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幾何学において、運動とは距離空間の等長変換のことである。例えば、ユークリッド距離計量を備えた平面は、合同な図形を関連付ける写像が運動となる距離空間である。 [ 1 ]
運動は、直接運動（正則運動または剛体運動とも呼ばれる）と間接運動（または不適切運動） に分類できます。直接運動には、キラル形状の向きを維持する並進運動と回転運動が含まれます。 間接運動には、鏡映、すべり鏡映、およびキラル形状の向きを反転させる不適切回転運動が含まれます。一部の幾何学者は、直接運動のみを運動と定義しています。
より一般的には、運動という用語は、楕円幾何学や双曲幾何学を含む計量幾何学における全射等長性の同義語である[ 2 ]。後者の場合、双曲運動は初心者にとって主題へのアプローチを提供する。
微分幾何学では、多様体上の点における接空間と、その点の像における接空間との間に等長写像を誘導する場合、微分同相写像は運動と呼ばれる。 [ 3 ] [ 4 ]
幾何学が与えられたとき、運動の集合は写像の合成によって群を形成します。この運動の群はその性質で知られています。たとえば、ユークリッド群は、並進の正規部分群で知られています。平面では、直接ユークリッド運動は並進または回転のいずれかですが、空間では、すべての直接ユークリッド運動は、シャールの定理に従ってねじれ変位として表現できます。基礎となる空間がリーマン多様体である場合、運動の群はリー群になります。さらに、多様体は、任意の2点と任意の等長変換に対して、一方の点から他方の点へ移動し、その移動が等長変換を誘導する場合に限り、一定の曲率を持ちます。 [ 5 ]
特殊相対性理論における運動群の概念は、ローレンツ運動として提唱されてきた。例えば、二次形式で特徴付けられる平面について、基本的な考え方が示された。American Mathematical Monthlyに掲載されています。[ 6 ]ミンコフスキー空間 の運動は、 2006 年にセルゲイ・ノビコフによって記述されました。 [ 7 ]
幾何学における運動の役割をいち早く認識したのはアルハゼン（965年～1039年）である。彼の著作『空間とその性質』[ 8 ]では、動体の寸法を比較することで、虚空間の真空を定量化している。オマル・ハイヤームは、アリストテレスが幾何学における運動の使用を非難していたことを指摘し、アルハゼンを批判した。 [ 9 ]
19世紀、フェリックス・クラインは、幾何学を「運動群」に基づいて分類する手段として群論を提唱した。彼は、エルランゲン計画において対称群を用いることを提案し、この提案は広く受け入れられた。彼は、すべてのユークリッド合同式はアフィン写像であり、そのそれぞれが射影変換であることに着目した。したがって、射影群はアフィン写像群を含み、アフィン写像群はユークリッド合同式群を含む。変換よりも短い「運動」という用語は、射影的、アフィン的、ユークリッド的といった形容詞をより強調している。このように文脈は拡張され、「位相幾何学では、許容される運動は連続的かつ可逆な変形であり、弾性運動と呼ばれるかもしれない」 [ 10 ]というほどになった。
運動学は、物理的な動きを数学的な変換として表現することに特化した学問です。多くの場合、この変換はベクトル代数と線形写像を用いて記述できます。簡単な例として、回転を複素数の乗算として表すと次のようになります。どこ空間における回転は四元数を用いて実現され、時空のローレンツ変換は二重四元数を用いて実現される。20世紀初頭には、超複素数系が研究された。後に、それらの自己同型群はG2のような例外群へと発展した。
1890年代、論理学者たちは総合幾何学の原始的な概念を絶対的な最小限にまで縮小していた。ジュゼッペ・ペアノとマリオ・ピエリは、点対の合同を表すのに「運動」という表現を用いた。アレッサンドロ・パドアは、1900年の国際哲学会議への報告の中で、原始的な概念を点と運動だけにまで縮小したことを称賛した。この会議で、バートランド・ラッセルはペアノを通して大陸論理学に触れた。ラッセルは著書『数学原理』 （1903年）の中で、運動を向きを保存するユークリッド等長変換とみなした。[ 11 ]
1914年、DMY Sommervilleは『非ユークリッド幾何学の要素』を執筆した際に、双曲幾何学における距離の概念を確立するために幾何学的運動の概念を用いた。[ 12 ]彼は次のように説明している。
László Rédeiは運動の公理として次のように与えています。 [ 13 ]
公理2から4は、運動がグループを形成することを示唆している。
公理5は、運動群がR上の群作用を提供し、それが推移的であるため、すべての行をすべての行に写像する運動が存在することを意味する。
