正の実数

数学において、正の実数集合は、ゼロより大きい実数の部分集合である。非負の実数、にもゼロが含まれる。記号と はどちらの場合も曖昧に使用されているが、 についてはまたは 、についてはまたはという表記も広く使用されており、これは代数学においてゼロ要素の除外を星印で示す慣例と一致しており、ほとんどの実践的な数学者には理解できるはずである。^[1]${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid x>0\right\},}$${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq 0\right\},}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq 0\right\}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{*}^{+}}$${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} \mid x>0\right\}}$

複素平面では、は正の実軸と同一視され、通常は水平線として描かれる。この線は、複素数の極形式の基準として使用される。実正軸は、引数が${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle z=|z|\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi },}$ ${\displaystyle \varphi =0.}$

この集合は、加算、乗算、除算に対して閉じています。実数直線から位相を継承し、したがって、乗法位相群または加法位相半群の構造を持ちます。 ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$

与えられた正の実数に対して、その整数べきのシーケンスには 3 つの異なる運命があります。極限がゼロの場合、シーケンスが定数の場合、シーケンスが無制限の場合です。 ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \left\{x^{n}\right\}}$${\displaystyle x\in (0,1),}$${\displaystyle x=1,}$${\displaystyle x>1,}$

${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}=(0,1)\cup \{1\}\cup (1,\infty )}$逆乗関数は区間を交換します。関数floor、およびextrase は、要素を連分数として表すために使用されてきました。連分数は、floor 関数から extrase を逆数にした後に得られる整数のシーケンスです。有理数の場合、シーケンスは の正確な分数表現で終了し、2 次無理数の場合、シーケンスは周期的な連分数になります。 ${\displaystyle \operatorname {floor} :[1,\infty )\to \mathbb {N} ,\,x\mapsto \lfloor x\rfloor ,}$${\displaystyle \operatorname {excess} :[1,\infty )\to (0,1),\,x\mapsto x-\lfloor x\rfloor ,}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle \left[n_{0};n_{1},n_{2},\ldots \right],}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x,}$

順序付けられた集合は、全順序を形成しますが、整然とした集合ではありません。が整数 である二重無限等比数列は、 に完全に含まれ、アクセスのためにそれを区分する役割を果たします。は、測定 の最高レベルである比スケールを形成します。要素は科学的記数法で と表記される場合があります。ここで、および は二重無限数列の整数であり、10 年と呼ばれます。物理的な大きさの研究では、10 年の順序は、比スケールに暗黙的に含まれる順序スケールを参照する正と負の順序数を提供します。 ${\displaystyle \left(\mathbb {R} _{>0},>\right)}$ ${\displaystyle 10^{n},}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \left(\mathbb {R} _{>0},>\right)}$${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$${\displaystyle a\times 10^{b},}$${\displaystyle 1\leq a<10}$${\displaystyle b}$

古典群の研究では、任意の に対して、行列式は実数上の行列から実数への写像を与えます。可逆行列に制限すると、一般線型群から非ゼロの実数への写像を与えます。正の行列式を持つ行列に制限すると、写像を与えます。この像を特殊線型群と呼ばれる正規部分群による商群として解釈すると、正の実数をリー群として表現します。 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathrm {M} (n,\mathbb {R} )\to \mathbb {R} .}$${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )\to \mathbb {R} ^{\times }.}$${\displaystyle \operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )\to \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )\triangleleft \operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} ),}$

測定レベルの中で、比率スケールは最も細かい詳細を提供します。除算関数は、分子と分母が等しい場合に値を 1 にします。他の比率は、対数 (多くの場合、底 10 を使用した常用対数)によって 1 と比較されます。比率スケールは、科学技術で使用される桁ごとに分割され、さまざまな測定単位で表現されます。

比尺度の初期の表現は、エウドクソスによって幾何学的に表現された。「エウドクソスの比例の一般理論は、幾何学的な言語で展開され、それは正の実数の理論に相当する。」^[2]

が区間である場合、 は、実数上の通常のルベーグ測度の対数での引き戻しに対応するの特定の部分集合上の測度を決定します。つまり、これは対数スケール上の長さです。実際、これは、ルベーグ測度が加算に対して不変であるのと同じように、 a による乗算に関して不変の測度です。位相群のコンテキストでは、この測度はハール測度の例です。 ${\displaystyle [a,b]\subseteq \mathbb {R} _{>0}}$${\displaystyle \mu ([a,b])=\log(b/a)=\log b-\log a}$${\displaystyle \mathbb {R} _{>0},}$${\displaystyle [a,b]\to [az,bz]}$${\displaystyle z\in \mathbb {R} _{>0},}$

この尺度の有用性は、対数スケールの他の用途の中でも、恒星の等級とノイズ レベルをデシベルで表すために使用されることで示されます。国際標準ISO 80000-3では、無次元量はレベルと呼ばれます。

非負の実数は、数学における測定基準、基準、尺度のイメージとして機能します。

0 を含めると、この集合は半環構造（0 は加法単位元）を持ち、確率半環と呼ばれます。対数を取ると（底を選択すると対数単位になります） 、対数半環（0 は に対応します）と同型になり、その単位（ を除く有限数）は正の実数に対応します。 ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle -\infty }$

デカルト平面の第一象限を考えてみましょう。象限自体は直線と標準双曲線によって4つの部分に分割されます。${\displaystyle Q=\mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} _{>0},}$${\displaystyle L=\{(x,y):x=y\}}$${\displaystyle H=\{(x,y):xy=1\}.}$

は三叉路を形成し、は中心点です。 は、そこで交差する 2 つの 1パラメータ グループの単位元です。${\displaystyle L\cup H}$${\displaystyle L\cap H=(1,1)}$$${\displaystyle \{\left\{\left(e^{a},\ e^{a}\right):a\in R\right\},\times \}{\text{ on }}L\quad {\text{ and }}\quad \{\left\{\left(e^{a},\ e^{-a}\right):a\in R\right\},\times \}{\text{ on }}H.}$$

はグループなので、はグループ の直積です。 Qの1 パラメータ サブグループLとH は、積のアクティビティをプロファイルし、 はグループ アクションのタイプの解決です。 ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle L\times H}$

ビジネスと科学の分野には比率が豊富に存在し、比率の変化は注目を集めます。この研究では、Qの双曲座標を参照しています。 L軸に対する動きは幾何平均の変化を示し、 Hに沿った変化は新しい双曲角を示します。 ${\displaystyle {\sqrt {xy}},}$

• 半体 – 代数構造
• 符号（数学）  - 正か負かという数の性質

• キスト、ジョセフ。リーツマ、サンフォード (1970)。 「正の実数の加法半群」。数学アンナレン。188 (3): 214–218。土井：10.1007/BF01350237。