})}{(x_{3}-x_{2})(x_{4}-x_{1})}}.}$

の 1 つが${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$無限遠 点（${\displaystyle \infty }$)、これは例えば

${\displaystyle (\infty ,x_{2};x_{3},x_{4})={\frac {(x_{3}-\infty )(x_{4}-x_{2})}{(x_{3}-x_{2})(x_{4}-\infty )}}={\frac {(x_{4}-x_{2})}{(x_{3}-x_{2})}}.}$

同じ公式は 4 つの異なる複素数、あるいはより一般的には任意の体の要素に適用でき、また、上記のように射影的に拡張して、そのうちの 1 つが の場合にも適用できます。${\displaystyle \infty ={\tfrac {1}{0}}.}$

交差比は、例えば直線、円、円錐曲線の束に対して定義できます。例えば、${\displaystyle 4}$同軸円は、数多くの同等な方法で定義することができる。

• させて${\displaystyle A}$円の根軸上の交点が存在する場合、それを円の交点とする。すると、円の交差比は、円への接線の交差比として定義できる。${\displaystyle A}$。
• より一般的には、平面上の任意の点が与えられた場合、${\displaystyle 4}$この点とそれらの円との極線は一点で交わり、それらの交差比は選択した点に依存しない。
• 接線に直交する線をとることで${\displaystyle A}$そして、円の中心が位置する直線上に投影すると、それは円の中心の交差比に等しいことがわかる。
• これらの円の交差比は、次の円の交差比と等価に定義できることが逆変換によって証明できる。${\displaystyle A}$円（退化した場合には直線）が通過する${\displaystyle A}$。

4つの共線点A、B、C、Dの交差比は次のように表すことができます。

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC:CB}{AD:DB}}}$

どこ${\textstyle AC:CB}$点C が線分ABを分割する比率を表し、${\textstyle AD:DB}$これは、点Dが同じ線分を分割する比率を表します。交差比は、線分ABに関して2 つの点CとDの位置を表す比率の比率として現れます。点A、B、C、およびDが互いに異なる限り、交差比( A、B、C、D )はゼロでない実数になります。簡単に推測できます。

• ( A , B ; C , D ) < 0 となるのは、点 CまたはDのいずれかが点 AとB の間にあり、もう一方の点CまたはD が点AとBの間にない場合に限る。
• ( A , B ; C , D ) = 1 / ( A , B ; D , C )
• ( A , B ; C , D ) = ( C , D ; A , B )
• ( A , B ; C , D ) ≠ ( A , B ; C , E ) ⇔ D ≠ E

交差比は、射影直線の射影変換によって保存されるという意味で、射影不変量である。

特に、4つの点が一直線上にある場合${\textstyle L}$で$\textstyle {\mathbf {R}}^{2}}$すると、それらの交差比は明確に定義された量となる。なぜなら、原点の選択や、線上の目盛りの選択に関わらず、交差比の値は常に同じになるからである。

さらに、${\textstyle \{L_{i}\mid 1\leq i\leq 4\}}$平面上で同じ点を通る4つの異なる直線である${\textstyle Q}$.次に任意の行${\textstyle L}$通過しない${\textstyle Q}$これらの線は4つの異なる点で交わる。${\textstyle P_{i}}$（もし${\textstyle L}$と並行しています$\textstyle L_{i}}$すると、対応する交点は「無限遠」となる。これらの点（固定された順序で取った場合）の交差比は、直線の選択に依存しないことがわかった。${\textstyle L}$したがって、それは4行組の不変量である。${\textstyle L_{i}.}$

これは次のように理解できます。${\textstyle L}$そして${\textstyle L'}$2本の線が交差していない${\textstyle Q}$そして、${\textstyle L}$に${\textstyle L'}$中央で${\textstyle Q}$は、四つ組を射影変換する${\textstyle \{P_{i}\}}$ポイント${\textstyle L}$四重奏へ${\textstyle \{P_{i}'\}}$ポイント${\textstyle L'}$。

したがって、直線の射影自己同型の下での交差比の不変性は、（実際には）4つの共線点の交差比の独立性を意味する。${\textstyle \{P_{i}\}}$線上で${\textstyle \{L_{i}\}}$それらを含む行の選択から。

4 つの共線点が同次座標でベクトルで表される場合${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$そのため${\displaystyle \gamma =a\alpha +b\beta }$そして${\displaystyle \delta =c\alpha +d\beta }$すると、それらの交差比は${\displaystyle (b/a)/(d/c)}$[ ^{7 ]​}

アーサー・ケイリーとフェリックス・クラインは、交差比を非ユークリッド幾何学に応用する方法を発見した。非特異な円錐曲線が与えられた場合、${\displaystyle C}$実射影平面において、その安定化子${\displaystyle G_{C}}$投影群において${\displaystyle G=\operatorname {PGL} (3,\mathbb {R} )}$ 内部の点に対して推移的に作用する${\displaystyle C}$しかし、作用には不変量がある。${\displaystyle G_{C}}$点のペアについて。実際、そのような不変量はすべて、適切な交差比の関数として表現できます。^{[ 8 ]}

交差比は、以下の4つの式のいずれかで定義できます。

${\displaystyle (A,B;C,D)=(B,A;D,C)=(C,D;A,B)=(D,C;B,A).}$

これらは、変数の以下の順列によって異なります（サイクル表記）。

${\displaystyle 1,\ (\,A\,B\,)(\,C\,D\,),\ (\,A\,C\,)(\,B\,D\,),\ (\,A\,D\,)(\,B\,C\,).}$

4つの変数の置換は、対称群S4が4つの変数の関数に及ぼす作用とみなすことができる_。上記の4つの置換は交差比を変化させないため、この作用の下で交差比の安定化群Kを形成し、これにより商群の有効作用が誘導される。${\displaystyle \mathrm {S} _{4}/K}$交差比の軌道上。K の 4 つの置換はS 4_におけるクライン4 群の実現を提供し、商は${\displaystyle \mathrm {S} _{4}/K}$は対称群S ₃と同型である。

したがって、4つの変数の他の順列は交差比を変化させ、次の6つの値を与える。これらは6要素群の軌道である。${\displaystyle \mathrm {S} _{4}/K\cong \mathrm {S} _{3}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}(A,B;C,D)&=\lambda &(A,B;D,C)&={\frac {1}{\lambda }},\\[4mu](A,C;D,B)&={\frac {1}{1-\lambda }}&(A,C;B,D)&=1-\lambda ,\\[4mu](A,D;C,B)&={\frac {\lambda }{\lambda -1}}&(A,D;B,C)&={\frac {\lambda -1}{\lambda }}.\end{aligned}}}$

関数として${\displaystyle \lambda ,}$これらはメビウス変換の例であり、関数の合成によってメビウス群PGL(2, C )を形成します。 6 つの変換は、 S ₃と同型である非調和群として知られる部分群を形成します。 これらはPGL (2, C )のねじれ要素 (楕円変換) です。すなわち、${\textstyle {\tfrac {1}{\lambda }}}$、${\displaystyle 1-\lambda \,}$、 そして${\textstyle {\tfrac {\lambda }{\lambda -1}}}$それぞれ固定点を持つ2次のものである${\displaystyle -1,}$${\textstyle {\tfrac {1}{2}},}$そして${\displaystyle 2,}$（すなわち、調和交差比の軌道）。一方、要素は ${\textstyle {\tfrac {1}{1-\lambda }}}$そして${\textstyle {\tfrac {\lambda -1}{\lambda }}}$これらはPGL(2, C )において3次の値であり、それぞれが両方の値を固定する。${\textstyle e^{\pm i\pi /3}={\tfrac {1}{2}}\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i}$「最も対称的な」交差比の解（${\displaystyle x^{2}-x+1}$（1の原始的な6乗根）。位数2の要素は、これらの2つの要素を交換します（固定点以外の任意のペアを交換するのと同様）。したがって、非調和群の作用は${\displaystyle e^{\pm i\pi /3}}$対称群の商写像を与える${\displaystyle \mathrm {S} _{3}\to \mathrm {S} _{2}}$。

さらに、個々の2サイクルの固定点はそれぞれ、${\displaystyle -1,}$${\textstyle {\tfrac {1}{2}},}$そして${\displaystyle 2,}$また、この集合は3サイクルによって保存され、置換されます。幾何学的には、これは右図に示すように、三角形D ₃の二面体群と同型である三角二面体の回転群として視覚化できます。代数的には、これは共役による2サイクル (そのシロー 2 部分群)に対するS ₃の作用に対応し、内部自己同型群との同型を実現します。${\textstyle \mathrm {S} _{3}\mathrel {\overset {\sim }{\to }} \operatorname {Inn} (\mathrm {S} _{3})\cong \mathrm {S} _{3}.}$

非調和群は以下によって生成される。${\textstyle \lambda \mapsto {\tfrac {1}{\lambda }}}$そして${\textstyle \lambda \mapsto 1-\lambda .}$その行動は${\displaystyle \{0,1,\infty \}}$これはS ₃との同型写像を与える。また、前述の 6 つのメビウス変換^{[ 9 ]}としても実現でき、これにより任意の体上のS ₃の射影表現が得られる(整数成分で定義されているため)。また、常に忠実/単射である (2 つの項の差が1/−1だけになることはない)。2 つの要素を持つ体上では、射影直線は 3 つの点しか持たないため、この表現は同型写像であり、例外的な同型写像である。${\displaystyle \mathrm {S} _{3}\approx \mathrm {PGL} (2,\mathbb {Z} _{2})}$特性3では、これにより点が安定化する。${\displaystyle -1=[-1:1]}$これは調和交差比の軌道が一点のみであることに対応します。${\textstyle 2={\tfrac {1}{2}}=-1}$3 つの要素を持つフィールドでは、射影線には 4 つの点しかなく、${\displaystyle \mathrm {S} _{4}\approx \mathrm {PGL} (2,\mathbb {Z} _{3})}$したがって、この表現は調和交差比の安定化子であり、埋め込みが得られます。${\displaystyle \mathrm {S} _{3}\hookrightarrow \mathrm {S} _{4}}$点の安定器に等しい${\displaystyle -1}$。

交差比は、直線の射影変換の下で不変である。複素射影直線、すなわちリーマン球面の場合、これらの変換はメビウス変換として知られている。一般的なメビウス変換は次の形式をとる。

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}\;,\quad {\mbox{where }}a,b,c,d\in \mathbb {C} {\mbox{ and }}ad-bc\neq 0.}$

これらの変換は、リーマン球面上に作用する群 、すなわちメビウス群を形成する。

交差比の射影不変性は、

${\displaystyle (f(z_{1}),f(z_{2});f(z_{3}),f(z_{4}))=(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4}).\ }$

交差比が実数となるのは、4つの点が同一直線上にあるか、または同一円周上にある場合に限られる。これは、すべてのメビウス変換が一般化された円を一般化された円に写像するという事実を反映している。

メビウス群の作用は、リーマン球面の異なる点の三つ組の集合上で単純に推移的です。異なる点の任意の順序付き三つ組が与えられた場合、${\displaystyle (z_{2},z_{3},z_{4})}$そこには独特なメビウス変換が存在する。${\displaystyle f(z)}$それはそれをトリプルにマッピングします${\displaystyle (0,1,\infty )}$この変換は、交差比を用いて次のように簡単に説明できます。${\displaystyle (z,z_{2};z_{3},z_{4})}$等しくなければならない${\displaystyle (f(z),1;0,\infty )}$これは、${\displaystyle f(z)}$我々は得る

${\displaystyle f(z)=(z,z_{2};z_{3},z_{4}).}$

交差比の不変性に関する別の説明は、直線の射影変換群が平行移動、相似変換、および乗法反転によって生成されるという事実に基づいている。${\displaystyle z_{j}-z_{k}}$平行移動に対して不変である

${\displaystyle z\mapsto z+a}$

どこ${\displaystyle a}$地上の磁場における定数である${\displaystyle \mathbb {F} }$さらに、分割比は相似変換の下で不変である。

${\displaystyle z\mapsto bz}$

ゼロでない定数の場合${\displaystyle b}$で${\displaystyle \mathbb {F} }$したがって、交差比はアフィン変換の下で不変である。

明確な反転マッピングを得るために

${\displaystyle T:z\mapsto z^{-1},}$

アフィン直線には無限遠点を追加する必要があります。${\displaystyle \infty }$射影線を形成する${\displaystyle \mathrm {P} ^{1}(\mathbb {F} )}$各アフィン写像${\displaystyle f:\mathbb {F} \to \mathbb {F} }$マッピングに独自に拡張できる${\displaystyle \mathrm {P} ^{1}(\mathbb {F} )}$無限遠点に固定される地図。${\displaystyle T}$スワップ${\displaystyle 0}$そして${\displaystyle \infty }$射影群は以下によって生成される。${\displaystyle T}$そしてアフィン写像は拡張され${\displaystyle \mathrm {P} ^{1}(\mathbb {F} )}$の場合${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$複素平面では、これはメビウス群をもたらします。交差比もの下で不変であるため${\displaystyle T}$、それは、の任意の射影写像の下で不変である。${\displaystyle \mathrm {P} ^{1}(\mathbb {F} )}$それ自体の中に。

交差比の概念は、環の演算である加算、乗算、および反転のみに依存します（ただし、環において特定の要素の反転が必ず存在するとは限りません）。交差比に対する一つのアプローチは、それを3つの指定された点を0、1、および∞に写像するホモグラフィとして解釈します。逆元に関する制約の下では、環上の射影直線における環演算を用いて、このような写像を生成することが可能です。4点の交差比は、このホモグラフィを4番目の点で評価したものです。

4つの点が近接するにつれて、この理論は微分積分学的な様相を呈するようになる。これはシュワルツ微分理論、そしてより一般的には射影的接続の理論へと繋がる。

交差比は、点の配置の他の幾何学的特性、特に共線性のために、単純な方法で高次元に一般化されません。配置空間はより複雑になり、異なるk個の点の組は一般的な位置にあるわけではありません。

射影直線の射影線形群は3-推移的（任意の3つの異なる点を他の任意の3点に写像できる）であり、実際には単純に3-推移的（任意の3点組を別の3点組に写像する一意の射影写像が存在する）であり、したがって交差比は4点組の一意の射影不変量であるが、より高次元には基本的な幾何学的不変量が存在する。n空間の射影線形群${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}=\mathbf {P} (K^{n+1})}$( n + 1) ² − 1次元を持つ（なぜならそれは${\displaystyle \mathrm {PGL} (n,K)=\mathbf {P} (\mathrm {GL} (n+1,K)),}$射影化により 1 つの次元が除去されるが、他の次元では射影線形群は 2-推移的である。これは、3 つの共線点が 3 つの共線点に写像されなければならないためである (これは射影線では制約ではない)。したがって、n ²点の一意の不変量を提供する「一般化された交差比」は存在しない。

共線性は、点の配置において維持されなければならない唯一の幾何学的性質ではありません。たとえば、5 つの点は円錐を決定しますが、6 つの一般的な点は円錐上にありません。したがって、任意の 6 つの点の組が円錐上にあるかどうかも射影不変量です。一般の位置にある点の軌道を研究することができます。直線上では「一般の位置」は異なることと同義ですが、高次元では議論したように幾何学的考察が必要になります。しかし、上記のように、これはより複雑で情報量が少なくなります。

しかし、アベル・ヤコビ写像とシータ関数を用いることで、正の種数のリーマン面への一般化が存在する。

• ヒルベルト計量

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• MathPages – ケビン・ブラウンは、パスカルの神秘的な六芒星に関する記事の中で、交差比について解説している。
• 結び目を切る際の交差比
• ワイススタイン、エリック・W.、「交差比」、MathWorld。
• Ardila, Federico (2018年7月6日)、「The Cross Ratio」（動画）、YouTube、Brady Haran 、 2018年7月6日取得。