三角形グループ

数学において、三角形群は、三角形の辺をまたぐ一連の反射によって幾何学的に実現できる群である。三角形は通常のユークリッド三角形、球面上の三角形、または双曲三角形である。各三角形群は、ユークリッド平面、球面、または双曲平面を、それぞれが作用の基本領域であるメビウスの三角形と呼ばれる合同な三角形で敷き詰めた対称群である。

l、m、nを2 以上の整数とします。三角形群Δ( l、m、n ) は、角度 π/ l、 π/ m、 π/ n (ラジアンで測定) を持つ三角形の辺での反射によって生成される、ユークリッド平面、2 次元球面、実射影平面、または双曲平面の運動の群です。2 つの隣接する辺での反射の積は、それらの辺の間の角度 2π / l、 2π/ m、 2π/ nの 2 倍の角度による回転です。したがって、生成反射にa、b、cというラベルが付けられ、それらの間の角度が上記のように循環順序で示されている場合、次の関係が成り立ちます。

1. ${\displaystyle a^{2}=b^{2}=c^{2}=1}$
2. ${\displaystyle (ab)^{l}=(bc)^{n}=(ca)^{m}=1.}$

a、b、c間の他のすべての関係はこれらの関係の結果であり、Δ( l、m、n )は対応する空間の運動の離散群であるという定理がある。したがって、三角形群は、群表現を許容する反射群である。

${\displaystyle \Delta (l,m,n)=\langle a,b,c\mid a^{2}=b^{2}=c^{2}=(ab)^{l}=(bc )^{n}=(ca)^{m}=1\rangle .}$

このプレゼンテーションの抽象グループは、 3 つのジェネレータを持つCoxeter グループです。

任意の自然数l、  m、  n  > 1 が与えられると、古典的な 2 次元幾何学 (ユークリッド、球面、または双曲) のちょうど 1 つに、角度 (π/l、π/m、π/n) を持つ三角形が許容され、空間は三角形の反射によってタイル張りされます。三角形の角度の合計は、ガウス・ボネの定理によって幾何学のタイプを決定します。角度の合計がちょうど π の場合はユークリッド、π を超える場合は球面、π より厳密に小さい場合は双曲面です。さらに、与えられた角度を持つ任意の 2 つの三角形は合同です。各三角形グループによってタイル張りが決定され、これは通常 2 色で色分けされるため、隣接する 2 つのタイルは反対色になります。

l、  m、  n > 1 の数値に関しては、 次の可能性があります。

${\displaystyle {\frac {1}{l}}+{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}=1.}$

三角形群は、角度の合計がπ（または180°）になる三角形によるユークリッド平面の特定のタイル張り（またはタイリング）の無限対称群です。順列を除いて、3つ組（ l、  m、  n ）は、3つ組（2、3、6）、（2、4、4）、（3、3、3）のいずれかです。対応する三角形群は、壁紙群のインスタンスです。

${\displaystyle {\frac {1}{l}}+{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}>1.}$

三角形群は、角度の合計が π より大きい数になる球面三角形またはメビウスの三角形による単位球面のタイル張りの有限対称群です。順列を除いて、3 つの ( l、m、n ) は、(2,3,3)、(2,3,4)、(2,3,5)、または (2,2, n ) の形を取ります ( n > 1)。球面三角形群は、3 次元ユークリッド空間の正多面体 の対称群と同一視できます。Δ(2,3,3) は4 面体に、Δ(2,3,4) は立方体と8 面体(同じ対称群を持つ)の両方に、Δ(2,3,5) は12 面体と20 面体の両方に相当します。二面体対称性のグループ Δ(2,2, n ), n  > 1 は、 2 つの同一の正n角形が結合して形成される退化した立体である二面体ファミリー、または2 つの頂点でn個の二角形が結合して形成される双対正六面体の対称グループとして解釈できます。

正多面体に対応する球面タイリングは、多面体の重心分割を形成し、その結果得られる点と線を外接球に投影することによって得られます。四面体の場合、4 つの面があり、各面は正三角形で、中心で交差する中線によって 6 つの小さな部分に分割されます。結果として得られるタイル張りには、4 × 6 = 24 個の球面三角形があります (球面のディズィヤキス キューブです)。

これらのグループは有限であり、球のコンパクトさに対応しています。球内の円盤の領域は最初は半径の点で大きくなりますが、最終的には球全体を覆います。

三角形のタイルは以下のように表されます。

八面体と二十面体に対応する球面タイリングと、nが偶数の二面体球面タイリングは中心対称である。したがって、それぞれが実射影平面のタイリング、つまり楕円タイリングを決定する。その対称群は、球面三角形群を原点（- I ）を通した反射で割った商であり、原点は位数2の中心要素である。射影平面は楕円幾何学のモデルであるため、このような群は楕円三角形群と呼ばれる。 ^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{l}}+{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}}1.}$

三角形群は、角度の合計がπ未満の双曲三角形による双曲平面のタイリングの無限対称群です。まだリストされていないすべての3つ組は、双曲平面のタイリングを表します。たとえば、3つ組(2,3,7)は、 (2,3,7)三角形群を生成します。このようなグループは無限に存在し、タイリングはいくつかの小さな値に関連付けられています。

双曲三角形群は非ユークリッド結晶群の例であり、グロモフ 双曲群の理論で一般化されています。

生成器の偶数長のワードによって生成されるΔ(l , m , n ) のインデックス2の部分群をD ( l , m , n )で表す。このような部分群は、ヴァルター・フォン・ダイクにちなんで「通常の」三角形群 [2] またはフォン・ダイク^群と呼ばれることがある。球面三角形、ユークリッド三角形、双曲三角形の場合、これらは三角形の向きを保存する群、つまり回転群の要素に対応する。射影 (楕円) 三角形の場合、射影平面は向きが不可能であるため「向き保存」という概念がないため、そのように解釈することはできない。ただし、反射は局所的に向きが反転する (そして、すべての多様体は局所的に向きが可能である。局所的にユークリッドであるため)。反射は直線を固定し、直線上の各点では直線を横切る反射となる。^[3]

グループD ( l , m , n )は次のように定義されます。

${\displaystyle D(l,m,n)=\langle x,y\mid x^{l},y^{m},(xy)^{n}\rangle .}$

上記の生成元に関して言えば、これらはx = ab、 y = ca、 yx = cbです。幾何学的には、 3 つの要素x、y、xy は、三角形の 3 つの頂点の周りの 2π/ l、 2π/ m、 2π/ nの回転に対応します。

D ( l , m , n ) ≅ D ( m , l , n ) ≅ D ( n , m , l ) であることに注意してください。したがって、D ( l , m , n ) はl、m、nの順序に依存しません。

双曲型フォン・ダイク群は、双曲平面の方向保存等長変換からなる離散群である フックス群です。

三角形群は、三角形によるタイリング、すなわち作用の基本領域（反射線によって定義される三角形）を保存します。これはメビウスの三角形と呼ばれ、整数の3つ組（l、m、n）で与えられます。整数は、頂点で集まる（2 l、2 m、2 n）三角形に対応します。重なり合う三角形によるタイリングもあり、これは有理数（l / a、m / b、n / c ）を持つシュワルツの三角形に対応し、分母は分子と互いに素です。これは、角度a π/ l （それぞれ）で交わる辺に対応し、2 a π/ l（それぞれ）の回転に対応します。回転の位数はlであるため、抽象群の要素としては同一ですが、反射によって表される場合は異なります。

たとえば、シュワルツの三角形 (2 3 3) は球の密度1 のタイリングを生成しますが、三角形 (2 3/2 3) は球の密度 3 のタイリングを生成しますが、抽象グループは同じです。重なり合うタイリングのこれらの対称性は、三角形グループとは見なされません。

三角形群は、少なくとも1856年にウィリアム・ローワン・ハミルトンがイコシアン計算に関する論文の中で、（回転）（2,3,5）三角形群としてイコサヘドロン群を提示したときにまで遡る。^[4]

外部ビデオ
ワープモジュラータイリング[5] – 関連するタイリングをモーフィングすることでマップ(2,3,∞)→(2,3,7)を視覚化したもの。

三角形群は数論幾何学で生じる。モジュラー群は、 SとTの２つの要素によって生成され、 S ² = ( ST )³ = 1 （ Tとは関係なし）という関係に従って、回転三角形群（2,3,∞）であり、関係T ⁿ = 1を加えることですべての三角形群（2,3, n ）に写像される。より一般的には、ヘッケ群H _qは、 S ² = ( ST ) ^q = 1 （ Tとは関係なし）という関係に従って、 SとTの２つの要素によって生成され、回転三角形群（2, q ,∞）であり、関係T ⁿ = 1 を加えることですべての三角形群（2, q , n ）に写像される。モジュラー群はヘッケ群H ₃である。グロタンディークの子供の絵の理論では、ベーリ関数は三角形群の反射領域によってリーマン面のモザイク状分割を生じる。

26個の散在群はすべて三角群の商であり、^[6]そのうち12個はフルヴィッツ群（(2,3,7)群の商）である。

• シュワルツ三角形
• シュワルツの三角写像は、三角形を上半平面に写像したものです。
• 幾何群論

• エリザベス R チェン トライアングル グループ (2010) デスクトップの背景画像

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