ヘルムスレーヴ変換

数学において、ヘルムスレーヴ変換は、双曲平面全体を有限半径の円に写像する効果的な方法です。この変換は、デンマークの数学者ヨハネス・ヘルムスレーヴによって発明されました。この変換は、ニコライ・イワノビッチ・ロバチェフスキーの著書『平行線理論の幾何学的研究』の第23定理^[1]を利用しています。

ロバチェフスキーは、第16定理と第23定理を組み合わせて、任意の線分の長さに対して必ず明確な平行角が存在するというのが双曲幾何学の基本的な特徴であると指摘しています。^[2]長さAEの場合、その平行角は角BAFであるとします。この場合、線分AHとEJは超平行となり、交わることはありません。その結果、AとEの間で底辺AEに垂直に引かれた線は、必ず有限の距離で線分AHと交差します。ヨハネス・ヘルムスレーヴは、このことから双曲面全体を有限の円に圧縮する方法を発見しました。

ヘルムスレーヴ変換は、双曲(ロバチェフスキー)空間内のすべての点に作用する、と指定された関数です。 、および原点となる角度が与えられると、このマッピングにより、次の特性が保持される画像が生成されます。 ${\displaystyle H(P)}$${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle 0<\alpha <{\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle O}$${\displaystyle P'_{n}}$

1. を中心とする円のイメージは、を中心とする円です。${\displaystyle O}$${\displaystyle O}$
2. 直線角のイメージは直線角です。
3. 頂点との角度はすべてそれ自身にマッピングされます。つまり、頂点との角度はすべて保持されます。${\displaystyle O}$${\displaystyle O}$
4. 1 辺が を通る直角のイメージは、1 辺が を通る直角です。${\displaystyle O}$${\displaystyle O}$
5. 任意の直線の像は有限の直線部分になります。
6. 最後に、点の順序は変換全体を通じて維持されます。つまり、B が A と C の間にある場合、B のイメージは A のイメージと C のイメージの間にあります。

この関数は、平行線の特徴的な図形を生成するため、双曲型 (ロバチェフスキー) 空間の研究に役立ちます。 2 本の平行線 のセットが与えられ、の場合、結果として得られる画像 は、平行方向に 仮想頂点を持つ三角形を形成します。${\displaystyle {\overline {AB}}}$${\displaystyle {\overline {CD}}}$${\displaystyle {\overline {AB}}\parallel {\overline {CD}}}$${\displaystyle {\overline {A'B'}}}$${\displaystyle {\overline {C'D'}}}$${\displaystyle \triangle A'B'IC'D'}$${\displaystyle I}$

、、が与えられている場合、 の (像) を求めます。まず、点 を原点 に接続する線分 を描きます。次に、となる補助線を作成します。点は、線 を定義するためにのみ必要です。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle O}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P'}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\overline {OP}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle O}$${\displaystyle {\overline {OQ}}}$${\displaystyle \angle POQ=\alpha }$${\displaystyle Q}$${\displaystyle {\overline {OQ}}}$

ここで、点 を通り に垂直な垂線を描きます。これにより、点で直角が形成されます。 ${\displaystyle {\overline {PP''}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\overline {OQ}}}$${\displaystyle \angle OP''P}$${\displaystyle P''}$

線分 を半径として、円周が点で交差するように中心 を持つ円を作成します。こうして、線分 上の点 が得られ、これが与えられた点 のHjelmslev 変換です。${\displaystyle {\overline {OP''}}}$${\displaystyle O}$${\displaystyle {\overline {OP}}}$${\displaystyle \color {red}P'}$${\displaystyle \color {red}P'}$${\displaystyle OP}$${\displaystyle H(P)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle H(P)=\color {red}P'}$

を に平行にします。ここで は平行角です。2 本の平行線上のすべての点に対して変換を実行すると、ヘルムスレーヴ円が得られます。 ${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$${\displaystyle {\overline {P_{3}P_{4}}}}$${\displaystyle \angle P_{3}P_{1}P_{2}}$

作成された円の円周は平面内に対応する位置を持たないため、ヘルムスレーヴ変換の積はヘルムスレーヴ円板と呼ばれる方が適切です。同様に、この変換が 3 次元すべてに拡張されると、ヘルムスレーヴ球と呼ばれます。

双曲空間をクラインモデルで表し、ヘルムスレーヴ変換の中心をクラインモデルの中心点とすると、ヘルムスレーヴ変換は単位円板の点を、原点を中心とし半径が 1 未満の円板の点に写像します。実数 k が与えられた場合、回転を無視すると、ヘルムスレーヴ変換は、実際には、クラインモデル内の点を表すベクトル u を ku (0<k<1) に写像することで得られるものになります。したがって、モデルの観点から言えば、直線を直線に写像する、といったような均一なスケーリングになります。双曲空間に住む生物にとって、これは写像を作成するのに適した方法かもしれません。

• ヘルムスレーの定理