平行角

双曲幾何学において、平行角${\displaystyle \Pi (a)}$は、 2つの辺がほぼ平行な直角双曲三角形において、直角でない頂点における角度です。この角度は、直角と平行角の頂点との間の線分の長さaに依存します。

直線上にない点が与えられたとき、その点から直線に垂線を下ろします。この垂線の長さをaとし、${\displaystyle \Pi (a)}$点を通る直線が与えられた直線と交わらない最小の角度とする。2辺は漸近的に平行なので、

$\lim_{a\to 0}\Pi (a)={\tfrac {1}{2}}\pi \quad {\text{ および }}\quad \lim_{a\to \infty }\Pi (a)=0.}$

関連する同等の表現が5つあります${\displaystyle \Pi (a)}$そして：​

${\displaystyle \sin \Pi (a)=\operatorname {sech} a={\frac {1}{\cosh a}}={\frac {2}{e^{a}+e^{-a}}}\ ,}$

${\displaystyle \cos \Pi (a)=\tanh a={\frac {e^{a}-e^{-a}}{e^{a}+e^{-a}}}\ ,}$

${\displaystyle \tan \Pi (a)=\operatorname {csch} a={\frac {1}{\sinh a}}={\frac {2}{e^{a}-e^{-a}}}\ ,}$

${\displaystyle \tan \left({\tfrac {1}{2}}\Pi (a)\right)=e^{-a},}$

${\displaystyle \Pi (a)={\tfrac {1}{2}}\pi -\operatorname {gd} (a),}$

ここで、sinh、cosh、tanh、sech、cschは双曲線関数であり、gdはグデルマン関数である。

ヤーノシュ・ボヤイは、直線r上にない点Aを通る直線rに漸近的に平行なsを与える作図法を発見した。^{[ 1 ]}点Aから直線Bに垂線を下ろし、直線r上にとる。直線r上の点CをBとは異なる任意の点として選ぶ。点Cで直線rに垂線tを立てる。点Aから直線Dに垂線を下ろし、直線t上にとる。すると、長さDAはCBより長く、CAより短くなる。点Cを中心として半径DAの円を描く。この円は線分ABと点Eで交わる。すると、角BECはBCの長さに依存せず、 ABのみに依存する。これが平行角である。点Aを通って、ABから角BECでsを作図する。

${\displaystyle \sin BEC={\frac {\sinh {BC}}{\sinh {CE}}}={\frac {\sinh {BC}}{\sinh {DA}}}={\frac {\sinh {BC}}{\sin {ACD}\sinh {CA}}}={\frac {\sinh {BC}}{\cos {ACB}\sinh {CA}}}={\frac {\sinh {BC}\tanh {CA}}{\tanh {CB}\sinh {CA}}}={\frac {\cosh {BC}}{\cosh {CA}}}={\frac {\cosh {BC}}{\cosh {CB}\cosh {AB}}}={\frac {1}{\cosh {AB}}}\,.}$

ここで使用されている公式については、「直角三角形の三角法」を参照してください。

平行度の角度は、 1840 年にニコライ・ロバチェフスキーによってドイツの出版物「Geometrische Untersuhungen zur Theory der Parallellinien」で開発されました。

この出版物は、テキサス大学の教授であるG・B・ハルステッドが1891年に翻訳版を出版したことで、英語圏で広く知られるようになった。（『平行線理論に関する幾何学的研究』）

以下の文章は、双曲幾何学におけるこの重要な概念を定義している。

平行な HA と垂直な AD の間の角度 HAD は平行角 (平行角) と呼ばれ、ここでは AD = p の場合に Π(p) と表記します。^{[ 2 ] : 13 [ 3 ]}

双曲平面のポアンカレ半平面モデル（双曲運動を参照）では、ユークリッド幾何学を用いてΦとaの関係を確立できます。Qを、 x軸上に直径を持ち、点(1,0)と(0, y ) （ y > 1）を通る半円とします。Qは原点を中心とする単位半円に接しているので、 2つの半円は平行な双曲線を表します。y軸は両方の半円を横切り、単位半円とは直角、Qとは可変角Φをなします。Qの中心で(0, y)に半径がなす角もΦです。これは、2つの角の辺が垂直で、左側と左側、右側と右側が接しているためです。半円Qの中心は( x , 0 ) （x < 0）なので、半径は1 − xです。したがって、 Qの半径の2乗は    

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=(1-x)^{2},}$

したがって

${\displaystyle x={\tfrac {1}{2}}(1-y^{2}).}$

双曲幾何学のポアンカレ半平面モデルの計量は、対数測度で光線 {(0, y ) : y > 0 } 上の距離をパラメータ化します。 (0, y ) から (0, 1)への双曲距離をaとすると、log y − log 1 = aとなり、y = e ^aとなります。ここでeは自然対数の底です。すると、 Φとaの関係は、三角形 {( x , 0), (0, 0), (0, y )} から、例えば次のように導き出すことができます。          

${\displaystyle \tan \phi ={\frac {y}{-x}}={\frac {2y}{y^{2}-1}}={\frac {2e^{a}}{e^{2a}-1}}={\frac {1}{\sinh a}}.}$

• マービン・J・グリーンバーグ（ 1974）ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学、pp.  211–3 、WHフリーマン＆カンパニー。
• ロビン・ハートショーン(1997) 『ユークリッド入門』  319、325ページ 、アメリカ数学会、ISBN 0821807978。
• ジェレミー・グレイ（1989）『空間の概念：ユークリッド、非ユークリッド、相対論』第2版、クラレンドン・プレス、オックスフォード（113～118ページ参照）。
• Béla Kerékjártó (1966) Les Fondements de la Géométry、Tome Deux、§97.6 Angle de parallélisme de la géométry hyperbolique、pp. 411,2、Akademiai Kiado、ブダペスト。