ガリレオの変革

物理学において、ガリレイ変換は、ニュートン物理学の構成の範囲内で一定の相対運動のみが異なる2 つの参照フレームの座標間の変換に使用されます。これらの変換は、空間回転および空間と時間における並進運動とともに、非同次ガリレイ群を形成します(以下では、これを前提とします)。空間と時間における並進運動がなければ、この群は同次ガリレイ群です。ガリレイ群は、空間と時間の 4 つの次元に作用するガリレイ相対論の運動の群であり、ガリレイ幾何学を形成します。これが受動変換の観点です。特殊相対論では、同次および非同次ガリレイ変換は、それぞれローレンツ変換とポアンカレ変換に置き換えられます。逆に、ポアンカレ変換の古典的極限c → ∞における群の縮約は、ガリレイ変換をもたらします。

以下の方程式はニュートンの枠組みにおいてのみ物理的に有効であり、光速に近い速度で相互に移動する座標系には適用できません。

ガリレオはこれらの概念を等速運動の記述の中で定式化した。^[1] このテーマは、斜面を転がるボールの運動の記述に端を発し、地球の表面近くの重力加速度の数値を測定した。

変換はガリレオにちなんで名付けられていますが、その定義領域はアイザック・ニュートンが考えた絶対時間と絶対空間に基づいています。本質的に、ガリレオ変換は、速度をベクトルとして加算および減算するという直感的な概念を具体化しています。

以下の表記は、ガリレイ変換の下での、単一の任意のイベントの座標( x、y、z、t )と( x ′、y ′、z ′、t ′ )の関係を記述するものである。この座標は、共通の x 方向とx ′方向に等速相対運動 (速度v )しており、空間原点は時刻t = t ′ = 0に一致する。^{[2] [3] [4] [5]}

${\displaystyle x'=x-vt}$

${\displaystyle y'=y}$

${\displaystyle z'=z}$

${\displaystyle t'=t.}$

最後の式は定数の追加までのすべてのガリレイ変換に当てはまり、異なる観測者の相対的な動きに依存しない世界時の仮定を表現していることに注意してください。

線形代数の言語では、この変換はせん断写像と見なされ、ベクトルに作用する行列で記述されます。x軸に平行な動きの場合、変換は 2 つの成分にのみ作用します。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\t'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-v\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\t\end{pmatrix}}}$

行列表現はガリレイ変換に厳密には必要ではありませんが、特殊相対論における変換方法と直接比較する手段を提供します。

ガリレイ対称性は、回転、並進、時空の等速運動の組み合わせとして一意に表すことができます。^[6] x を3次元空間の点、t を1次元時間の点とします。時空の一般的な点は、順序付きペア( x、t )で与えられます。

速度vの等速運動は次のように表される。

${\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (\mathbf {x} +t\mathbf {v} ,t),}$

ここでv∈R3である。平行移動は^次のように与えられる 。

${\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (\mathbf {x} +\mathbf {a} ,t+s),}$

ここでa∈R3 ^、 s∈Rである。回転は次のように 与えられる。

${\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (R\mathbf {x} ,t),}$

ここでR  : R3 → R3^は直交変換である^。 [ ^6]

リー群として、ガリレイ変換群は次元10を持つ^。[6]

2つのガリレイ変換G ( R , v , a , s )とG ( R' , v ′, a ′, s ′ )を合成して3番目のガリレイ変換を形成する。

G ( R ′, v ′, a ′, s ′) ⋅ G ( R , v , a , s ) = G ( R ′ R , R ′ v + v ′, R ′ a + a ′ + v ′ s , s ′ + s ) .

すべてのガリレイ変換の集合Gal(3)は、群演算として合成を持つ 群を形成する。

この群は、時空イベント（x , t ,1）^をベクトルとする行列群として表現されることもある。ここでtは実数、x∈R3は空間上の位置である。作用は^[7]で与えられる。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}R&v&a\\0&1&s\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\t\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Rx+vt+a\\t+s\\1\end{pmatrix}},}$

ここで、s は実数、v、x、a ∈ R ³、Rは回転行列です。変換の合成は行列の乗算によって行われます。議論では、直交変換の連結成分群に限定するかどうかに注意する必要があります。

Gal(3)には名前付き部分群がある。恒等成分はSGal(3)と表記される。

m がパラメータv、R、s、aを持つ変換行列を表すとします。

• ${\displaystyle \{m:R=I_{3}\},}$異方性変換。
• ${\displaystyle \{m:s=0\},}$等時変換。
• ${\displaystyle \{m:s=0,v=0\},}$空間ユークリッド変換。
• ${\displaystyle G_{1}=\{m:s=0,a=0\},}$ユークリッド変換と同型な、一様特殊変換/同次変換。
• ${\displaystyle G_{2}=\{m:v=0,R=I_{3}\}\cong \left(\mathbf {R} ^{4},+\right),}$ニュートン時空における原点/移動のシフト。
• ${\displaystyle G_{3}=\{m:s=0,a=0,v=0\}\cong \mathrm {SO} (3),}$回転（参照フレームの）（SO(3)を参照）、コンパクト群。
• ${\displaystyle G_{4}=\{m:s=0,a=0,R=I_{3}\}\cong \left(\mathbf {R} ^{3},+\right),}$均一なフレームモーション/ブースト。

パラメータs、v、R、aは10次元にわたります。変換はs、v、R、aに連続的に依存するため、Gal(3)は連続群であり、位相群とも呼ばれます。

Gal(3)の構造は部分群からの再構成によって理解できる。群の半直積結合( )が必要である。 ${\displaystyle A\rtimes B}$

1. ${\displaystyle G_{2}\triangleleft \mathrm {SGal} (3)}$（G ₂は正規部分群である）
2. ${\displaystyle \mathrm {SGal} (3)\cong G_{2}\rtimes G_{1}}$
3. ${\displaystyle G_{4}\trianglelefteq G_{1}}$
4. ${\displaystyle G_{1}\cong G_{4}\rtimes G_{3}}$
5. ${\displaystyle \mathrm {SGal} (3)\cong \mathbf {R} ^{4}\rtimes (\mathbf {R} ^{3}\rtimes \mathrm {SO} (3))。}$

ガリレイ群のリー代数は、交換関係に従うH、P _i、C _i、L _ij（反対称テンソル）によって張られ、ここで

${\displaystyle [H,P_{i}]=0}$

${\displaystyle [P_{i},P_{j}]=0}$

${\displaystyle [L_{ij},H]=0}$

${\displaystyle [C_{i},C_{j}]=0}$

${\displaystyle [L_{ij},L_{kl}]=i[\delta _{ik}L_{jl}-\delta _{il}L_{jk}-\delta _{jk}L_{il}+ \delta _{jl}L_{ik}]}$

${\displaystyle [L_{ij},P_{k}]=i[\delta _{ik}P_{j}-\delta _{jk}P_{i}]}$

${\displaystyle [L_{ij},C_{k}]=i[\delta _{ik}C_{j}-\delta _{jk}C_{i}]}$

${\displaystyle [C_{i},H]=iP_{i}\,\!}$

${\displaystyle [C_{i},P_{j}]=0~.}$

Hは時間変換の生成元（ハミルトニアン）、P _{i は}変換の生成元（運動量演算子）、C _{i は}回転のないガリレイ変換の生成元（ガリレイブースト）、^[8] L _ijは回転の生成元（角運動量演算子）を表します。

このリー代数は、ポアンカレ群の代数の特別な古典的極限、つまりc → ∞ の極限であるとみなされる。技術的には、ガリレイ群はポアンカレ群の有名な群縮約である（ポアンカレ群は、ド・ジッター群SO(1,4)の群縮約である）。^[9] 正式には、後者の運動量生成子とブースト生成子を次のように改名する。

P ₀ ↦ H / c

K _i ↦ c ⋅ C _i、

ここでc は光速（またはその無制限の関数）であり、c → ∞の極限における交換関係（構造定数）は前者の関係をとっています。時間変換と回転の生成元が特定されています。また、グループ不変量L _mn L ^mnと P _i P ⁱにも注意してください。

行列形式では、d = 3の場合、正規表現（ GL(5; R )に埋め込まれ、ポアンカレ群を迂回して単一の群縮約によって導出できる）を 考えることができる。

${\displaystyle iH=\left({\begin{array}{ccccc}0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0&0\\\end{array}}\right),\qquad }$ ${\displaystyle i{\vec {a}}\cdot {\vec {P}}=\left({\begin{array}{ccccc}0&0&0&0&a_{1}\\0&0&0&0&a_{2}\\0&0&0&0&a_{3}\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right),\qquad }$ ${\displaystyle i{\vec {v}}\cdot {\vec {C}}=\left({\begin{array}{ccccc}0&0&0&v_{1}&0\\0&0&0&v_{2}&0\\0&0&0&v_{3}&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right),\qquad }$ ${\displaystyle i\theta _{i}\epsilon ^{ijk}L_{jk}=\left({\begin{array}{ccccc}0&\theta _{3}&-\theta _{2}&0&0\\-\theta _{3}&0&\theta _{1}&0&0\\\theta _{2}&-\theta _{1}&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right)~.}$

無限小群の要素は

${\displaystyle G(R,{\vec {v}},{\vec {a}},s)=1\!\!1_{5}+\left({\begin{array}{ccccc}0&\theta _{3}&-\theta _{2}&v_{1}&a_{1}\\-\theta _{3}&0&\theta _{1}&v_{2}&a_{2}\\\theta _{2}&-\theta _{1}&0&v_{3}&a_{3}\\0&0&0&0&s\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right)+\ ...~.}$

^[10]ガリレイ群のリー代数の中心拡大、H ′、P ′ _i、C ′ _i、L ′ _ijおよび演算子Mによって張られるものを考えることができる。いわゆるバーグマン代数は、 M が中心にあるように、つまり他のすべての演算子と 可換であるようにを課すことによって得られる。${\displaystyle [C'_{i},P'_{j}]=iM\delta _{ij}}$

この代数は次のように表される。

${\displaystyle [H',P'_{i}]=0\,\!}$

${\displaystyle [P'_{i},P'_{j}]=0\,\!}$

${\displaystyle [L'_{ij},H']=0\,\!}$

${\displaystyle [C'_{i},C'_{j}]=0\,\!}$

${\displaystyle [L'_{ij},L'_{kl}]=i[\delta _{ik}L'_{jl}-\delta _{il}L'_{jk}-\delta _{jk}L'_{il}+\delta _{jl}L'_{ik}]\,\!}$

${\displaystyle [L'_{ij},P'_{k}]=i[\delta _{ik}P'_{j}-\delta _{jk}P'_{i}]\,\!}$

${\displaystyle [L'_{ij},C'_{k}]=i[\delta _{ik}C'_{j}-\delta _{jk}C'_{i}]\,\!}$

${\displaystyle [C'_{i},H']=iP'_{i}\,\!}$

そして最後に

${\displaystyle [C'_{i},P'_{j}]=iM\delta _{ij}~.}$

ここで、新しいパラメータが表示されます。この拡張とこれによって可能になる射影表現は、そのグループコホモロジーによって決定されます。 ${\displaystyle M}$

• ガリレイ不変性
• ガリレイ群の表現論
• ガリレイ共変テンソル定式化
• ポアンカレ群
• ローレンツ群
• ラグランジアン座標とオイラー座標

• アーノルド、VI（1989）。古典力学の数学的手法（第2版）。シュプリンガー出版社。p.6。ISBN 0-387-96890-3。
• Bargmann, V. (1954). 「連続群のユニタリ光線表現について」Annals of Mathematics . 2. 59 (1): 1–46. doi :10.2307/1969831. JSTOR  1969831.
• コペルニクス、ニコラウス、ケプラー、ヨハネス、ガリレイ、ガリレオ、アイザック・ニュートン、アルバート・アインシュタイン(2002)。ホーキング、スティーブン(編)。『巨人たちの肩の上で: 物理学と天文学の偉大な業績』。フィラデルフィア、ロンドン:ランニング・プレス。pp . 515–520。ISBN 0-7624-1348-4。
• ガリレイ、ガリレオ(1638i)。Discorsi e Dimostrazioni Matematiche, intorno á due nuoue scienze (イタリア語)。ライデン:エルゼビア。 191–196ページ。
• ガリレイ、ガリレオ (1638e)。2 つの新しい科学に関する談話と数学的実証[ Discorsi e Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Scienze ]。 1914 年にヘンリー クルーとアルフォンソ デ サルビオによって英語に翻訳されました。
• ギルモア、ロバート (2006)。リー群、リー代数、およびその応用。ドーバー数学の本。ドーバー出版。ISBN 0486445291。
• ホフマン、バネシュ（1983）『相対性理論とそのルーツ』サイエンティフィック・アメリカン・ブックス、ISBN 0-486-40676-8第5章、83ページ
• ラーナー、ローレンス S. (1996)、科学者とエンジニアのための物理学、第 2 巻、ジョーンズ アンド バートレット パブリッシャーズ、ISBN 0-7637-0460-1、第38章§38.2、p.1046、1047
• モールド、リチャード A. (2002)、基礎相対性理論、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0-387-95210-1、第2章§2.6、p.42
• Nadjafikhah, Mehdi; Forough, Ahmad-Reza (2009). 「ガリレオ運動幾何学」(PDF) .応用科学. 11 : 91–105.
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2006)、物理学の原理: 微積分ベースのテキスト (第 4 版)、Brooks/Cole - Thomson Learning、Bibcode :2006ppcb.book.....J、ISBN 0-534-49143-X、第9章§9.1、p.261