迅速性

特殊相対性理論では、速度の古典的な概念は、光速によって決定される限界に対応するために、ラピディティに変換されます。速度は、アインシュタインの速度加算公式によって結合される必要があります。低速の場合、ラピディティと速度はほぼ正確に比例しますが、高速の場合、ラピディティはより大きな値を取り、光のラピディティは無限大になります。

数学的には、ラピディティは、相対運動における 2 つの参照フレームを区別する双曲角として定義でき、各フレームは距離と時間の座標 に関連付けられています。

逆双曲関数 artanh を使用すると、速度vに対応するラピディティwはw = artanh( v / c )となり、c は光速です。低速の場合、小角近似により、w はほぼv / cとなります。相対論では、任意の速度v は区間− c < v < cに制限されるため、比v / c は−1 < v / c < 1 を満たします。逆双曲正接は、単位区間(−1, 1)を定義域とし、実数直線全体を像とします。つまり、区間− c < v < c は−∞ < w < ∞に写像されます。

1908年、ヘルマン・ミンコフスキーは、ローレンツ変換が時空座標の単純な双曲回転、すなわち虚角による回転として見られることを説明した。 ^[1]したがって、この角度は（1つの空間次元で）フレーム間の速度の単純な加法的な尺度を表す。^[2]速度に代わるラピディティパラメータは、1910年にウラジミール・ヴァリチャク^[3]とET・ウィテカー^[4]によって導入された。このパラメータはアルフレッド・ロブ（1911）^[5]によってラピディティと名付けられ、この用語はルートヴィヒ・シルバーシュタイン（1914）、フランク・モーリー（1936）、ヴォルフガング・リンドラー（2001）など多くのその後の著者によって採用された。

グレゴワール・ド・サン＝ヴァンサンによる双曲線xy = 1の求積法は、自然対数を双曲セクターの面積、または漸近線に対する同等の面積として確立しました。時空理論では、光による出来事のつながりにより、宇宙は「今ここ」に基づいて過去、未来、または他の場所に分割されます^{[説明が必要]}。空間の任意の線上で、光線は左または右に向けることができます。x 軸を右光線を通過する出来事、y 軸を左光線を通過する出来事とします。すると、静止フレームには対角線x = yに沿った時間があります。直角双曲線xy = 1 を使用して、速度を測定できます (第 1 象限)。速度が 0 の場合は(1, 1)です。双曲線上の任意の点には光円錐座標があり、 wはラピディティで、 (1, 1)からこれらの座標までの双曲セクターの面積に等しくなります。多くの著者は、代わりに単位双曲線を参照し、標準時空図のようにラピディティをパラメータとして使用します。そこでは、軸は時計とメーター棒で測定され、より馴染みのあるベンチマークであり、時空理論の基礎となっています。したがって、ビーム空間の双曲線パラメータとしてのラピディティの描写は、私たちの貴重な超越関数の17世紀の起源への参照^{[説明が必要]}であり、時空図の補足です。 ${\displaystyle (e^{w},\ e^{-w})}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$

ラピディティwは、ローレンツブーストのベクトル行列積の 線形表現で生じる。$${\displaystyle {\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh w&-\sinh w\\-\sinh w&\cosh w\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}=\mathbf {\Lambda } (w){\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}.}$$

行列Λ ( w ) はpとq がp ² – q ² = 1 を満たす型であり、したがって( p , q )は単位双曲線上にある。このような行列は、反対角単位行列によって張られる 1 次元リー代数を持つ不定値直交群 O(1,1)を形成し、ラピディティがこのリー代数上の座標であることを示す。この作用は時空図で表すことができる。行列指数表記では、Λ ( w ) はと表すことができ、ここでZ は反対角単位行列の負である。 ${\displaystyle {\begin{pmatrix}p&q\\q&p\end{pmatrix}}}$${\displaystyle \mathbf {\Lambda } (w)=e^{\mathbf {Z} w}}$$${\displaystyle \mathbf {Z} ={\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}.}$$

行列指数の主要な特性はから成り、すぐに次の式が成り立ちます。 これ は、ラピディティの有用な加法特性を確立します。A 、B、Cが参照フレームである場合、次の 式が成り立ちます。 ここで、w _{PQ は}参照フレームPに対する参照フレームQのラピディティを表します。この式の単純さは、対応する速度加法式の複雑さとは対照的です。 ${\displaystyle e^{\mathbf {X} (s+t)}=e^{\mathbf {X} s}e^{\mathbf {X} t}}$$${\displaystyle \mathbf {\Lambda } (w_{1}+w_{2})=\mathbf {\Lambda } (w_{1})\mathbf {\Lambda } (w_{2})。}$$$${\displaystyle w_{\text{AC}}=w_{\text{AB}}+w_{\text{BC}},}$$

上のローレンツ変換からわかるように、ローレンツ因子はcosh w と同一視される ため、ラピディティwはγとβを用いたローレンツ変換式で双曲角として暗黙的に使用される。ラピディティを速度加算式に関連付けるには 、次の式を 認識する 。$${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\equiv \cosh w,}$$ $${\displaystyle u={\frac {u_{1}+u_{2}}{1+{\frac {u_{1}u_{2}}{c^{2}}}}}$$$${\displaystyle \beta _{i}={\frac {u_{i}}{c}}=\tanh {w_{i}}}$$$${\displaystyle \tanh w={\frac {\tanh w_{1}+\tanh w_{2}}{1+\tanh w_{1}\tanh w_{2}}}=\tanh(w_{1} +w_{2})}$$

固有加速度(加速されている物体が「感じる」加速度) は、固有時間(加速を受けている物体自体によって測定される時間)に対するラピディティの変化率です。したがって、特定のフレーム内の物体のラピディティは、そのフレーム内で静止状態から特定の速度まで加速した場合に、物体自体に搭載された慣性誘導システムによって非相対論的に計算されるその物体の速度として単純に考えることができます。

βとγの積は頻繁に現れ、上記の議論から $${\displaystyle \beta \gamma =\tanh w\cosh w=\sinh w}$$

上記の式から 、したがって または明示的に $${\displaystyle e^{w}=\gamma (1+\beta )=\gamma \left(1+{\frac {v}{c}}\right)={\sqrt {\frac {1+{\tfrac {v}{c}}}{1-{\tfrac {v}{c}}}},}$$$${\displaystyle e^{-w}=\gamma (1-\beta )=\gamma \left(1-{\frac {v}{c}}\right)={\sqrt {\frac {1-{\tfrac {v}{c}}}{1+{\tfrac {v}{c}}}}}.}}$$$${\displaystyle w=\ln \left[\gamma (1+\beta )\right]=-\ln \left[\gamma (1-\beta )\right]\,.}$$

ラピディティwに関連するドップラーシフト係数は です。 ${\displaystyle k=e^{w}}$

非ゼロ（静止）質量mの粒子のエネルギーEとスカラー運動量| p |は次のように表されます。w の 定義により 、エネルギーとスカラー運動量は次 のように表すことができます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}E&=\gamma mc^{2}\\\left|\mathbf {p} \right|&=\gamma mv.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle w=\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}},}$$$${\displaystyle \cosh w=\cosh \left(\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\gamma }$$ $${\displaystyle \sinh w=\sinh \left(\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}\right)={\frac {\frac {v}{c}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\beta \gamma ,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}E&=mc^{2}\cosh w\\\left|\mathbf {p} \right|&=mc\,\sinh w.\end{aligned}}}$$

したがって、測定されたエネルギーと運動量からラピディティを計算すると、 $${\displaystyle w=\operatorname {artanh} {\frac {|\mathbf {p} |c}{E}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+|\mathbf {p} |c}{E-|\mathbf {p} |c}}=\ln {\frac {E+|\mathbf {p} |c}{mc^{2}}}~.}$$

しかし、実験粒子物理学者は、ビーム軸に対するラピディティの修正定義をよく使用します 。 ここで、p _{z は}ビーム軸に沿った運動量の成分です。^{[6]これは、ビーム軸に沿ったブーストのラピディティであり、観測者を実験室フレームから、粒子がビームに対して垂直にのみ移動するフレームに移行させます。これに関連して、}疑似ラピディティ の概念があります。 $${\displaystyle y={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+p_{z}c}{E-p_{z}c}},}$$

ビーム軸に対するラピディティは次のように表すこともできる。 $${\displaystyle y=\ln {\frac {E+p_{z}c}{\sqrt {m^{2}c^{4}+p_{T}^{2}c^{2}}}}~.}$$

• ボンダイk計算
• ローレンツ変換
• 疑似ラピディティ
• 適切な速度
• 相対性理論

• ウラジーミル・ヴァリチャク(1910、1912、1924)、ウラジーミル・ヴァリチャク#出版物を参照
• ウィテカー、エドマンド・テイラー（1910）。エーテルと電気の理論の歴史。p.441。
• ロブ、アルフレッド(1911)。『運動の光学幾何学、相対性理論の新しい見方』ケンブリッジ: ヘフナー・アンド・サンズ。
• エミール・ボレル(1913)、『相対性理論と映画映画』 (フランス語)、科学アカデミー、パリ: 156 巻、215 ～ 218 ページ。 157 巻、703 ～ 705 ページ
• シルバーシュタイン、ルドヴィク（1914年）『相対性理論』ロンドン：マクミラン社、179ページ。
• ウラジミール・カラペトフ(1936)、「ラピディティの双曲関数による制限相対論」、アメリカ数学月刊誌、第 43 巻、70 ページ。
• フランク・モーリー（1936年）「いつ、どこで」、トーマス・スターンズ・エリオット編『クライテリオン』第15巻、200～209ページ。
• Wolfgang Rindler (2001) Relativity: Special, General, and Cosmological、53 ページ、Oxford University Press。
• Shaw, Ronald (1982) 「線形代数と群表現」第1巻、229ページ、Academic Press ISBN 0-12-639201-3。 
• Walter, Scott (1999) 「非ユークリッド的ミンコフスキー相対論」(PDF)。Jeremy John Gray (編) 『シンボリック宇宙: 幾何学と物理学』。オックスフォード大学出版局。pp. 91–127。2013-10-16 にオリジナル (PDF) からアーカイブ。2009-01-08に取得。（e-linkの17ページを参照）
• Rhodes, John A.; Semon, Mark D. (2004). 「相対論的速度空間、ウィグナー回転、トーマス歳差運動」. American Journal of Physics . 72 (7): 90–93. arXiv : gr-qc/0501070 . Bibcode :2004AmJPh..72..943R. doi :10.1119/1.1652040. S2CID  14764378.
• ジャクソン、ジョン・デイビッド(1999) [1962]。「第 11 章」。古典電気力学(第 3 版)。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。ISBN 0-471-30932-X。