双曲集合

力学系理論では、滑らかな多様体 Mの部分集合 Λは、その接束が、M上のあるリーマン計量に関して、fに関して 1 つは収縮し、もう 1 つは拡大する 2 つの不変部分束に分割できるとき、滑らかな写像 fに関して双曲構造を持つという。フローの場合にも同様の定義が当てはまる。

多様体M全体が双曲的である特別な場合、写像fはアノソフ微分同相写像と呼ばれます。双曲集合上のfのダイナミクス、つまり双曲的ダイナミクスは、局所的な構造安定性の特徴を示し、公理 Aを参照して広く研究されてきました。

M をコンパクトで 滑らかな多様体、f : M → Mを微分同相写像、Df : TM → TM をfの微分とする。Mのf不変部分集合 Λ は、Mの接バンドルの Λ への制限が、安定バンドルと不安定バンドルと呼ばれる2 つのDf不変部分バンドルのホイットニー和への分割を許容する場合^{、双曲的である、または双曲的構造を持つと言われる。 M 上の何らかのリーマン計量に関して、 Df の E s への制限は必ず収縮であり、 Df の E uへ}の制限は必ず拡大である。^{したがって}、定数0 < λ < ¹およびc > 0が 存在し、

${\displaystyle T_{\Lambda }M=E^{s}\oplus E^{u}}$

そして

${\displaystyle (Df)_{x}E_{x}^{s}=E_{f(x)}^{s}}$そしてすべての${\displaystyle (Df)_{x}E_{x}^{u}=E_{f(x)}^{u}}$${\displaystyle x\in \Lambda }$

そして

${\displaystyle \|Df^{n}v\|\leq c\lambda ^{n}\|v\|}$すべての人のために${\displaystyle v\in E^{s}}$${\displaystyle n>0}$

そして

${\displaystyle \|Df^{-n}v\|\leq c\lambda ^{n}\|v\|}$すべておよびについて。${\displaystyle v\in E^{u}}$${\displaystyle n>0}$

Λ が双曲的である場合、 c = 1となるリーマン計量が存在し 、そのような計量は適応計量と呼ばれます。

• 双曲平衡点 p はfの不動点または平衡点であり、 ( Df ) _{p に}は絶対値が1 の固有値が存在しない。この場合、 Λ = { p } である。
• より一般的には、周期nのfの周期軌道が双曲的であるためには、軌道の任意の点におけるDf ^{n に}絶対値 1 の固有値が存在せず、この条件を軌道の 1 点で確認すれば十分です。

• アブラハム、ラルフ; マースデン、ジェロルド E. (1978)。『力学の基礎』。マサチューセッツ州リーディング：ベンジャミン/カミングス。ISBN 0-8053-0102-X。
• ブリン、マイケル、スタック、ギャレット（2002）。『動的システム入門』ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-80841-3。

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