数学 において 、 環 R の ユニポテント元 [1] rとは、 r − 1 が ベキ元となる 元である 。言い換えれば、 ある nに対して ( r − 1) n がゼロとなる元である。
特に、 正方行列 M は 、その 特性多項式 P ( t ) が t − 1のべき乗 である場合に限り、 単能行列 となります 。したがって、 単能行列の
すべての 固有値は 1 です。
準ユニポレント という用語は 、たとえば、 すべての固有値が 1 の根である 対角化可能な行列など 、あるべき乗がユニポレントであることを意味します。
代数群 の理論では、 ある自然な 群表現 において群元が単能的に作用する場合、その群元は 単能で ある。 単能アフィン代数群は 、 すべての要素が単能である群です。
意味
行列による定義 対角線上に'sを持つ 上三角行列 の 群 を考えると 、それらは 行列の群である [2]
U
n
{\displaystyle \mathbb {U} _{n}}
1
{\displaystyle 1}
U
n
=
{
[
1
∗
⋯
∗
∗
0
1
⋯
∗
∗
⋮
⋮
⋮
⋮
0
0
⋯
1
∗
0
0
⋯
0
1
]
}
.
{\displaystyle \mathbb {U} _{n}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&\cdots &*&*\\0&1&\cdots &*&*\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&*\\0&0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}\right\}.}
そして、 単能群は ある の 部分群 として定義できる 。 スキーム理論 を用いると、群は 群スキーム として定義できる。
U
n
{\displaystyle \mathbb {U} _{n}}
U
n
{\displaystyle \mathbb {U} _{n}}
Spec
(
C
[
x
11
,
x
12
,
…
,
x
n
n
,
1
det
]
(
x
i
i
=
1
,
x
i
>
j
=
0
)
)
{\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} \!\left[x_{11},x_{12},\ldots ,x_{nn},{\frac {1}{\text{det}}}\right]}{(x_{ii}=1,x_{i>j}=0)}}\right)}
アフィン群スキームは、それがこのスキームの閉群スキームである場合に単能です。
環理論による定義 アフィン 代数群 の元 x が単能であるとは、 G の アフィン座標環 A [ G ]上の関連する右変換演算子 r x が、 A [ G ]の 線型自己準同型 環の元として局所単能であるときである。(局所単能とは、 A [ G ]の任意の有限次元安定部分空間への制限が 、通常の環論的な意味で単能であることを意味する。)
アフィン代数群は、 そのすべての要素が単零である場合に 単零と 呼ばれます。任意の単零代数群は、対角要素が 1 である上三角行列の群の閉じた部分群に 同型であり、 逆に 、そのような部分群は単零です。特に、任意の単零群は 冪零群 ですが、その逆は真ではありません (反例: GL n ( k ) の 対角行列 )。
たとえば、 標準基底を持つ 上のの標準表現は 、固定ベクトル を持ちます 。
U
n
{\displaystyle \mathbb {U} _{n}}
k
n
{\displaystyle k^{n}}
e
i
{\displaystyle e_{i}}
e
1
{\displaystyle e_{1}}
表現理論による定義 単能群が アフィン多様 体に作用する場合、その軌道はすべて閉じており、有限次元 ベクトル空間 に線型に作用する場合は非ゼロの固定ベクトルを持つ。実際、後者の性質は単能群の特徴である。 [2]特に、これは非自明な 半単純表現 が存在しないことを意味する 。
例
あなた ん もちろん、行列の群は 単為である。 下中心級数を使うと
U
n
{\displaystyle \mathbb {U} _{n}}
U
n
=
U
n
(
0
)
⊃
U
n
(
1
)
⊃
U
n
(
2
)
⊃
⋯
⊃
U
n
(
m
)
=
e
{\displaystyle \mathbb {U} _{n}=\mathbb {U} _{n}^{(0)}\supset \mathbb {U} _{n}^{(1)}\supset \mathbb {U} _{n}^{(2)}\supset \cdots \supset \mathbb {U} _{n}^{(m)}=e}
どこ
U
n
(
1
)
=
[
U
n
,
U
n
]
{\displaystyle \mathbb {U} _{n}^{(1)}=[\mathbb {U} _{n},\mathbb {U} _{n}]}
そして
U
n
(
2
)
=
[
U
n
,
U
n
(
1
)
]
{\displaystyle \mathbb {U} _{n}^{(2)}=[\mathbb {U} _{n},\mathbb {U} _{n}^{(1)}]}
には単零群が付随する。例えば、 では 、中心級数は行列群である。
n
=
4
{\displaystyle n=4}
U
4
=
{
[
1
∗
∗
∗
0
1
∗
∗
0
0
1
∗
0
0
0
1
]
}
{\displaystyle \mathbb {U} _{4}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&*&*\\0&1&*&*\\0&0&1&*\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}
、 、 、 そして
U
4
(
1
)
=
{
[
1
0
∗
∗
0
1
0
∗
0
0
1
0
0
0
0
1
]
}
{\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(1)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&*&*\\0&1&0&*\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}
U
4
(
2
)
=
{
[
1
0
0
∗
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
]
}
{\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(2)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&0&*\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}
U
4
(
3
)
=
{
[
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
]
}
{\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(3)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}
単能群のいくつかの誘導された例を示します。
グ 1つの ん 加法群は 埋め込みによって単能群となる。
G
a
{\displaystyle \mathbb {G} _{a}}
a
↦
[
1
a
0
1
]
{\displaystyle a\mapsto {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}}
行列の掛け算は
[
1
a
0
1
]
⋅
[
1
b
0
1
]
=
[
1
a
+
b
0
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&b\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&a+b\\0&1\end{bmatrix}}}
したがって、これはグループ埋め込みです。より一般的には、 マップからの
埋め込みがあります
G
a
n
→
U
n
+
1
{\displaystyle \mathbb {G} _{a}^{n}\to \mathbb {U} _{n+1}}
(
a
1
,
…
,
a
n
)
↦
[
1
a
1
a
2
⋯
a
n
−
1
a
n
0
1
0
⋯
0
0
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
0
0
0
⋯
1
0
0
0
0
⋯
0
1
]
{\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\,\mapsto {\begin{bmatrix}1&a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n-1}&a_{n}\\0&1&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1&0\\0&0&0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}}
スキーム理論を用いると、 関数は次 のように与えられる。
G
a
{\displaystyle \mathbb {G} _{a}}
O
:
Sch
o
p
→
Sets
{\displaystyle {\mathcal {O}}:{\textbf {Sch}}^{op}\to {\textbf {Sets}}}
どこ
(
X
,
O
X
)
↦
O
X
(
X
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})\mapsto {\mathcal {O}}_{X}(X)}
フロベニウスの核 サブカテゴリ 上の 関数を考える 。サブ関数が存在する 。
O
{\displaystyle {\mathcal {O}}}
Sch
/
F
p
{\displaystyle {\textbf {Sch}}/\mathbb {F} _{p}}
α
p
{\displaystyle \alpha _{p}}
α
p
(
X
)
=
{
x
∈
O
(
X
)
:
x
p
=
0
}
{\displaystyle \alpha _{p}(X)=\{x\in {\mathcal {O}}(X):x^{p}=0\}}
したがって、これはフロベニウス自己準同型 の核によって与えられます 。
特性 0 上の単能群の分類 特性 0上では、 冪零リー代数 に関する単零代数群の適切な分類があります 。冪零リー代数は、反復随伴作用が最終的にゼロ写像に終了するような の部分代数であることを思い出してください。行列の観点で言えば、これは の部分代数 であり、 に対して と なる行列で あることを意味します 。
g
l
n
{\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
n
n
{\displaystyle {\mathfrak {n}}_{n}}
a
i
j
=
0
{\displaystyle a_{ij}=0}
i
≤
j
{\displaystyle i\leq j}
すると、有限次元冪零リー代数と単冪代数群の カテゴリの同値性 が存在する。 [2] 261ページこれは、 ベイカー・キャンベル・ハウスドルフ級数 を使って構築することができる 。ここで、有限次元冪零リー代数が与えられた場合、写像
H
(
X
,
Y
)
{\displaystyle H(X,Y)}
H
:
g
×
g
→
g
where
(
X
,
Y
)
↦
H
(
X
,
Y
)
{\displaystyle H:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}{\text{ where }}(X,Y)\mapsto H(X,Y)}
は、 上の単能代数群構造を与えます 。
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
逆の方向では、 指数写像は 任意のべき零正方行列を単零行列に変換します。さらに、 U が 可換単零群である場合、指数写像は U のリー代数から U 自体への 同型性を 誘導します。
任意の次元の代数的に閉じた体 上の単能群は 原理的には分類可能ですが、実際には分類の複雑さは次元とともに急速に増大するため、人々は [ 誰? ] 次元 6 あたりで諦める傾向があります。
単能ラジカル 代数群 G の 単能根基 は、 G の 根基 における単能元の集合です。これは G の連結された単能正規部分群であり 、他のすべてのそのような部分群を含みます。単能根基が自明である場合、その群は簡約的と呼ばれます。 G が簡約的である場合、その根基はトーラスです。
代数群の分解 代数群は、単能群、乗法群、および アーベル多様体に分解できますが、どのように分解されるかは、その基底 体 の特性に依存します 。
特性0 特性0の上で、可換代数群の構造を線型代数群 と アーベル多様体 の構造に関連付ける、 優れた分解定理が存在する。 群の 短い完全列 が存在する [3] 8ページ
G
{\displaystyle G}
0
→
M
×
U
→
G
→
A
→
0
{\displaystyle 0\to M\times U\to G\to A\to 0}
ここで、 はアーベル多様体、 は乗法型（つまり、 幾何学的には、 はトーラス群と の形の代数群の積 ）であり、 は単倹群です。
A
{\displaystyle A}
M
{\displaystyle M}
M
{\displaystyle M}
μ
n
{\displaystyle \mu _{n}}
U
{\displaystyle U}
特性 p 基底体の標数が p のとき、代数群に対しても 同様のことが言える [3] 。すなわち
、最小の部分群が存在し、
G
{\displaystyle G}
H
{\displaystyle H}
G
/
H
{\displaystyle G/H}
単一グループである
H
{\displaystyle H}
乗法型の群による アーベル多様体の拡張です 。
A
{\displaystyle A}
M
{\displaystyle M}
M
{\displaystyle M}
は、における 通約可能性 を除いて一意であり 、 同型性 を除いて一意です 。
G
{\displaystyle G}
A
{\displaystyle A}
ジョーダン分解 完全体 上の線型代数群の 任意の元 g は 、可換な単元 g u と 半単純 元 g s の積 g = g u g sとして一意に表すことができます。群 GL n ( C )の場合、これは基本的に、任意の可逆 複素 行列が対角行列と上三角行列の積に共役であり、これは (多かれ少なかれ) ジョルダン・シュヴァレー分解 の乗法バージョンであることを意味します 。
群に対するジョルダン分解のバージョンもあります。完全体上の任意の可換線型代数群は、単能群と半単純群の積です。
参照
参考文献
^ 「ユニポテント要素 - 数学百科事典」 encyclopediaofmath.org . 2024年9月23日 閲覧 。 ^ abc Milne, JS 線型代数群 (PDF) . pp. 252–253、ユニポテント代数群。 ^ ab Brion, Michel (2016-09-27). 「同型までの可換代数群」. arXiv : 1602.00222 [math.AG].
![{\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} \!\left[x_{11},x_{12},\ldots ,x_{nn},{\frac {1}{\text{det}}}\right]}{(x_{ii}=1,x_{i>j}=0)}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce88e4038dfda44d7929124d20ee7522355e21df)
![{\displaystyle \mathbb {U} _{n}^{(1)}=[\mathbb {U} _{n},\mathbb {U} _{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7f416a069728bba921863fa4f0aae18603cd206)
![{\displaystyle \mathbb {U} _{n}^{(2)}=[\mathbb {U} _{n},\mathbb {U} _{n}^{(1)}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f472ecf1c7b0790235720e85122ef1b49e3ba13e)
