楕円幾何学

楕円幾何学は、ユークリッドの平行線公準が成り立たない幾何学の一例です。球面幾何学と同様に、2本の直線は必ず交わるため、平行線は存在しません。ただし、球面幾何学とは異なり、2本の直線は通常、1点で交わると仮定されます（2点で交わるわけではありません）。そのため、この記事で説明する楕円幾何学は「単一楕円幾何学」と呼ばれることがあり、球面幾何学は「二重楕円幾何学」と呼ばれることがあります。

19世紀にこの幾何学に関する研究が現れたことで、双曲幾何学を含む非ユークリッド幾何学全般の発展が促進された。

楕円幾何学は、古典的なユークリッド平面幾何学とは異なる様々な性質を持っています。例えば、任意の三角形の内角の和は常に180°より大きくなります。

楕円幾何学は、球面幾何学において球の対蹠点を一つの楕円点に対応させることによって導き出すことができる。楕円線は、対蹠点の対応によって縮小された大円に対応する。2つの大円が交わるため、楕円幾何学には平行線は存在しない。

楕円幾何学では、与えられた直線に垂直な2つの直線は必ず交わる。実際、与えられた直線に垂直なすべての直線は、その直線の絶対極と呼ばれる一点で交わる。

すべての点は、その点が絶対極となる絶対極線に対応する。この極線上の任意の点は、極と絶対共役対を形成する。このような点のペアは直交しており、それらの間の距離は象限である。^{[ 1 ]： 89}

2点間の距離は、それらの絶対極線間の角度に比例する。^{[ 1 ]： 101}

HSM Coxeterの説明によると：

「楕円」という名称は誤解を招く可能性がある。これは楕円と呼ばれる曲線との直接的な関連性を意味するものではなく、かなり無理のある類推に過ぎない。中心円錐曲線は、漸近線がないか2つの漸近線があるかに応じて、楕円または双曲線と呼ばれる。同様に、非ユークリッド平面は、その各直線が無限遠点を含まないか、または2つの無限遠点を含むかに応じて、楕円または双曲であると言われる。^{[ 2 ]}

注：この節では、「楕円空間」という用語は、特に3次元楕円幾何学を指すために使用します。これは、2次元楕円幾何学について説明した前の節とは対照的です。この空間を説明するために、四元数を使用します。

楕円空間は、3次元ベクトル空間の構築と同様の方法で、同値類を用いて構築できます。球面の大円上の有向弧を用います。有向線分は平行で、長さが等しく、向きが似ている場合に同値であるのと同様に、大円上の有向弧は長さ、向き、大円が同じ場合に同値です。これらの同値関係によって、それぞれ3次元ベクトル空間と楕円空間が生成されます。

楕円空間構造へのアクセスは、ウィリアム・ローワン・ハミルトンのベクトル代数によって提供される。彼は球をマイナス1の平方根の領域として構想した。そしてオイラーの公式${\displaystyle \exp(\theta r)=\cos \theta +r\sin \theta }$（rは球面上にある）は、 1 とrを含む平面上の大円を表します。反対の点rと − r は、反対方向の円に対応します。θ と φ の間の弧は、0 と φ − θ の間の弧と等価です。楕円空間では、弧の長さは π より小さいので、弧は θ が [0, π) または (−π/2, π/2] の範囲内にあることでパラメータ化できます。^{[ 5 ]}

のために${\displaystyle z=\exp(\theta r),\ z^{*}=\exp(-\theta r)\implies zz^{*}=1.}$zの絶対値またはノルムは1 であると言われています (ハミルトンはこれを z のテンソルと呼びました)。しかし、r は3 次元空間の球面上を移動するため、exp( θ r) は 4 次元空間の球面上を移動します。この球面は、その表面が 3 次元であるため、 3 次元球面と呼ばれます。ハミルトンは自身の代数を四元数と呼び、それはすぐに数学の有用で有名なツールとなりました。その 4 次元空間は極座標で展開されます。${\displaystyle t\exp(\theta r),}$tは正の実数である。

地球上または天球上で三角法を行う場合、三角形の辺は大円弧になります。四元数の最初の成功は、球面三角法を代数に変換したことでした。^{[ 6 ]}ハミルトンはノルム1の四元数をヴェルソルと呼び、これらは楕円空間の点です。

rを固定すると、

${\displaystyle e^{ar},\quad 0\leq a<\pi }$

楕円線を形成する。${\displaystyle e^{ar}}$1 への距離は です。任意の変数uに対して、距離はcos θ = ( u + u ^∗ )/2となる θ になります。これは、任意の四元数のスカラー部分の公式だからです。 

楕円運動は四元数マッピングによって記述される

${\displaystyle q\mapsto uqv,}$ここで、uとvは固定値である。

点間の距離は、楕円運動の像点間の距離と同じです。uとvが互いに四元数の共役である場合、運動は空間回転であり、それらのベクトル部分は回転軸となります。u = 1の場合、楕円運動は右クリフォード並進、またはパラタクシーと呼ばれます。v = 1の場合は、左クリフォード並進に対応します。

点uを通る楕円線は次の形式になることがあります。 

${\displaystyle \lbrace ue^{ar}:0\leq a<\pi \rbrace }$または${\displaystyle \lbrace e^{ar}u:0\leq a<\pi \rbrace }$固定されたrの場合。 

これらは、1 を通る楕円線に沿ったuの右および左クリフォード変換です。楕円空間は、 S ³から対蹠点を同一視することによって形成されます。^{[ 7 ]} 

楕円空間には、クリフォード平行線とクリフォード面と呼ばれる特別な構造が存在する。

楕円空間のバーソル点は、ケイリー変換によって次のようにマッピングされます。$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$空間の別の表現方法として。

球面楕円幾何学は、例えばユークリッド空間の球面部分空間としてモデル化できるため、ユークリッド幾何学が自己無矛盾であれば、球面楕円幾何学も自己無矛盾であるという結論が導かれる。したがって、ユークリッド幾何学の他の4つの公理に基づいて平行線公理を証明することは不可能である。

タルスキは、初等ユークリッド幾何学が完全であることを証明した。すなわち、あらゆる命題に対して、それが真か偽かを示すアルゴリズムが存在する。^{[ 8 ]} （これはゲーデルの定理に違反しない。なぜなら、ユークリッド幾何学は定理を適用するのに十分な量の算術を記述できないからである。 ^{[ 9 ]}）したがって、初等楕円幾何学も自己無矛盾かつ完全であることがわかる。

• 楕円タイル
• 球面タイル張り

• アラン・F・ビアドン著『離散群の幾何学』、シュプリンガー・フェルラーク、1983年
• HSM Coxeter (1942) 『非ユークリッド幾何学』、第5章、第6章、第7章：1次元、2次元、3次元の楕円幾何学、トロント大学出版局、1998年にアメリカ数学協会により再版、ISBN 0-88385-522-4。
• HSM Coxeter (1969)幾何学入門、§6.9 楕円平面、pp.  92–95。John Wiley & Sons。
• 「楕円幾何学」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• フェリックス・クライン（1871）「いわゆる非ユークリッド幾何学について」Mathematische Annalen 4:573–625、ジョン・スティルウェル（1996）『双曲幾何学の源泉』アメリカ数学会ISBNに翻訳・紹介 0-8218-0529-0。
• ボリス・オデナル「楕円型3次元空間における直線の等方的合同について」
• エドゥアルト・スタディ（1913年）DHデルフェニッヒ訳、「解析運動学の基礎と目標」、20ページ。
• アルフレッド・タルスキ(1951) 『初等代数と幾何学のための決定法』カリフォルニア大学出版局。
• フランツェン、トルケル（2005）。ゲーデルの定理：その使用と誤用に関する不完全なガイド。AKピーターズ。ISBN 1-56881-238-8。
• Alfred North Whitehead (1898) Universal Algebra ( Wayback Machineに 2014-09-03 にアーカイブ)、第 6 巻 第 2 章: 楕円幾何学、pp 371–98。
• Weisstein, Eric W. 「楕円幾何学」 . MathWorld—A Wolfram Web Resource . 2024年11月26日取得。

• ウィキメディア・コモンズにある楕円幾何学に関連するメディア